一元二次方程知识点总结.docx

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一元二次方程知识点总结

21章一元二次方程知识点

一、一元二次方程

1、一元二次方程概念：

等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。

注意：

（1）一元二次方程必须是一个整式方程；

（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2；（4）二次项系数不能等于0

2、一元二次方程的一般形式：

，它的特征是：

等式左边是一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

注意：

（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。

二、一元二次方程的解

使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：

当时，所以是方程的解。

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

一元二次方程有两个根（相等或不等）

三、一元二次方程的解法

1、直接开平方法:

直接开平方法理论依据：

平方根的定义。

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。

三种类型：

（1）的解是；

（2）的解是；

（3）的解是。

2、配方法:

配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

（一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

（1）把一元二次方程化成一般形式

（2）在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数；

（3）把原方程变为的形式。

（4）若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。

（二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程

当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）把一元二次方程化成一般形式

（2）先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：

方程的左、右两边同时除以二项的系数；

（3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为的形式；

（4）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的求根公式：

用求根公式法解一元二次方程的步骤是：

（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；

（2）求出的值；并判断方程根的情况；

（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

因式分解法的理论依据：

如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

（1）将方程的右边化为0（即化为一般式）；

（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。

（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

关键点：

（1）要将方程右边化为0（即化为一般式）；

（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：

提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）、十字相乘法。

注意：

一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

三、一元二次方程根的判别式

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即

I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；

III当△<0时，一元二次方程没有实数根

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：

①把所有一元二次方程化为一般形式；

②确定的值；

③计算的值；

④根据的符号判定方程根的情况。

根的判别式的逆用在方程中，

（1）方程有两个不相等的实数根﹥0

（2）方程有两个相等的实数根=0

（3）方程没有实数根﹤0

注意：

逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。

四、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

如果方程的两个实数根是，

那么，。

⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程． 

⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：

①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2

－4ac＜0，则方程无解． 

⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2（x＋4）2

 =3（x＋4）中，不能随便约去x＋4。

⑷ 注意：

解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：

开平方法→因式分解法→公式法． 6．一元二次方程解的情况 

⑴b2－4ac≥0方程有两个不相等的实数根； ⑵b2－4ac=0方程有两个相等的实数根； ⑶b2－4ac≤0方程没有实数根。

解题小诀窍：

当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用b2－4ac解题。

主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。

考点3：

根与系数的关系:

韦达定理 

   对于方程ax2＋bx+c=0（a≠0）来说，x1 +x2 =—ab，x1●x2= ac。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

五、一元二次方程的应用

知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤

（1）审题，

（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。

关键点：

找出题中的等量关系。

一、一元二次方程的有关概念

1．的一般形式是，其中二次项是，一次项系数是

2．当=时，方程有一根是0.

3．若（b—1）2+a2=0下列方程中是一元二次方程的只有（）

（A）ax2+5x–b=0（B）（b2–1）x2+（a+4）x+ab=0（C）（a+1）x–b=0（D）（a+1）x2–bx+a=0

4.关于x的方程是（m2–1）x2+（m–1）x–2=0，那么当m时，方程为一元二次方程；当m时，方程为一元一次方程.

5．方程（m－2）x＋x－4＝0是一元二次方程，则m的值为

6．已知,是关于的二次方程,则＝

7．已知是方程的一个根，则a=________，另一个根为_________；

8．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）

A.B.C.D.

9．关于x的一元二次方程,当a+b+c=0时，方程的根为_____；当方程的一根为—1时，a,b,c满足的条件是______

二、一元二次方程的解法

1．方程的根是2．已知代数式4x2–14=50,则x的值为

2．8块相同的长方形地砖拼成面积为2400㎝2的矩形ABCD（如图），

则矩形ABCD的周长为（）

（A）200㎝（B）220㎝（C）240㎝（D）280㎝

3．已知关于x的二次方程（m+1）x2+3x+m2–3m–4=0的一个根为0，求m的值

4．请写出一个一元二次方程使它有一个根为3，

5．分式的值是0，则；

6．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）

A.x2-2x-99=0化为（x-1）2=100B.x2+8x+9=0化为（x+4）2=25

C.2t2-7t-4=0化为D.3y2-4y-2=0化为

7．下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（　）．

A.若x2=4，则x＝2B.方程x（2x－1）＝2x－1的解为x＝1

C.若x2+2x+k=0的一个根为1，则D.若分式的值为零，则x＝1，2

8．方程的根是___________；方程的根是_____________；方程的根是；方程x2-1=0的根为________；的根是______

9．设是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为

10.方程两根的平方和倒数和

11．已知实数满足,那么的值为

12．已知方程（x+a）（x-3）=0和方程x2-2x-3=0的解相同，则a=_________

14．等腰三角形的两边的长是方程的两个根，则此三角形的周长为（）

A.27B.33C.27和33D.以上都不对

15．若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为.

16．请写出一个根为x=-1，另一根满足的一元二次方程

一元二次方程解法练习题

一、用直接开平方法解下列一元二次方程。

1、2、3、4、

二、用配方法解下列一元二次方程。

1、.2、3、4、

5、6、7、

三、用公式解法解下列方程。

1、2、3、

4、5、6、

四、用因式分解法解下列一元二次方程。

1、2、3、4、

5、6、7．

五、用适当的方法解下列一元二次方程。

1、2、3、4、

5、6、7、8、

9、10、11、

12、13.14.15.x2+4x-12=0

16.17.18、3x2+5（2x+1）=0

19、20、

三、一元二次方程根的判别式

1．关于x的方程kx2–6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是.

2．若关于x的方程x2–2（a–1）x=（b+2）2有两个相等的实根，则a2004+b5的值为

3．若关于x的方程x2–2x（k-x）+6=0无实根，则k可取的最小整数为______________

4．方程的根的情况是__________

5．关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是

6．.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）

7．关于的一元二次方程有两个相等的实数根,那么以a、b、c为三边的三角形是（）

A、以为斜边的直角三角形B、以为斜边的直角三角形

C、以为底边的等腰三角形D、以为底边的等腰三角形

8．关于的一元二次方程的根的情况是（）

A.有两个不相等的实根B.有两个相等的实根C.无实数根D.不能确定

9．已知关于的方程有两个相同的实数根，则的值是．

10．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是。

11.已知关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．

12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则化简代数式的结果为____

13．如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么a的值等于.

14．如果关于x的方程有实数根，则实数的取值范围是．

15．求证：

不论k取什么实数，方程x2-（k+6）x+4（k-3）=0一定有两个不相等的实数根.

16.已知a、b、c为三角形三边长，且方程b（x2-1）-2ax+c（x2+1）=0有两个相等的实数根.

试判断此三角形形状，说明理由

四、一元二次方程根与系数的关系

1、关于x的方程2x2+（m2–9）x+m+1=0，当m=时，两根互为倒数；当m=时，两根互为相反数.

2、设x1、x2是方程3x2+4x–5=0的两根，则.x12+x22=.

3、若x1=是二次方程x2+ax+1=0的一个根，则a=，