高考文科数学圆锥曲线专题复习docWord格式.docx

高考文科数学圆锥曲线专题复习docWord格式.docx

《高考文科数学圆锥曲线专题复习docWord格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考文科数学圆锥曲线专题复习docWord格式.docx（35页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

的关

a最大，c

b,c

c最大，可以ab,a

b,a

系

x

渐近

线

y

抛物线：

图

形

OF

l

xFOx

方

2px（p

0）y2

0）

2py（p

2py（p0）

程

焦

p,0）

（

（0,p）

（0,

p）

点

准

p

（一）椭圆

1.椭圆的性质：

由椭圆方程

1（

（1）范围：

ax

a，-b

xa

，椭圆落在x

ay

b组成的矩形中。

，

（2）对称性:

图象关于y轴对称。

图象关于x轴对称。

图象关于原点对称。

原点叫椭圆的对称中心，简称中心。

x轴、y轴叫椭圆的对称轴。

从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。

（3）顶点：

椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

椭圆共有四个顶点：

A（a,0）,A2（a,0），B（0,

b）,B2（0,b）。

加两焦点F1（

c,0）,F2（c,0）共有六个

特殊点。

A1A2叫椭圆的长轴，

B1B2叫椭圆的短轴。

长分别为

2a,2b。

a,b分别为椭圆的长半轴长和短半

轴长。

椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。

（4）离心率：

椭圆焦距与长轴长之比。

e

c

（b）2。

0e1。

椭圆形状与e的关系：

e

0,c

0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在

e0时

的特例。

e1,c

a,椭圆变扁，直至成为极限位置线段

F1F2，此时也可认为是椭圆在

e1

时的特例。

2.椭圆的第二定义：

一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个

（0,1）

内常数e，那么这

个点的轨迹叫做椭圆。

其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数

e就是离心率。

椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式

3.椭圆的准线方程

对于x2

y2

1，左准线l1:

；

右准线l2

:

对于y

1，下准线l1:

上准线l2:

焦点到准线的距离p

（焦参数）

（二）双曲线的几何性质：

1.

（1）范围、对称性

由标准方程x2

y2

1，从横的方向来看，直线

x＝－a,x＝a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x

的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。

双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。

（2）顶点

顶点：

A1（a,0）,A2a,0，特殊点：

B1（0,b）,B20,b

实轴：

A1A2长为2a,a叫做实半轴长。

虚轴：

B1B2长为2b，b叫做虚半轴长。

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。

（3）渐近线

过双曲线x2

y21的渐近线

bx（

（4）离心率

双曲线的焦距与实轴长的比e

2c

c，叫做双曲线的离心率

范围：

e>

2a

双曲线形状与

e的关系：

k

e2

1，e越大，即渐近线的斜率的绝对

值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。

由此可知，双曲线的离心率越大，

它的开口就越阔。

2.等轴双曲线

定义：

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

等轴双曲线的性质：

（1）渐近线方程为：

yx；

（2）渐近线互相垂直；

（3）离心率e2。

3.共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为ybxkbx（k0），那么此双曲线方程就一定是：

aka

1（k0）或写成

（ka）2

（kb）2

。

4.共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。

区别：

三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同。

共用一对渐近线。

双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。

确

定双曲线的共轭双曲线的方法：

将1变为－1。

5.双曲线的第二定义：

到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数ec（ca0）的点的轨迹是

双曲线。

其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。

常数e是双曲线的离心率。

6.双曲线的准线方程：

来说，相对于左焦点F1（c,0）对应着左准线l1:

，相对于右焦点F2（c,0）对

应着右准线l2

焦点到准线的距离

（也叫焦参数）。

对于y2

来说，相对于下焦点F1（0,c）对应着下准线l1:

相对于上焦点F2（0,c）对

应着上准线l2:

（三）抛物线的几何性质

（1）范围

因为p＞0，由方程y2

2pxp0可知，这条抛物线上的点

M的坐标（x，y）满足不等式x≥0，所

以这条抛物线在

y轴的右侧；

当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

（2）对称性

以－y代y，方程y2

2pxp0不变，所以这条抛物线关于

x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做

抛物线的轴。

（3）顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程y22pxp0中，当y＝0时，x＝0，因此抛物

线y22pxp0的顶点就是坐标原点。

抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。

由抛物线的定义可知，e＝1。

【典型例题】

例1.根据下列条件，写出椭圆方程

（1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8；

（2）和椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且经过点（2，－3）；

（3）中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的

距离是

10－

5。

确定

分析：

求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据

a2、b2的值进而写出标准方程。

解：

（1）焦点位置可在x轴上，也可在y轴上

a2＝b2＋c2

及已知条件

因此有两解：

x2

1或y2

16

12

（2）焦点位置确定，且为（

0，

1,（a>

b>

0），由已知条件有

5），设原方程为

5

9

4

15,b2

10，故方程为

1。

15

10

（3）设椭圆方程为

1,（a>

及a2＝b2＋c2，解得b＝5,a10

由题设条件有

故所求椭圆的方程是

例2.

直线y

kx

1与双曲线3x2

1相交于A、B两点，当a为何值时，A、B在双曲线的同一支

上？

当a为何值时，

A、B分别在双曲线的两支上？

把ykx

1代入3x2

整理得：

（3

a2）x2

2ax

0

（1）

当a

3时，

24

4a2

由

>

0得

6

6且a

3时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点

若A、B在双曲线的同一支，须

x1x2

0，所以a

3或a

3。

3

故当

3或3a

6时，A、B两点在同一支上；

当

3a

3时，A、B两点在

双曲线的两支上。

例3.

已知抛物线方程为

2p（x1）（p>

0），直线l:

m过抛物线的焦点

F且被抛物线截得

的弦长为

3，求p的值。

设l与抛物线交于

A（x1,y1）,B（x2,y2）,则|AB|

3.

由距离公式|AB|＝（x1-x2）2

（y1

y2）2

1|y1

2|

2|y1y2

|

k2

则有（y

）2

9.

2，消去x，得y2

2pyp2

2p（x

1）

（2p）2

4p2

0.

y1

2p,y1y2

p2.

从而（y1

（y1y2）2

4y1y2

即（2p）2

由于p>

0，解得p

例4.过点（1，0）

的直线l

与中心在原点，焦点在

x轴上且离心率为

2的椭圆C相交于A、B两点，直

线y=1x过线段AB的中点，同时椭圆

C上存在一点与右焦点关于直线

l对称，试求直线

l与椭圆C的方

程.

解法一：

由e=c

2,得a2

1,从而a2=2b2,c=b.

设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A（x1,y1）,B（x2,y2）

在椭圆上.

则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，

（x12－x22）+2（y12－y22）=0,y1

x1

.

2（y1

y2）

设AB中点为（x0,y0）,

则kAB=－x0

2y0

又（x0,y0）在直线y=1

x上，y0=1x0,

于是－

x0=－1,kAB=－1,

2y0

设l的方程为y=－x+1.

右焦点（b,0）

关于l的对称点设为（x′,y′）,

则xb

解得x

由点（1,1

－b）在椭圆上，得1+2（1－b）2=2b2,b2=9

a2

8

∴所求椭圆C的方程为8x2

=1,l的方程为y=－x+1.

解法二：

得a2

设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k（x－1）,

将l的方程代入C的方程，得（1+2k2）x2－4k2x+2k2－2b2=0,

则x1+x2=

4k2

y1+y2=k（x1－1）+k（x2

－1）=k（x1+x2）

－2k=－

2k

2k2

2k2

的中点

）,则

k

直线l：

y=

x过AB

12k2

212k2

解得k=0，或k=－1.

若k=0,则l

的方程为y=0,焦点F（c,0）关于直线l

的对称点就是

F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍

去，从而k=－1，直线l

的方程为y=－（x－1）,即y=－x+1,以下同解法一.

解法3：

设椭圆方程为

1（a

0）

（1）

直线l

不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线

1x过AB中点矛盾。

故可设直线l的方程为y

k（x

1）

（2）

（2）代入

（1）消y整理得：

（k2a2

b2）x2

2k2a2x

a2k2

a2b2

0（3）

设A（x1，y1）B（x2，y2），知：

x1

2k2a2

k2a2

又y1

k（x1

x2）

2k代入上式得：

1，

k2kk2a2

kk

1，又e

ka2

2b2

2（a2

c2）

2e2

直线l的方程为y

x，

此时a2

2b2，方程（3）化为3x2

4x

0，

24（1

b2）

8（3b2

1）0

椭圆C的方程可写成：

x2

2y2

2b2（4）

，又c2

b2，

右焦点F（b，0）

，设点F关于直线l的对称点（x0，y0），

y0

x0

则

，y

b，