高考数学复习34 高考数学复习突破高考中的数列与不等式问题.docx

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高考数学复习34高考数学复习突破高考中的数列与不等式问题

题型一　等差数列、等比数列的综合问题

例1　已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设Tn＝Sn－（n∈N*），求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．

【思维升华】等差数列、等比数列综合问题的解题策略

（1）分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差（公比）等，确定解题的顺序．

（2）注意细节：

在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．

【跟踪训练1】已知等差数列{an}满足：

a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？

若存在，求n的最小值；若不存在，请说明理由．

题型二　数列的通项与求和

例2　已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an.

（1）证明：

数列{}是等比数列；

（2）求通项an与前n项的和Sn.

【解析】

（1）证明　∵a1＝，an＋1＝an，

当n∈N*时，≠0.

又＝，∶＝（n∈N*）为常数，

∴{}是以为首项，为公比的等比数列．

（2）解　由{}是以为首项，为公比的等比数列，

得＝·（）n－1，∴an＝n·（）n.

∴Sn＝1·＋2·（）2＋3·（）3＋…＋n·（）n，

Sn＝1·（）2＋2·（）3＋…＋（n－1）（）n＋n·（）n＋1，

∴Sn＝＋（）2＋（）3＋…＋（）n－n·（）n＋1

＝－n·（）n＋1，

∴Sn＝2－（）n－1－n·（）n＝2－（n＋2）·（）n.

综上，an＝n·（）n，Sn＝2－（n＋2）·（）n.学科*网

【思维升华】　

（1）一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息．

（2）根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等．

【跟踪训练2】　在等比数列{an}（n∈N*）中，a1＞1，公比q＞0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.

（1）求{an}的通项an；

（2）若cn＝，求{cn}的前n项和Sn.

所以＝＝q2，

解得

所以an＝16×n－1＝25－n（n∈N*）．

（2）由

（1）知an＝25－n，所以bn＝5－n（n∈N*），

所以cn＝＝，

所以Sn＝－（1－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）]

＝－（1－＋－＋－＋…＋－）

＝－（1－）＝（n∈N*）．

题型三　数列与其他知识的交汇

命题点1　数列与函数的交汇

例3　（2017·温州十校联考）已知二次函数f（x）＝ax2＋bx的图象过点（－4n,0），且f′（0）＝2n，n∈N*，数列{an}满足＝f′，且a1＝4.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

∴an＝（n∈N*）．

（2）∵bn＝＝

＝2，

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝＋＋…＋

＝2

＝2

＝.

命题点2　函数与不等式的交汇

例4　已知等差数列{an}中，a2＝6，a3＋a6＝27.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记数列{an}的前n项和为Sn，且Tn＝，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围．

【变式1　已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋2＋Sn＝2Sn＋1＋1（n∈N*）；数列{bn}中，b1＝a1，bn＋1＝4bn＋6（n∈N*）.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）设cn＝bn＋2＋（－1）n－1λ·2an（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立.

【思维启迪】

（1）先求an，再构造等比数列求bn；

（2）不等式cn＋1>cn恒成立，可以转化为求函数的最值问题.

【思维升华】数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为函数的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解.

【变式2】已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且－2S2，S3,4S4成等差数列.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明：

Sn＋≤（n∈N*）.

【解析】

（1）设等比数列{an}的公比为q，

因为－2S2，S3,4S4成等差数列，

所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，

可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.

又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为

an＝×n－1＝（－1）n－1·.

故对于n∈N*，有Sn＋≤.

命题点3　数列应用题

例5　某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元，该企业2010年年底分红后的资金为1000万元．

（1）求该企业2014年年底分红后的资金；

（2）求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元．

【解析】　设an为（2010＋n）年年底分红后的资金，其中n∈N*，

则a1＝2×1000－500＝1500，

a2＝2×1500－500＝2500，…，

an＝2an－1－500（n≥2）．

∴an－500＝2（an－1－500）（n≥2），

即数列{an－500}是以a1－500＝1000为首项，2为公比的等比数列．

∴an－500＝1000×2n－1，

∴an＝1000×2n－1＋500.

（1）∵a4＝1000×24－1＋500＝8500，

∴该企业2014年年底分红后的资金为8500万元．

（2）由an＞32500，即2n－1＞32，得n＞6，

∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32500万元．

思维升华　数列与其他知识的交汇问题，要充分利用题中限制条件确定数列的特征，如通项公式、前n项和公式或递推关系式，建立数列模型．

【跟踪训练3】　设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）＝2x的图象上（n∈N*）．

（1）若a1＝－2，点（a8,4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；

（2）若a1＝1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.

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