完整版概率论与数理统计知识点总结Word格式.docx
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（AB）∪C=（A∪C）∩（B∪C）（A∪B）∩C=（AC）∪（BC）
AiAi
德摩根率：
i1i1ABAB，ABAB
（4）概率的公理化定义
设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P（A），若满足下列三个条件：
1°
0≤P（A）≤1，
2°
P（Ω）=13°
对于两两互不相容的事件A1，A2，⋯有
PAiP（Ai）
i1i1则称P（A）为事件A的概率。
（5）古典概型
1,2n，
2°
P
（1）P
（2）P（n）1。
n
设任一事件A，它是由1,2m组成的，则有P（A）=
（1）
（2）（m）=P
（1）P
（2）P（m）
mA所包含的基本事件数n基本事件总数
（6）几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。
对任一事件A，P（A）L（A）。
其中L为几何度量（长度、面积、体积）。
L（）
（7）加法公式
P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）
当AB不相容P（AB）＝0时，P（A+B）=P（A）+P（B）
当AB独立，P（AB）=P（A）P（B）,P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）
（8）减法公式
P（A-B）=P（A）-P（AB）
当BA时，P（A-B）=P（A）-P（B）当A=Ω时，P（B）=1-P（B）
（9）条件概率
定义设A、B是两个事件，且P（A）>
0，则称PP（（AAB））为事件A发生P（A）条件下，事件B发生的条件概率，记为P（B/A）PP（（AAB））。
P（A）条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P（Ω/B）=1P（B/A）=1-P（B/A）
（10）乘法公式
乘法公式：
P（AB）P（A）P（B/A）更一般地，对事件A1，A2，⋯An，若P（A1A2⋯An-1）>
0，则有
P（A1A2⋯An）P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）⋯⋯P（An|A1A2⋯An1）。
（11）独立性
①两个事件的独立性
设事件A、B满足P（AB）P（A）P（B），则称事件A、B是相互独立的。
若事件A、B相互独立，且P（A）0，则有
P（AB）P（A）P（B）
P（B|A）P（B）
P（A）P（A）
若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。
必然事件和不可能事件?
与任何事件都相互独立。
?
与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P（AB）=P（A）P（B）；
P（BC）=P（B）P（C）；
P（CA）=P（C）P（A）并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
（12）全概公式
设事件B1,B2,,Bn满足
1°
B1,B2,,Bn两两互不相容，P（Bi）0（i1,2,,n），
ABi
i1，则有
P（A）P（B1）P（A|B1）P（B2）P（A|B2）P（Bn）P（A|Bn）。
全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题，全概率公式的题型：
将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；
（13）贝叶斯公式
设事件B1，B2，⋯，Bn及A满足
B1，B2，⋯，Bn两两互不相容，P（Bi）>
0，i1，2，⋯，n，
i1，P（A）0，
则
P（Bi/A）nP（Bi）P（A/Bi），i=1，2，⋯n。
P（Bj）P（A/Bj）
j1
此公式即为贝叶斯公式。
P（Bi），（i1，2，⋯，n），通常叫先验概率。
P（Bi/A），（i1，2，⋯，n），通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
将试验可看成分为两步做，如果求
在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式我们作了n次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；
（14）伯努利概型
n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。
用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1pq，用Pn（k）
表示n重伯努利试验中A出现k（0kn）次的概率，
Pn（k）Cknpkqnk，k0,1,2,,n
第二章随机变量及其分布
1）设离散型随机变量X的可能取值为Xk（k=1,2,⋯）且取各个值的概率，
即事件（X=Xk）的概率为P（X=xk）=pk，k=1,2,⋯，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形式给出：
X|x1,x2,,xk,P（Xxk）p1,p2,,pk,。
显然分布律应满足下列条件：
pk1
1）pk0，k1,2,，
（2）k1
2）设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f（x），对任意实数
x，有
x
F（x）f（x）dx，
则称X为连续型随机变量。
f（x）称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面4个性质：
分布1、f（x）0
x2
3、P（x1Xx2）F（x2）F（x1）2f（x）dx
x1
4、P（x=a）=0,a为常数，连续型随机变量取个别值的概率为0
（3）
设X
为随机变量，x是任意实数，则函数
分布
F（x）
P（Xx）
函数
称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
P（a
Xb）F（b）F（a）可以得到X落入区间（a,b]的概率。
分布函
数F（x）表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
0F（x）1,x；
F（x）是单调不减的函数，即x1x2时，有F（x1）F（x2）；
3°
F（）limF（x）0，F（）limF（x）1；
xx
4°
F（x0）F（x），即F（x）是右连续的；
5°
P（Xx）F（x）F（x0）。
对于离散型随机变量，F（x）pk；
xkx
x对于连续型随机变量，F（x）f（x）dx。
（4）
0-1分
P（X=1）=p,P（X=0）=q
六大
布
二项分
在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。
事件A发生
的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,,n。
P（Xk）Pn（k）Cnkpkqnk，其中q1p,0p1,k0,1,2,,n，
则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。
记为
X~B（n,p）。
当n1时，P（Xk）pkq1k，k0.1，这就是（0-1）分布，所
以（0-1）分布是二项分布的特例。
泊松分
设随机变量X的分布律为
k
P（Xk）e，0，k0,1,2，k!
则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X~（）或者P（）。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
均匀分
设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数f（x）在[a，1
b]上为常数1，即
ba
1,a≤x≤b
f（x）0b,a其他，
则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U（a，
b）。
分布函数为
0，x<
a，
xa
baa≤x≤b
F（x）f（x）dx
1，x>
b。
当a≤x1<
x2≤b时，X落在区间（x1,x2）内的概率为
x2x1
P（x1Xx2）21。
指数分
xe,x0,f（x）,
0,x0,
其中0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。
正态分
设随机变量X的密度2函数为
（x）2
f（x）
122
e2，x，
2
其中、
0为常数，则称随机变量X服从参数为、的2
正态分布或高斯（Gauss）分布，记为X~N（,）。
f（x）具有如下性质：
f（x）的图形是关于x对称的；
当x
时，f（）1为最大值；
22
若X~N（
2），则X的分布函数为
F（x）21
xe（t22）2dt
参数
0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为
X~N（0,1）1，其x密2度函数记为
（x）
2e2，x，
分布函数为xt2
（x）12
e2dt。
（x）是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ（-x）＝
1-Φ（x）且Φ（0）＝1。
如果X~
2X2
N（,2），则X~N（0,1）。
P（x1X
x2）21。
（6）
下分位表：
P（X
）＝；
分位
上分位表：
）＝。
数
（7）
离散型
已知X的分布列为
X
x1,x2,,xn,
P（X
xi）p1,p2,,pn,
Yg（X）
的分布列（yig（xi）互不相等）如下：
的分
Y
g（x1）,g（x2）,,g（xn）,，
布函
P（Yyi）若有某些i
g（xi）相等，则应将对应的pi相加作为g（xi）的概率。
连续型
先利用
X的概率密度fX（x）写出Y的分布函数FY（y）＝
P（g（X）≤
y），再利用变上下限积分的求导公式求出fY（y）。
第三章二维随机变量及其分布
（1）联离散型
合分布
如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。
设=（X，Y）的所有可能取值为（xi,yj）（i,j1,2,），且事件{=（xi,yj）}的概率为pij,,称P{（X,Y）（xi,yj）}pij（i,j1,2,）
为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。
联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：
YX
y1
y2
⋯
yj
p11
p12
p1j
p21
p22
p2j
xi
pi1
pij
这里pij具有下面两个性质：
1）pij≥0（i,j=1,2,⋯）；
2）pij1.
ij
对于二维随机向量（X,Y），如果存在非负函数f（x,y）（x,y），使对任意一个其邻边分别平
行于坐标轴的矩形区域D，即D={（X,Y）|a<
x<
b,c<
y<
d}有
P{（X,Y）D}f（x,y）dxdy,
D
则称为连续型随机向量；
并称f（x,y）为=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。
分布密度f（x,y）具有下面两个性质：
（1）f（x,y）≥0;
（2）f（x,y）dxdy1.
2联合
设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数
F（x,y）P{Xx,Yy}
称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y
的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件
{（1,2）|X
（1）x,Y
（2）y}的概率为函数值的一个实值函数。
分布函数F（x,y）具有以下的基本性质：
（1）0F（x,y）1;
（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即
当x2>
x1时，有F（x2,y）≥F（x1,y）;
当y2>
y1时，有F（x,y2）≥F（x,y1）;
（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即
F（x,y）F（x0,y）,F（x,y）F（x,y0）;
（4）F（,）F（,y）F（x,）0,F（,）1.
（5）对于x1x2，y1y2，
P（x1<
x≤x2,y1<
y≤y2）=F（x2，y2）F（x2，y1）F（x1，y2）F（x1，y1）0
3边缘
离散型X的边缘分布为
Pi?
P（Xxi）pij（i,j1,2,）；
j
Y的边缘分布为
P?
jP（Yyj）pij（i,j1,2,）。
i
X的边缘分布密度为fX（x）f（x,y）dy；
Y的边缘分布密度为fY（y）f（x,y）dx.
4条件分布
在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为pij
P（Yyj|Xxi）ij；
pi?
在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为pij
P（Xxi|Yyj）ij,
p?
在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为f（x,y）
f（x|y）；
fY（y）
在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为f（x,y）
f（y|x）
fX（x）
5独立性
一般型
F（X,Y）=FX（x）FY（y）
pijpi?
p?
有零不独立
f（x,y）=fX（x）fY（y）直接判断，充要条件：
①可分离变量②正概率密度区间为矩形
二维正
态分布
1x12（x1）（y2）y2
12（12）1122
f（x,y）12e,
21212
＝0
随机变量的函数
若X1,X2,⋯Xm,Xm+1,⋯Xn相互独立，h,g为连续函数，则：
h（X1，X2,⋯Xm）和g（Xm+1,⋯Xn）相互独立。
特例：
若X与Y独立，则：
h（X）和g（Y）独立。
例如：
3X+1和5Y-2独立。
6二维均匀分布
设随机向量（X，Y）的分布密度函数为
1（x,y）D
SD
f（x,y）
0,其他
其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记
为（X，Y）～U（D）。
图3.2
7正态
1x12（x1）（y2）y2
12（12）1122
2e,
1212
其中1,2,
10,20,||1是5个参数，则称（X，Y）服从二维正
态分布，
记为（X，
Y）～N（1,2,12,22,）.
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍
为正态分布，
即X～N（
1,12）,Y~N（2,22）.
但是若X～
N（1,12）,Y~N（2,22），（X，Y）未必是二维正态分布。
8函数
Z=X+Y
根据定义计算：
FZ（z）P（Zz）P（XYz）
的分布
对于连续型，fZ（z）＝f（x,zx）dx
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（12,1222）。
n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
Cii，2Ci2i2
iiiiii
Z=max
若X1,X2Xn相互独立，其分布函数分别为
min（X1
Fx1（x），Fx2（x）Fxn（x），则Z=max,min（X1,X2,⋯Xn）的分布
X2,⋯
函数为：
Xn）
Fmax（x）Fx1（x）?
Fx2（x）Fxn（x）
Fmin（x）1[1Fx1（x）]?
[1Fx2（x）][1Fxn（x）]
第四章随机变量的数字特征
（1）一
维随机
期望
设X是离散型随机
设X是连续型随机变量，其概率密
变量的
期望就是
变量，其分布律为
度为f（x），
数字特
平均值
P（Xxk）＝pk，
E（X）xf（x）dx
征
k=1,2,⋯,n，
E（X）xkpk
k1
（要求绝对收敛）
函数的期
Y=g（X）
望
E（Y）g（xk）pk
E（Y）g（x）f（x）dx
方差
D（X）=E[
X-E（X）]2
标准差
D（X）[xkE（X）]2pk
D（X）[xE（X）]2f（x）dx
（X）D（X）
（2）期
（1）E（C）=C
望的性
（2）E（CX）=CE（X）
质
（3）E（X+Y）=E（X）+E（Y）
nn
，E（CiXi）CiE（Xi）
i1i1
（4）E（XY）=E（X）E（Y），充分条件：
X和Y独立；
充要条件：
X和Y不相关。
（3）方
（1）
D（C）=0；
E（C）=C
差的性
（2）
D（aX）=a2
D（X）；
E（aX）=aE（X）
D（aX+b）=a
2D（X）
E（aX+b）=aE（X）+b
D（X）=E（X
2）-E2（X）
（5）
D（X±
Y）=D（X）+D（Y）
，充分条件：
X和Y独立；
X和Y不相关。
±
2E[（X-E（X））（Y-E（Y））]，无条件
成立。
而E（X+Y）
=E（X）+E（Y）
，无条件成立。
B（1,p）
p
p（1p）
B（n,p）
np
np（1p）
泊松
P（）
（4）常
U（a,b）
ab
（ba）2
12
见分布
指数
1
的期望
和方差
e（）
N（,2）
（5）二维随机变量的
E（X）xipi?
i1
E（Y）yjp?
E（X）xfX（x）dx
E（Y）yfY（y）dy
E[G（X,Y）]＝
的期
G（xi,yj）pijij
G（x,y）f（x,y）dxdy
D（X）[xiE（X）]2pi?
D（X）[xE（X）]2fX（x）dx
D（Y）
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