一元二次方程知识点总结.docx

1、一元二次方程知识点总结21章 一元二次方程知识点一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。 注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一

2、次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。二、 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当时，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:直接开平方法理论依据：平方根的定义。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，当b0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II 当=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III 当0时，一元二次方程没有实数根利用根的判

3、别式判定一元二次方程根的情况的步骤：把所有一元二次方程化为一般形式；确定的值；计算的值；根据的符号判定方程根的情况。 根的判别式的逆用 在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根0（2）方程有两个相等的实数根=0（3）方程没有实数根0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。四、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 如果方程的两个实数根是，那么，。在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a0因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程应用求根公式解一元二次方程时应注意：先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；若b24ac0，则方程无解利用因式分

4、解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式如2(x4)2=3（x4）中，不能随便约去x4。注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法因式分解法公式法6一元二次方程解的情况b24ac0 方程有两个不相等的实数根；b24ac=0 方程有两个相等的实数根；b24ac0 方程没有实数根。解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用b24ac解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。考点3：根与系数的关系:韦达定理对于方程ax2bx+c=0(a0）来说，x1+x2=ab，x1x2

5、=ac。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。五、一元二次方程的应用知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤（1） 审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。关键点：找出题中的等量关系。一、一元二次方程的有关概念1的一般形式是 ，其中二次项是 ， 一次项系数是 2当= 时，方程有一根是0.3若（b1）2+a2 = 0 下列方程中是一元二次方程的只有（ ）（A） ax2+5x b=0（B） (b2 1)x2+(a+4)x+ab=0 （C）(a+1)x b

6、=0 （D）(a+1)x2 bx+a=04.关于x的方程是(m21)x2+(m1)x2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；当m 时，方程为一元一次方程.5方程（m2）xx40是一元二次方程，则m的值为 6已知 ,是关于的二次方程, 则 7已知是方程的一个根，则a=_，另一个根为_；8下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 9关于x的一元二次方程,当a+b+c=0时，方程的根为_；当方程的一根为1时，a,b,c满足的条件是_二、一元二次方程的解法1方程的根是 2已知代数式4x2 14=50, 则x的值为 28块相同的长方形地砖拼成面积为24002的矩形ABCD（如

7、图），则矩形ABCD的周长为（ ）（A） 200（B）220 （C）240 （D）2803已知关于x的二次方程（m+1）x2+3x+m2 3m 4=0的一个根为0，求m的值4请写出一个一元二次方程使它有一个根为3 ， 5分式的值是0，则；6用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25C.2t2-7t-4=0化为 D.3y2-4y-2=0化为7下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（）A.若x2=4，则x2 B.方程x(2x1)2x1的解为x1C.若x2+2x+k=0的一个根为1，则 D.若

8、分式的值为零，则x1，28方程的根是_；方程的根是_；方程 的根是 ；方程x2-1=0的根为_； 的根是_ 9设是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 10.方程两根的平方和 倒数和 11已知实数满足 ,那么的值为 12已知方程（x+a）（x-3）=0和方程x2-2x-3=0的解相同，则a=_14等腰三角形的两边的长是方程的两个根，则此三角形的周长为 （ ）A. 27 B. 33 C. 27和33 D. 以上都不对15若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为 .16请写出一个根为x= - 1，另一根满足的一元二次方程 一元二次方程解法练习题一

9、、 用直接开平方法解下列一元二次方程。1、 2、 3、 4、二、用配方法解下列一元二次方程。1、. 2、 3、 4、5、 6、 7、 三、用公式解法解下列方程。1、 2、 3、4、 5、 6、 四、用因式分解法解下列一元二次方程。1、 2、 3、 4、 5、 6、 7 五、用适当的方法解下列一元二次方程。1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13. 14. 15. x2+4x-12=0 16. 17. 18、3x2+5(2x+1)=0 19、 20、 三、一元二次方程根的判别式1关于x的方程kx26x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 .2若关于x

10、的方程x2 2 (a 1 )x = (b+2)2有两个相等的实根，则a2004+b5的值为 3若关于x的方程x2 2x(k-x)+6=0无实根，则k可取的最小整数为_4方程的根的情况是_5 关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是 6. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）7关于的一元二次方程有两个相等的实数根,那么以a、b、c为三边的三角形是( )A、以为斜边的直角三角形 B、以为斜边的直角三角形C、以为底边的等腰三角形 D、以为底边的等腰三角形 8关于的一元二次方程的根的情况是 ( )A. 有两个不相等的实根 B. 有两个相等的实根 C. 无实

11、数根 D. 不能确定9已知关于的方程有两个相同的实数根，则的值是 10关于的一元二次方程 有两个实数根，则的取值范围是 。11 .已知关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 12若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则化简代数式的结果为_13如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么a的值等于 .14如果关于x的方程有实数根，则实数的取值范围是 15求证：不论k取什么实数，方程x2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根.16.已知a、b、c为三角形三边长，且方程b (x2-1)-2ax+c (x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形形状，说明理由四、一元二次方程根与系数的关系1、关于x的方程2x2+(m29)x+m+1=0，当m= 时，两根互为倒数； 当m= 时，两根互为相反数.2、设x1、x2是方程3x2+4x5=0的两根，则 .x12+x22= .3、若x1 =是二次方程x2+ax+1=0的一个根，则a= ，