完整版概率论与数理统计知识点总结Word格式.docx

1、 （AB） C=（A C）（BC） （A B） C=（AC） （BC）Ai Ai德摩根率： i 1 i 1 A B A B ， A B A B（4）概 率的 公 理化 定 义设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A都有一个实数 P（A） ， 若满足下列三个条件：1 0 P（A） 1 ，2 P（ ） =1 3对于两两互不相容的事件 A1， A2，有P Ai P（Ai）i1 i 1 则称 P（A） 为事件 A 的概率。（5）古 典概型 1, 2 n ，2P（ 1） P（ 2） P（ n） 1 。n设任一事件 A ，它是由 1, 2 m组成的，则有 P（A） = （ 1） （ 2 ） （ m）

2、 = P（ 1） P（ 2） P（ m）m A所包含的基本事件数 n 基本事件总数（6）几 何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A ， P（A） L（A） 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。L（ ）（7）加 法公式P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）当 AB 不相容 P（AB） 0 时， P（A+B）=P（A）+P（B）当 AB 独立， P（AB）=P（A）P（B）, P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）（8）减 法公式P（A-B）=

3、P（A）-P（AB）当 B A 时， P（A-B）=P（A）-P（B） 当 A= 时，P（ B）=1- P（B）（9）条 件概率定义 设 A、B 是两个事件，且 P（A）0 ，则称 PP（AAB） 为事件 A 发生 P（A） 条件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P（B/ A） PP（AAB） 。P（A） 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P（ /B）=1 P（ B /A）=1-P（B/A）（10） 乘法 公 式乘法公式： P（AB） P（A）P（B/ A） 更一般地，对事件 A1，A2，An，若 P（A 1A2An-1 ）0 ，则有P（A1A2An） P（A1）

4、P（A2| A1）P（A3| A1 A2） P（An | A1A2 An 1）。（11） 独立性两个事件的独立性设事件 A、B满足 P（AB） P（ A） P（B） ，则称事件 A、 B是相互独立的。若事件 A、 B相互独立，且 P（A） 0，则有P（AB） P（A）P（B）P（B| A） P（B）P（A） P（A）若事件 A 、 B相互独立，则可得到 A与B 、A与 B、A与 B也都相互 独立。必然事件 和不可能事件 ? 与任何事件都相互独立。? 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P（AB）=P（A）P（B） ；P（BC）=P（B）P（C） ；

5、 P（CA）=P（C）P（A） 并且同时满足 P（ABC）=P（A）P（B）P（C） 那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。（12） 全概 公 式设事件 B1,B2, ,Bn满足1B1,B2, , Bn两两互不相容， P（Bi） 0（i 1,2, ,n） ，A Bi i 1 ， 则有P（A） P（B1）P（A|B1） P（B2）P（A| B2） P（Bn）P（A|Bn）。全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题， 全概率公式的题型： 将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全 概率公式；（13） 贝叶 斯 公式设事件 B1， B2， Bn及 A满足 B1 ， B2

6、， Bn两两互不相容， P（Bi）0 ，i 1，2， n， i 1 ， P（A） 0 ，则P（Bi /A） nP（Bi）P（A/Bi） ，i=1 ，2，n。P（Bj）P（A/ Bj）j1此公式即为贝叶斯公式。P（Bi），（i 1，2，n），通常叫先验概率。 P（Bi/ A），（i 1，2， n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律， 并作出了“由果朔因”的推断。将试验可看成分为两步做，如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率， 就用贝叶斯公式 我们作了 n 次试验，且满足每次试验只有两种可能结果， A发生或 A 不发生；（14） 伯努 利 概型n 次试验是重复进行的

7、，即 A发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发 生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。用 p表示每次试验 A发生的概率，则 A发生的概率为 1 p q，用 Pn（k）表示 n重伯努利试验中 A出现 k（0 k n） 次的概率，Pn（k） Ckn pkqn k， k 0,1,2, ,n第二章 随机变量及其分布1 ） 设离散型随机变量 X 的可能取值为 X k （k=1,2, ）且取各个值的概率，即事件 （X=X k）的概率为 P（X=x k）=p k ，k=1,2, ， 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布

8、律。有时也用分 布列的形式给出：X | x1, x2, ,xk, P（X xk） p1,p2, , pk, 。 显然分布律应满足下列条件：pk 11） pk 0，k 1,2, ， （2） k 12 ） 设 F （x）是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f （x） ，对任意实数x，有xF（x） f （x）dx，则称 X为连续型随机变量。 f（x）称为 X的概率密度函数或密度函数， 简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：分 布 1、 f （x） 0x23、 P（x1 X x2） F（x2） F（x1） 2 f（x）dxx14、 P（x=a）=0,a 为常数，连续型随机变量取个别值的概

9、率为 0（3）设X为随机变量， x 是任意实数，则函数分布F（x）P（X x）函数称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。P（aX b） F（b） F（a） 可以得到 X 落入区间 （a,b 的概率。分布函数F （x）表示随机变量落入区间（ ，x 内的概率。分布函数具有如下性质：0 F（x） 1, x ；F（x） 是单调不减的函数，即 x1 x2时，有 F（x1） F（x2）；3F（ ） lim F（x） 0， F（ ） lim F（x） 1； xx4F（x 0） F（x），即 F （x）是右连续的；5P（X x） F（x） F（x 0） 。对于离散型随机变量， F（x） pk ；

10、xk xx 对于连续型随机变量， F（x） f（x）dx 。（4）0-1 分P（X=1）=p, P（X=0）=q六大布二项分在 n重贝努里试验中， 设事件 A发生的概率为 p 。事件 A发生的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2, ,n。P（X k） Pn（k） Cnkpkqn k， 其中q 1 p,0 p 1,k 0,1,2, ,n，则称随机变量 X 服从参数为 n， p 的二项分布。记为X B（n, p） 。当n 1时，P（X k） pkq1k，k 0.1，这就是（ 0-1 ）分布，所以（ 0-1 ）分布是二项分布的特例。泊松分设随机变量 X 的分布律为kP（X k）

11、 e ， 0， k 0,1,2 ， k!则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布， 记为 X （ ） 或者 P（ ）。泊松分布为二项分布的极限分布（ np= ，n ）。均匀分设随机变量 X的值只落在 a ，b内，其密度函数 f（x）在a， 1b 上为常数 1 ，即ba1 , ax bf（x） 0b, a 其他，则称随机变量 X 在a，b 上服从均匀分布，记为 XU（a ，b） 。分布函数为0， xb 。当 ax1x 2b 时，X 落在区间（ x1, x2 ）内的概率为x2 x1P（x1 X x2 ） 2 1 。指数分x e , x 0, f （x） ,0, x 0,其中 0 ，则称随机变量 X

12、 服从参数为 的指数分布。正态分设随机变量 X 的密度2 函数为（x ）2f （x）1 2 2e 2 ， x ，2其中 、0为常数，则称随机变量 X 服从参数为 、 的 2正态分布或高斯（ Gauss ）分布，记为 X N（ , ） 。f （x） 具有如下性质： f （x） 的图形是关于 x 对称的； 当 x时， f （ ） 1 为最大值；22若X N（, 2），则 X的分布函数为F （x） 21x e （t2 2） 2 dt参数0 、 1 时的正态分布称为标准正态分布，记为X N（0,1）1，其x密2 度函数记为（x）2 e 2， x ，分布函数为x t2（x） 12e 2 dt 。（x）是

13、不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。（-x） 1- （x） 且（0） 1 。如果 X 2 X 2N（ , 2），则 X N（0,1） 。P（x1 Xx2 ） 2 1 。（6）下分位表： P（X） ；分位上分位表：） 。数（7）离散型已知 X 的分布列为Xx1, x2, , xn,P（Xxi） p1, p2, , pn,Y g（X）的分布列（ yi g（xi ）互不相等）如下：的分Yg（x1）, g（x2）, , g（xn）, ，布函P（Y yi ） 若有某些ig （xi ）相等，则应将对应的 pi相加作为 g（xi） 的概率。连续型先利用X 的概率密度 fX（x） 写出 Y 的分布函数

14、 FY（y） P（g（X） y） ，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY（y） 。第三章 二维随机变量及其分布（ 1）联 离散型合分布如果二维随机向量 （ X，Y）的所有可能取值为至多可 列个有序对（ x,y ），则称 为离散型随机量。设 = （X ，Y）的所有可能取值为 （xi,yj）（i, j 1,2, ），且事 件 = （xi,yj ） 的 概 率 为 pij, 称 P（X,Y） （xi,yj） pij（i, j 1,2, ）为 = （X， Y）的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。 联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Y Xy1y2yjp11p12p1jp21p22p2jxi

15、pi1pij这里 pij 具有下面两个性质：1）pij0（i,j=1,2, ）；2 ） pij 1.ij对 于 二维 随 机向量 （X,Y） ，如 果 存 在非负函数 f （x,y）（ x , y ） ，使对任意一个其邻边分别平行 于 坐 标 轴 的 矩 形 区 域 D ， 即 D=（X,Y）|axb,cyx 1时，有 F（ x 2,y ）F（x 1 ,y）; 当 y2y 1时，有 F（x,y 2） F（x,y 1）;（3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即F（x, y） F（x 0,y）,F（x, y） F（x, y 0）;（4）F（ , ） F（ , y） F（x, ） 0,F

16、（ , ） 1.（5 ）对于 x1 x2，y1 y2，P（x 1x x2,y 1y y2）= F（x2，y2） F （x2，y1 ） F（x1，y2） F（x1，y1） 03 边 缘离散型 X 的边缘分布为Pi? P（X xi） pij （i,j 1,2, ）；jY 的边缘分布为P?j P（Y yj） pij（i, j 1,2, ）。iX 的边缘分布密度为 fX（x） f （x,y）dy；Y 的边缘分布密度为 fY（y） f （x,y）dx.4 条 件 分布在已知 X=x i的条件下， Y 取值的条件分布为 pijP（Y yj |X xi ） ij ；pi?在已知 Y=y j的条件下， X取值

17、的条件分布为 pijP（X xi |Y yj ） ij ,p?在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为 f （x, y）f （x| y） ；fY（y）在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为 f （x, y）f （y|x）fX （x）5 独 立 性一般型F（X,Y）=F X（x）F Y（y）pij pi? p?有零不独立f（x,y）=f X（x）f Y（y） 直接判断，充要条件： 可分离变量 正概率密度区间为矩形二维正态分布1 x 1 2 （x 1 ）（ y 2 ） y 21 2（1 2 ） 1 1 2 2f （x, y） 1 2 e ,2 1 2 1 20随机变 量的函 数若

18、 X1,X2,Xm,Xm+1 ,Xn 相互独立， h,g 为连续函数， 则：h（X1，X2,Xm）和 g （Xm+1 ,Xn）相互独立。 特例：若 X 与 Y 独立，则： h （X）和 g （Y）独立。 例如： 3X+1 和 5Y-2 独立。6 二 维 均匀分 布设随机向量（ X ，Y）的分布密度函数为1 （x,y） DSDf （x, y）0, 其他其中 SD 为区域 D 的面积，则称（ X ，Y）服从 D 上的均匀分布，记为（X，Y）U（D）。图 3.27 正 态1 x 1 2 （x 1 ）（y 2 ） y 21 2（1 2） 1 1 2 22 e ,1 2 1 2其中 1, 2,1 0,

19、2 0,| | 1是 5 个参数，则称（ X， Y）服从二维正态分布，记为（ X ，Y） N （ 1, 2, 12, 22, ）.由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN （1, 12）,Y N（ 2, 22）.但是若 X N（ 1, 12）,Y N（ 2, 22），（X ， Y）未必是二维正态分布。8 函 数Z=X+Y根据定义计算： FZ （z） P（Z z） P（X Y z）的分布对于连续型， fZ（z） f（x,z x）dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ 1 2 , 12 22 ）。n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。Ci i

20、， 2 Ci2 i2i i i i iiZ=max若 X1, X2 X n 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为,min（X 1Fx1 （ x）， F x2 （x） Fxn （x），则 Z=max,min（X 1,X2,Xn）的分布,X2, 函数为：Xn）Fmax（x） Fx1（x）?Fx2（x） Fxn （x）Fmin（x） 1 1 Fx1（x）?1 Fx2 （x） 1 Fxn （x）第四章 随机变量的数字特征（1）一维随 机期望设 X 是离散型随机设 X 是连续型随机变量，其概率密变量 的期望就是变量，其分布律为度为 f（x） ，数字 特平均值P（ X xk ） pk ，E（

21、X） xf （x）dx征k=1,2, ,n ，E（X） xk pkk1（要求绝对收敛）函数的期Y=g（X）望E（Y） g（xk ）pkE（Y） g（x） f （x）dx方差D（X）=EX-E（X） 2标准差D（X） xk E（X）2 pkD（X） x E（X）2f （x）dx（X） D（X）（2）期（ 1） E（C）=C望的 性（ 2） E（CX）=CE（X）质（ 3） E（X+Y）=E（X）+E（Y）nn， E（ CiXi ） CiE（Xi）i 1 i 1（4） E（XY）=E（X） E（Y） ，充分条件： X 和 Y 独立；充要条件： X 和 Y 不相关。（3）方（1）D（C）=0 ；E（

22、C）=C差的 性（2）D（aX）=a 2D（X） ；E（aX）=aE（X）D（aX+b）= a2D（X）E（aX+b）=aE（X）+bD（X）=E（X2）-E2（X）（5）D（X Y）=D（X）+D（Y），充分条件：X 和 Y 独立；X和 Y不相关。2E（X-E（X）（Y-E（Y） ，无条件成立。而 E（X+Y）=E（X）+E（Y），无条件成立。B（1, p）pp（1 p）B（n, p）npnp（1 p）泊松P（ ）（4）常U （a,b）ab（b a）212见分 布指数1的期 望和方差e（ ）N（ , 2）（5）二 维随 机 变量 的E（X） xi pi?i1E（Y） yj p?E（X） xfX （x）dxE（Y） yfY （y）dyEG（X,Y）的期G（xi, yj）pij ijG（x, y） f （x, y）dxdyD（X） xi E（X）2 pi?D（X） x E（X）2 fX（x）dxD（Y）