全国初中数学联合竞赛试题参考答案Word格式文档下载.docx

1、4.已知实数,a b 满足221a b +=,则44a ab b +的最小值为 （ B A .18-. B .0. C .1. D .98. 5.若方程22320x px p +-=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224（x x x x +=-+,则实数p的所有可能的值之和为 （ B A .0.B .34-. C .1-. D .5-. 6.由1,2,3,4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用,要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ C A .36个.B .40个.C .44个.D .48个. 二、填空题1.已知互不相等的实数,a b c 满足111a

2、 b c t b c a+=+=+=,则t =1.2.使得521m+是完全平方数的整数m 的个数为 1 .3.在ABC 中,已知AB =AC ,A =40,P 为AB 上一点,ACP =20,则BCAP=3. 4.已知实数,a b c 满足1abc =-,4a b c +=,22243131319a b c a a b b c c +=-,则222a b c +=33第二试 （A 一、已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,a b c （a b c ,则30a b c +=. 显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长c ,下面先求c 的值.

3、由a b c 及30a b c +=得303a b c c =+由a b c +及30a b c +=得302a b c c =+,所以15c . 又因为c 为整数,所以1114c .根据勾股定理可得2a b c +=,把30c a b =-代入,化简得30（4500ab a b -+=,所以22（30（30450235a b -=,因为,a b 均为整数且a b ,所以只可能是22305,3023,a b -=-=解得5,12.a b = 所以,直角三角形的斜边长13c =,三角形的外接圆的面积为169. 二.如图,PA 为O 的切线,PBC 为O 的割线,A D OP 于点D .证明:AD

4、 BD CD =.证明:连接OA ,OB ,OC.OA AP ,A D OP ,由射影定理可得2PA PD PO =,2AD PD OD =.又由切割线定理可得2PA PB PC =,P B P C PD PO =,D 、B 、C 、O 四点共圆, PDB =PCO =OBC =ODC ,PBD =COD ,PB D COD ,PD BD CD OD=,2AD PD OD BD CD =. 三.已知抛物线216y x bx c =-+的顶点为P ,与x 轴的正半轴交于A 1（,0x 、B 2（,0x （12x x 两点,与y 轴交于点C ,PA 是ABC 的外接圆的切线.设M 3（0,2-,若

5、AM/BC ,求抛物线的解析式.解 易求得点P 23（3,2b bc +,点C （0,c .设ABC 的外接圆的圆心为D ,则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上,设点D 的坐标为（3,b m . 显然,12,x x 是一元二次方程2106x bx c -+=的两根,所以21396x b b c =-+,22396x b b c =+,又AB 的中点E 的坐标为（3,0b ,所以AE =296b c +.因为PA 为D 的切线,所以PA AD ,又A E PD ,所以由射影定理可得2AE PE DE =,即2223（96（|b c b c m +=+,又易知0m ,所以可得6m =-.

6、又由DA =DC 得2DA DC =,即22222（96（30（b c m b m c +=-+-,把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去.DPOABC又因为AM/BC ,所以OA OMOB OC =,即23|3962|6|396b b c b b c -+=-+. 把6c =-代入解得52b =（另一解5b =-舍去. 因此,抛物线的解析式为215662y x x =-+-.第二试 （B 一.已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,a b c （a b c ,则60a b c +=. 显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长

7、c ,下面先求c 的值.由a b c 及60a b c +=得603a b c c =+. 由a b c +及60a b c +=得602a b c c =+,所以30c . 又因为c 为整数,所以2129c .a b c +=,把60c a b =-代入,化简得60（18000ab a b -+=,所以322（60（601800235a b -=,因为,a b 均为整数且a b ,所以只可能是326025,6035,a b -=-=或2226025,6023,a b -=-= 解得20,15,a b =或10,24.a b =当20,15a b =时,25c =,三角形的外接圆的面积为625

8、; 当10,24a b =时,26c =,三角形的外接圆的面积为169.二.如图,PA 为O 的切线,PBC 为O 的割线,A D OP 于点D ,ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E.证明:BAE =ACB.连接OA ,OB ,OC ,BD.OA AP ,A D OP ,由射影定理可得2PA PD PO =,2AD PD OD =.PA PB PC =,P B P C PD PO =,D 、B 、C 、O 四点共圆, PDB =PCO =OBC =ODC ,PBD =COD ,PB D COD , PD BDCD OD =, 2BD CD PD OD AD =,BD AD AD CD=.

9、 又BDA =BDP +90=ODC +90=ADC ,BDA ADC , BAD =ACD ,AB 是ADC 的外接圆的切线,BAE =ACB.E三.已知抛物线2y x bx c =-+的顶点为P ,与x 轴的正半轴交于A 1（,0x 、B 2（,0x （12x x 两点,与y 轴交于点C ,PA 是ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移24（31-个单位,得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ,且QBO =OBC.求抛物线的解析式.解 抛物线的方程即2213（362b y x bc =-+,所以点P 23（3,2b b c +,点C （0,c . 设ABC 的外接圆的圆心为D ,则点P 和点

10、D 都在线段AB 的垂直平分线上,设点D 的坐标为（3,b m . 显然,12,x x 是一元二次方程2+=的两根,所以21396x b b c =-+,22396x b b c =+,又AB 的中点E 的坐标为（3,0b ,所以AE =296b c +.将抛物线2213（3662b y x b =-+-向左平移24（31-个单位后,得到的新抛物线为 2213（324324662b y x b =-+-+-.易求得两抛物线的交点为Q 23（312123,4831022b b +-+-. 由QBO =OBC 可得tan QBO =tan OBC.作QN AB ,垂足为N ,则N （312123,0b +-,又22239363（4x b b b b =+-=+-,所以tan QBO =QN BN =22223483102132368223（4（31212344（31b b b b b b +-+-=+-+-+- 221416（423244（31b b -=-+-222221（44（31144（312244（31b b b -=-+-. 又tan OBC =OC OB 2261（423（4b b b b =-+-,所以 221144（31（422b b b -=-. 解得4b =（另一解4（23503b =-,舍去.因此,抛物线的解析式为21466