大物转动惯量教案.docx
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大物转动惯量教案
河北科技师范学院教案
系(部):
理化学院学号:
1112090202姓名:
课程名称:
《理论力学》转动惯量
授课章节:
第三章刚体力学第五节转动惯量
授课班级
物理2班
授课日期
2011/6/20
课题
《理论力学》转动惯量
时 数
2
教学目的
及要求
目的:
⒈让学生充分理解转动惯量的意义;⒉教会学生推导刚体的动量矩;⒊加深学生对转动惯量的理解;
要求:
⒈学生会分析计算刚体的动量矩;⒉学会找惯量主轴;⒊学会计算刚体的动能。
教学重点
⒈刚体动量矩的推导;⒉刚体惯量张量的推导;⒊惯量主轴的选择;⒋刚体动能的计算
难点
⒈刚体动量矩的推导;⒊惯量主轴的选择;⒋刚体动能的计算
教学方法
及教具
比较法,
课堂设计(教学内容、过程、方法、图表等)
时 间
分 配
Ⅰ、刚体的动量矩
假设刚体在某一时刻以角速度作定点转动如图3.5.1所示。
在它里面,取任意质点,它的质量是,速度是(未画出)。
如对定点O的位矢是,则此质点对定点O的动量矩为
整个刚体对O的动量矩为刚体各质点对点O的动量矩的矢量和:
又故
根据得
课堂设计(教学内容、过程、方法、图表等)
时 间
分 配
动量矩一般不与角速度共线。
在平动
中,动量与线速度总是共线的。
在定点转动中,只在惯量主轴上,才与共线。
一般情况下的动量矩的分量表达式:
同理
将
及
代入得
课堂设计(教学内容、过程、方法、图表等)
时 间
分 配
即
其中称为惯量张量(刚体对定点o的张量),用表示。
其中的个元素叫做组元。
那么
Ⅱ、惯量张量和惯量椭球
⒈轴转动惯量的概念:
称为刚体对x轴、y轴、z轴的轴转动惯量。
⒉惯量积的概念:
含有两个坐标的乘积项的叫做惯量积。
⒊刚体对转动瞬轴的转动惯量
(1)
如右图,点P关于l的动量矩是:
(点关于轴的动量矩相当于对轴上一点沿轴方向的分量)
课堂设计(教学内容、过程、方法、图表等)
时 间
分 配
令α=cosθ,β=cosφ,γ=cosγ代入
上式得
⒋惯量椭球
在转动瞬轴上取一点Q,并使,点Q的做标记为(x,y,z)x=Rα,y=Rβ,z=Rγ
由得
课堂设计(教学内容、过程、方法、图表等)
时 间
分 配
上式代表一个中心在O点的椭球,通常叫做惯量椭球。
如果O为刚体质心(或重心),则所作出的椭球,叫做中心惯量椭球。
按照方程画出椭球便可根据的关系,由某轴上矢径R的长,求出刚体绕该轴转动时的转动惯量I。
⒌转动主轴及其求法
⑴惯量主轴:
惯量椭球的主轴,即椭球是对称轴。
⑵主转动惯量:
对惯量主轴的转动惯量。
因惯量积为零,主转动惯量改以用表示。
则惯量椭球的方程简化为
⑶具有对称性的均匀刚体惯量主轴的确定
①对称轴(以x轴为例)
若:
则z轴(对称面法向量)是惯量主轴
课堂设计(教学内容、过程、方法、图表等)
时 间
分 配
②对称面(以oxy面为例)z轴是oxy的法向量
若:
,则z轴(对称面法向量)是惯量主轴
例题:
均匀长方形薄片的边长为a与b,质量为m,求此长方形薄片绕其对角线转动时的转动惯量。
(1)直接用定积分计算
在右图中取对角线为x轴,在O点和它垂直的直线为y轴,并令t为薄片的厚度,ρ为密度。
取一长方形窄条,长为u,宽为dy,则绕对角线(x轴)转动的转动惯量I为
――
(1)
课堂设计(教学内容、过程、方法、图表等)
时 间
分 配
又(根据三角形相似)
所以――
(2)
将2)代入
(1)得
又
故
(2)用计算
因
所以
今
课堂设计(教学内容、过程、方法、图表等)
时 间
分 配
(3)取惯量主轴为坐标轴,则
由图知
又
所以
以上三种方法可以看出,取惯量主轴为坐标轴来计算薄片绕对角线转动时的转动惯量I最为简便。
对空间问题和形状比较复杂的物体,如果有对称轴,则总是以对称轴为坐标轴式,I的计算比较简便。
课堂设计(教学内容、过程、方法、图表等)
时 间
分 配
作业及
参考文献
《理论力学》
作业:
3.43.73.8
课后小结