高考数学一轮复习三角函数的图象及性质教案理.docx

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高考数学一轮复习三角函数的图象及性质教案理

2019-2020年高考数学一轮复习三角函数的图象及性质教案理

知识梳理：

（阅读教材必修4第30页—第72页）

1、三角函数的图象及性质

函数

正弦函数

余弦函数

正切函数

图象

定义域

值域

单调性

奇偶性

周期性

对称中心

对称轴

2、周期函数：

对于函数如果存在一个非零常数T，使得当x取定义内的每一个值时，都有=，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做函数的周期；最小正周期：

对于周期函数，如果在它的所有周期中，存在一个最小正数，那么这个最小的正数就叫做函数的最小正周期，常把最小正周期叫做函数的周期。

3、三角函数的图象的画法：

（1）、利用三角函数线的几何画法；

（2）、利用变换法（3）、五点法作图

4、三角函数方程与三角不等式的解法

主要根据三角函数的图象，先找出在一个周期内的方程或不等式的解，再写出和它们终边相同的角的集合。

探究一：

三角函数的定义域问题

例1：

（1）、求函数的定义域；

（2）、求函数的定义域；

（3）、求函数的定义域。

探究二：

三角函数的最值问题

例2：

（xx天津）（本小题满分13分）

已知函数，.

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求在闭区间上的最大值和最小值.

【答案】

（1）

（2）

本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.满分13分.

（Ⅰ）解：

由已知，有cosx（sinxcos+cosxsin）-=sinxcosx-cos2x+

=+=（1+cos2）+=

=所以，的最小正周期T==

例3：

（xx新课标2理科）.函数的最大值为_________.

探究三：

三角函数的图象与性质

例4：

设函数f（x）的图角的一条对称轴是

（1）:

求；

（2）:

求函数的单调区增区间

例5：

函数在区间[]上的最大值为1，求

探究四：

三角函数的值域

例6：

+）

例7：

sinx+cosx+sinxcosx+1，x]

例8：

一、方法提升

1、求三角函数的定义域常用的方法：

通过解不等式最后化成一个三角函数值的范围，再利用三角函数的图象或三角函数线求解，若需要解三角不等式组，要注意运用数轴取交集；

2、求三角函数的值域或最值常用方法：

（1）将三角函数关系式化成一角一函数的形式，利用三角函数的有界性或三角函数的单调性来解；

（2）将三角函数关系式化成一个角的三角函数式的二次函数式，利用配方或二次函数的图象求解，要注意变量的范围；（3）数形结合法、换元法。

3、三角函数的奇偶怀的判定与代数函数的奇偶性的判断方法步骤一致：

（1）先看定义域是否关于原点对称，

（2）在满足

（1）后，再看的关系。

4、求函数的值域和最值、求函数的单调区间、判断函数的奇偶性、求函数的最小正周期都要通过恒等变形将函数转化为基本三角函数类型，因此，要注意化归思想的应用，但要注意变形前后的等价性，值得强调的是，要牢记各基本三角函数的性质，这是解决问题的关键。

二、反思感悟

五、课时作业

1、函数的图象的对称轴方程是（）

A、x=B、x=C、x=D、x=

2、若点P（sin,tan）在第一象限内，则在[0,2内的取值范围是（）

A、B、

C、D、

3、已知函数下面的结论错误的是（）

A、函数的最小正周期为2B、函数在区间上是增函数

C、函数的图象关于直线x=0对称。

D、函数是奇函数

4、已知函数（>0）,在[0,2上的图象如下，那么=

A、1B、2C、D、

5、若动直线x=a与函数和的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为（）

A、1B、C、D、2

6、函数的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f（x）,当y=f（x）为奇函数时，向量a可以等于

A.B.C.D.

7．函数f（x）＝tan（x＋）的单调增区间为（　　）

A．（kπ－，kπ＋），k∈ZB．（kπ，（k＋1）π），k∈Z

C．（kπ－，kπ＋），k∈ZD．（kπ－，kπ＋），k∈Z

解析：

选C.由kπ－

得单调增区间为，k∈Z.

8．已知函数f（x）＝sin（x－）（x∈R），下面结论错误的是（　　）

A．函数f（x）的最小正周期为2π

B．函数f（x）在区间[0，]上是增函数

C．函数f（x）的图象关于直线x＝0对称

D．函数f（x）是奇函数

解析：

选D.∵y＝sin（x－）＝－cosx，∴T＝2π，A正确；

y＝cosx在[0，]上是减函数，y＝－cosx在[0，]上是增函数，B正确；

由图象知y＝－cosx关于直线x＝0对称，C正确．

y＝－cosx是偶函数，D错误．

9．若函数y＝2cos（2x＋φ）是偶函数，且在（0，）上是增函数，则实数φ可能是（　　）

A．－B．0

C.D．π

解析：

选D.依次代入检验知，当φ＝π时，函数y＝2cos（2x＋π）＝－2cos2x，此时函数是偶函数且在（0，）上是增函数．

10.函数y＝|sinx|－2sinx的值域是（　　）

A．[－3，－1]B．[－1,3]

C．[0,3]D．[－3,0]

解析：

选B.当0≤sinx≤1时，y＝sinx－2sinx＝－sinx，此时y∈[－1,0]；当－1≤sinx<0时，y＝－sinx－2sinx＝－3sinx，此时y∈（0,3]，求其并集得y∈[－1,3]．

11.函数y＝sin（－x）的单调递增区间为________．

解析：

由y＝sin（－x）得y＝－sin（x－），

由＋2kπ≤x－≤π＋2kπ，k∈Z，得

π＋3kπ≤x≤＋3kπ，k∈Z，

故函数的单调增区间为[π＋3kπ，＋3kπ]（k∈Z）．

答案：

[π＋3kπ，＋3kπ]（k∈Z）

12．（原创题）若f（x）是以5为周期的函数，f（3）＝4，且cosα＝，则f（4cos2α）＝________.

解析：

4cos2α＝4（2cos2α－1）＝－2.

∴f（4cos2α）＝f（－2）＝f（－2＋5）＝f（3）＝4.

答案：

4

13．已知函数f（x）＝sin2x－2cos2x（x∈R）．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值及相应的x值．

解：

（1）f（x）＝sin2x－2cos2x＝sin2x－cos2x－1，

则f（x）＝sin（2x－）－1，

所以，函数f（x）的最小正周期为π.

（2）由x∈[0，]，得3x－∈[－，]，

当2x－＝，即x＝π时，f（x）有最大值－1.

补充练习

1.f（x）=sinx-x的零点个数为:

A.1B.2C.3D.4

2．函数f（x）＝tanωx（ω>0）图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f（）的值是（　　）

A．0B．1C．－1D.

解析：

选A.由题意知T＝，由＝得ω＝4，

∴f（x）＝tan4x，∴f（）＝tanπ＝0.

3．下列关系式中正确的是（　　）

A．sin11°

C．sin11°

解析：

选C.∵sin168°＝sin（180°－12°）＝sin12°，

cos10°＝sin（90°－10°）＝sin80°.

又∵g（x）＝sinx在x∈[0，]上是增函数，

∴sin11°

4．设点P是函数f（x）＝sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f（x）的最小正周期是（　　）

A.B．πC．2πD.

解析：

选A.依题意得＝，所以最小正周期为T＝.

5．已知函数y＝2sin2（x＋）－cos2x，则它的周期T和图象的一条对称轴方程是（　　）

A．T＝2π，x＝B．T＝2π，x＝

C．T＝π，x＝D．T＝π，x＝

解析：

选D.∵y＝2sin2（x＋）－cos2x＝1－cos（2x＋）－cos2x＝1＋sin2x－cos2x＝1＋sin（2x－），所以其周期T＝π，对称轴方程的表达式可由2x－＝kπ＋（k∈Z）得x＝＋（k∈Z），故当k＝0时的一条对称轴方程为x＝，故答案为D.

6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞）上是增函数．令a＝f（sin），b＝f（cos），c＝f（tan），则（　　）

A．b＜a＜cB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．a＜b＜c

解析：

选A.sinπ＝sin（π－π）＝sinπ.又＜π＜π.

由三角函数线tanπ＜cosπ＜sinπ且cosπ＜0，

sinπ＞0.如图．

∴＜＜.

又f（x）在[0，＋∞）上递增且为偶函数，

∴f（）＜f（）＜f（），

即b＜a＜c，故选A.

7．函数y＝lgsinx＋的定义域为________．

解析：

（1）要使函数有意义必须有，即，

解得（k∈Z），∴2kπ

∴函数的定义域为{x|2kπ

答案：

{x|2kπ

8．已知函数f（x）＝2sinωx（ω>0）在区间[－，]上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．

解析：

由题意知≤，T＝，∴2ω≥3，ω≥，

∴ω的最小值等于.

9．对于函数f（x）＝，给出下列四个命题：

①该函数是以π为最小正周期的周期函数；

②当且仅当x＝π＋kπ（k∈Z）时，该函数取得最小值－1；

③该函数的图象关于x＝＋2kπ（k∈Z）对称；

④当且仅当2kπ

其中正确命题的序号是________．（请将所有正确命题的序号都填上）

解析：

画出f（x）在一个周期[0,2π]上的图象．

答案：

③④

10.已知函数f（x）＝log2[sin（2x－）]．

（1）求函数的定义域；

（2）求满足f（x）＝0的x的取值范围．

解：

（1）令sin（2x－）>0⇒sin（2x－）>0⇒2kπ<2x－<2kπ＋π，k∈Z⇒kπ＋

（2）∵f（x）＝0，∴sin（2x－）＝⇒2x－＝2kπ＋或2kπ＋π，k∈Z⇒x＝kπ＋π或x＝kπ＋π，k∈Z，故x的取值范围是{x|x＝kπ＋π或x＝kπ＋π，k∈Z}．

11．已知函数f（x）＝sin2ωx＋sinωxsin（ωx＋）（ω>0）的最小正周期为π.

（1）求ω的值；

（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．

解：

（1）f（x）＝＋sin2ωx

＝sin2ωx－cos2ωx＋

＝sin（2ωx－）＋.

因为函数f（x）的最小正周期为π，且ω>0，

所以＝π，解得ω＝1.

（2）由

（1）得f（x）＝sin（2x－）＋.

因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，

所以－≤sin（2x－）≤1，所以0≤sin（2x－）＋≤，

即f（x）的取值范围为[0，]．

12．已知a>0，函数f（x）＝－2asin（2x＋）＋2a＋b，当x∈[0，]时，－5≤f（x）≤1.

（1）求常数a，b的值；

（2）设g（x）＝f（x＋）且lgg（x）>0，求g（x）的单调区间．

解：

（1）∵x∈[0，]，

∴2x＋∈[，]，