全国初中数学联合竞赛试题参考答案Word格式文档下载.docx
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4.已知实数,ab满足2
2
1ab+=,则4
4
aa
bb++的最小值为（BA.18-
.B.0.C.1.D.98
.5.若方程22320xpxp+--=的两个不相等的实数根12,xx满足2323
11224（xxxx+=-+,则实数p
的所有可能的值之和为（B
A.0.
B.34-
.C.1-.D.5
-.6.由1,2,3,4这四个数字组成四位数abcd（数字可重复使用,要求满足acbd+=+.这样的四位数共有（C
A.36个.
B.40个.
C.44个.
D.48个.二、填空题
1.已知互不相等的实数,,abc满足111
abctbca
+
=+=+=,则t=1
±
.
2.使得521m
⨯+是完全平方数的整数m的个数为1.
3.在△ABC中,已知AB=AC,∠A=40°
P为AB上一点,∠ACP=20°
则
BC
AP
=3.4.已知实数,,abc满足1abc=-,4abc++=,2
224
3131319
abcaabbcc++=------,则222abc++=
33
第二试（A
一、已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为,,abc（abc≤<
则30abc++=.显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长c,下面先求c的值.由abc≤<
及30abc++=得303abcc=++<
所以10c>
由abc+>
及30abc++=得302abcc=++>
所以15c<
.又因为c为整数,所以1114c≤≤.
根据勾股定理可得2
abc+=,把30cab=--代入,化简得30（4500abab-++=,所以
22（30（30450235ab--==⨯⨯,
因为,ab均为整数且ab≤,所以只可能是22
305,3023,
ab⎧-=⎪
⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.ab=⎧⎨=⎩所以,直角三角形的斜边长13c=,三角形的外接圆的面积为
169
π.二.如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D.证明:
ADBDCD=⋅.
证明:
连接OA,OB,OC.
∵OA⊥AP,AD⊥OP,∴由射影定理可得2PAPDPO=⋅,2
ADPDOD=⋅.
又由切割线定理可得2
PAPBPC=⋅,∴PBPCPDPO⋅=⋅,∴D、B、C、O四点共圆,∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC,∠PBD=∠COD,∴△PBD∽△COD,
∴
PDBDCDOD
=,∴2
ADPDODBDCD=⋅=⋅.三.已知抛物线2
16
yxbxc=-++的顶点为P,与x轴的正半轴交于A1（,0x、B2（,0x（12xx<
两点,与y轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.设M3
（0,2
-,若AM//BC,求抛物线的解析式.
解易求得点P2
3（3,2
bb
c+,点C（0,c.
设△ABC的外接圆的圆心为D,则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上,设点D的坐标为（3,bm.显然,12,xx是一元二次方程2
106
xbxc-
++=的两根,所以21396xbbc=-+,22396xbbc=++,又AB的中点E的坐标为（3,0b,所以AE=296bc+.
因为PA为⊙D的切线,所以PA⊥AD,又AE⊥PD,所以由射影定理可得2
AEPEDE=⋅,即
2223
（96（||
bcbcm+=+⋅,又易知0m<
所以可得6m=-.又由DA=DC得2
DADC=,即22222（96（30（bcmbmc++=-+-,把6m=-代入后可解得6c=-（另一解0c=舍去.
D
P
O
A
B
C
又因为AM//BC,所以OAOM
OBOC=,即
23||
3962|6|
396bbcbbc--+=-++.把6c=-代入解得52b=
（另一解5
b=-舍去.因此,抛物线的解析式为215
662
yxx=-+-.
第二试（B
一.已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为,,abc（abc≤<
则60abc++=.显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长c,下面先求c的值.
由abc≤<
及60abc++=得603abcc=++<
所以20c>
.由abc+>
及60abc++=得602abcc=++>
所以30c<
.又因为c为整数,所以2129c≤≤.
abc+=,把60cab=--代入,化简得60（18000abab-++=,所以
322（60（601800235ab--==⨯⨯,
因为,ab均为整数且ab≤,所以只可能是32
6025,6035,ab⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或2
226025,
6023,ab⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪
⎩解得20,15,ab=⎧⎨
=⎩或10,
24.
ab=⎧⎨=⎩
当20,15ab==时,25c=,三角形的外接圆的面积为
625
π;
当10,24ab==时,26c=,三角形的外接圆的面积为169π.
二.如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D,△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明:
∠BAE=∠ACB.
连接OA,OB,OC,BD.
∵OA⊥AP,AD⊥OP,∴由射影定理可得
2PAPDPO=⋅,2ADPDOD=⋅.
PAPBPC=⋅,
∴PBPCPDPO⋅=⋅,∴D、B、C、O四点共圆,∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC,
∠PBD=∠COD,∴△PBD∽△COD,∴PDBD
CDOD=,∴2
BDCDPDODAD⋅=⋅=,∴BDADADCD
=.又∠BDA=∠BDP+90°
=∠ODC+90°
=∠ADC,∴△BDA∽△ADC,∴∠BAD=∠ACD,∴AB是△ADC的外接圆的切线,∴∠BAE=∠ACB.
E
三.已知抛物线2
yxbxc=-
++的顶点为P,与x轴的正半轴交于A1（,0x、B2（,0x（12xx<
两点,与y轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.将抛物线向左平移24（31-个单位,得到的新抛物线与原抛物线交于点Q,且∠QBO=∠OBC.求抛物线的解析式.
解抛物线的方程即22
13（362
byxb
c=--+
+,所以点P23（3,2bbc+,点C（0,c.设△ABC的外接圆的圆心为D,则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上,设点D的坐标为（3,bm.显然,12,xx是一元二次方程2
++=的两根,所以21396xbbc=-+,
22396xbbc=++,又AB的中点E的坐标为（3,0b,所以AE=296bc+.
将抛物线22
13（3662byxb=--+
-向左平移24（31-个单位后,得到的新抛物线为22
13（324324662
byxb=--+-+-.
易求得两抛物线的交点为Q2
3（312123,4831022
bb+-+-.由∠QBO=∠OBC可得tan∠QBO=tan∠OBC.
作QN⊥AB,垂足为N,则N（312123,0b+-,又22
239363（4xbbbb=+-=+-,所以
tan∠QBO=QNBN=2
2223483102132368223（4（31212344（31
bbbbbb+-+-=⋅
+--+--+-221416（423244（31bb---=⋅-+-222221（4[4（31]1[44（31]2244（31
bbb---=⋅=⋅----+-.又tan∠OBC=
OCOB2261
（42
3（4bbbb==⋅--+-,所以2211
[44（31]（422
bbb⋅---=⋅--.解得4b=（另一解4（23503b=-<
舍去.因此,抛物线的解析式为2
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