高考数学大一轮复习 第六章 不等式推理与证明单元质量检测 理 新人教A版.docx

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高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明单元质量检测理新人教A版

2019-2020年高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明单元质量检测理新人教A版

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．若x>0，y>0，则“x＋y>1”是“x2＋y2>1”的（　　）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．非充分非必要条件

解析：

在平面坐标系中，画出x＋y>1与x2＋y2>1表示的图形区域，可知x2＋y2>1成立可以得到x＋y>1成立，反过来则不成立，所以“x＋y>1”是“x2＋y2>1”的必要非充分条件，故选B.

答案：

B

2．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是（　　）

A．b－a>0B．a3＋b3<0

C．a2－b2<0D．b＋a>0

解析：

由a－|b|>0得a>|b|≥0，

所以a>0且a＋b>0，故选D.

答案：

D

3．函数y＝（x>1）的最小值是（　　）

A．2＋2B．2－2

C．2D．2

解析：

由y＝＝

＝（x＋1）＋＝（x－1）＋＋2≥2＋2.

等号成立的条件是x＝1＋.

答案：

A

4．条件p：

<2x<16，条件q：

（x＋2）（x＋a）<0，若p是q的充分而不必要条件，则a的取值范围是（　　）

A．（4，＋∞）B．[－4，＋∞）

C．（－∞，－4]D．（－∞，－4）

解析：

由<2x<16，得2－2<2x<24，即－24得a<－4，故选D.

答案：

D

5．已知x，y满足则z＝x－y的取值范围是（　　）

A．[－，1]B．[－1,1]

C．[－，]D．[－1，]

解析：

因为x，y满足所以得到可行域如图阴影部分所示，目标函数y＝x－z过点A（1,0）时在y轴的截距最小，此时zmax＝1；过点B时，目标函数在y轴的截距最大，此时zmin＝－最小．所以z∈[－，1]．

答案：

A

6．已知函数f（x）＝ax2，g（x）＝，且f

（2）＝g

（2），则当x≠0时函数y＝f（x）＋g（x2）的最小值等于（　　）

A．1B.

C．2D．2

解析：

由f

（2）＝g

（2）得4a＝1，所以a＝，于是y＝＋≥2＝.当且仅当x2＝2时取等号，故函数y＝f（x）＋g（x2）的最小值等于.

答案：

B

7．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，不等式f（x）<0的解集为{x|x<－3，或x>1}，则函数y＝f（－x）的图象可以为（　　）

解析：

由f（x）<0的解集为{x|x<－3，或x>1}知a<0，y＝f（x）的图象与x轴交点为（－3,0），（1,0），∴f（－x）图象开口向下，与x轴交点为（3,0），（－1,0）．

答案：

B

8．在平面内，设半径分别为r1，r2的两个圆相离且圆心距为d，若点M，N分别在两个圆的圆周上运动，则|MN|的最大、最小值分别为d＋r1＋r2和d－r1－r2，若空间中，设半径分别为R1，R2的两个球相离且球心距为d，若点M，N分别在两个球的球面上运动，则|MN|的最大、最小值分别为（　　）

A．d－R1－R2和d＋R1＋R2

B．d＋R1＋R2和d－R1－R2

C．d－R1＋R2和d＋R1－R2

D．R1＋R2－d和0

解析：

因为在由平面图形到空间图形的类比推理中，圆对应球．“在平面内，设半径分别为r1，r2的两个圆相离且圆心距为d，若点M，N分别在两个圆的圆周上运动，则|MN|的最大、最小值分别为d＋r1＋r2和d－r1－r2”，我们可类比推理出：

“在空间中，设半径分别为R1，R2的两个球相离且球心距为d，若点M，N分别在两个球的球面上运动，则|MN|的最大、最小值分别为d＋R1＋R2和d－R1－R2”．

答案：

B

9．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为（　　）

1

3　5　7

9　11　13　15　17

19　21　23　25　27　29　31

…　　…　　…

A．809B．852

C．786D．893

解析：

前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.

答案：

A

10．已知函数f（x）＝x2，g（x）＝x－m，当x∈[1,2]时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A.B.

C．（3，＋∞）D．（4，＋∞）

解析：

不等式f（x）≥g（x），即x2≥x－m，因此m≥x－x2.令h（x）＝x－x2，由于h（x）在[1,2]上单调递减，所以h（x）的最大值是h

（1）＝－，因此实数m的取值范围是.

答案：

B

二、填空题（每小题4分，共16分）

11．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为________．

解析：

由ax2＋2x＋c>0的解集为知a<0，且－，为方程ax2＋2x＋c＝0的两个根，由根与系数的关系得－＋＝－，×＝，解得a＝－12，c＝2，∴－cx2＋2x－a>0，即2x2－2x－12<0，其解集为（－2,3）．

答案：

（－2,3）

12．给出下列等式：

＝2cos，＝2cos，＝2cos，请从中归纳出第n个等式：

＝________.

答案：

2cos

13．已知O为坐标原点，A（1,2），点P的坐标（x，y）满足约束条件则z＝·的最大值为________．

解析：

作可行域如图阴影部分所示，z＝·＝x＋2y，显然在B（0,1）处zmax＝2.

答案：

2

14．（xx·辽宁卷）对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，－＋的最小值为________．

解析：

要求|2a＋b|最大值，只需求（2a＋b）2的最大值．

∵4a2－2ab＋4b2－c＝0，

∴4a2＋b2＝c＋2ab－3b2.

∴（2a＋b）2＝4a2＋b2＋4ab＝c＋2ab－3b2＋4ab＝c＋6ab－3b2＝c＋3b（2a－b）＝c＋·2b（2a－b）≤c＋2＝c＋2.

即（2a＋b）2≤c，当且仅当2b＝2a－b，即3b＝2a时取到等号，即（2a＋b）2取到最大值．

故3b＝2a时，|2a＋b|取到最大值．

把3b＝2a时，即b＝代入4a2－2ab＋4b2－c＝0，可得c＝a2.

∴－＋＝－＋＝－＋＝＝2－2.

∴当＝时，－＋取到最小值－2.

答案：

－2

三、解答题（共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤．）

15．（10分）已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.

（1）求u＝lgx＋lgy的最大值；

（2）求＋的最小值．

解：

（1）∵x>0，y>0，

∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.

∵2x＋5y＝20，

∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．

因此有解得

此时xy有最大值10.

∴u＝lgx＋lgy＝lg（xy）≤lg10＝1.

∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.

（2）∵x>0，y>0，

∴＋＝·＝≥＝，

当且仅当＝时，等号成立．

由解得

∴＋的最小值为.

16．（10分）已知等差数列{an}的公差d＝2，首项a1＝5.

（1）求数列{an}的前n项和Sn；

（2）设Tn＝n（2an－5），求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律．

解：

（1）由于a1＝5，d＝2，

∴Sn＝5n＋×2＝n（n＋4）．

（2）∵Tn＝n（2an－5）＝n[2（2n＋3）－5]＝4n2＋n.

∴T1＝5，T2＝4×22＋2＝18，T3＝4×32＋3＝39，

T4＝4×42＋4＝68，T5＝4×52＋5＝105.

S1＝5，S2＝2×（2＋4）＝12，S3＝3×（3＋4）＝21，

S4＝4×（4＋4）＝32，S5＝5×（5＋4）＝45.

由此可知S1＝T1，当n≥2时，Sn

归纳猜想：

当n＝1时，Sn＝Tn；当n≥2，n∈N时，Sn

17．（12分）某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P（元/件）：

前10天每天单价呈直线下降趋势（第10天免费赠送品尝），后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如表：

时间（将第x天记为x）x

1

10

11

18

单价（元/件）P

9

0

1

8

而这20天相应的销售量Q（百件/天）与x对应的点（x，Q）在如图所示的半圆上．

（1）写出每天销售收入y（元）与时间x（天）的函数关系式y＝f（x）．

（2）在这20天中哪一天销售收入最高？

为使每天销售收入最高，按此次测试结果应将单价P定为多少元为好？

（结果精确到1元）

解：

（1）P＝x∈N*，

Q＝，x∈[1,20]，x∈N*，

所以y＝100QP＝100，x∈[1,20]，x∈N*.

（2）因为（x－10）2[100－（x－10）2]

≤2＝2500，

所以当且仅当（x－10）2＝100－（x－10）2，

即x＝10±5时，y有最大值．

因为x∈N*，所以取x＝3或17时，ymax＝700≈4999（元），此时，P＝7元．

答：

第3天或第17天销售收入最高，按此次测试结果应将单价P定为7元为好．

18．（12分）已知函数f（x）＝x2－ax＋ln（x＋1）（a∈R）．

（1）当a＝2时，求函数f（x）的极值点；

（2）若函数f（x）在区间（0,1）上恒有f′（x）>x，求实数a的取值范围；

（3）已知a<1，c1>0，且cn＋1＝f′（cn）（n＝1,2，…），证明：

数列{cn}是单调递增数列．

解：

（1）当a＝2时，f（x）＝x2－2x＋ln（x＋1），

f′（x）＝2x－2＋＝，

令f′（x）＝0，得x＝±.

又x>－1，且x∈（－1，－）∪（，＋∞）时，f′（x）>0，x∈（－，）时，f′（x）<0，

∴函数f（x）的极大值点为x＝－，极小值点为x＝.

（2）∵f′（x）＝2x－a＋，由f′（x）>x，得2x－a＋>x，即a

又x＋＝x＋1＋－1>1，∴a≤1.

（3）①当n＝1时，c2＝f′（c1）＝2c1－a＋，

∵c1>0，∴c1＋1>1，又a<1，

∴c2－c1＝c1－a＋＝c1＋1＋－（a＋1）>2－（a＋1）＝1－a>0，

∴c2>c1，即当n＝1时结论成立．

②假设当n＝k（k∈N*）时，有ck＋1>ck>0.

则当n＝k＋1时，ck＋2－ck＋1＝ck＋1－a＋＝ck＋1＋1＋－（a＋1）>2－（a＋1）＝1－a>0.

∴ck＋2>ck＋1，即当n＝k＋1时结论成立．

由①，②知数列{cn}是单调递增数列．

2019-2020年高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明课时作业38理新人教A版

一、选择题

1．已知集合A＝{x||2x＋1|>3}，集合B＝{x|y＝}，则A∩（∁RB）＝（　　）

A．（1,2）B．（1,2]

C．（1，＋∞）D．[1,2]

解析：

由A＝{x||2x＋1|>3}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|y＝}＝{x|≥0}＝{x|x>2或x≤－1}，所以∁RB＝{x|－1

答案：

B

2．已知两个集合A＝{x|y＝ln（－x2＋x＋2）}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝（　　）

A．[－，2）B．（－1，－]

C．（－1，e）D．（2，e）

解析：

由题意得A＝{x|－x2＋x＋2>0}＝{x|－1e或x≤－}，故A∩B＝（－1，－]．

答