张利宏X射线多晶衍射实验报告Word格式.docx
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2、布拉格衍射方程
晶体中原子的排列是有规律的、周期性的，原子间的距离在几埃左右，当波长跟此数量级相近的X射线入射到晶体上，位于晶格点阵上的原子将对X射线产生散射。
同一晶面族上入射相同的反射线在相互叠加时，如果它们的相位相同将产生干涉。
为某一晶面族的间距，h，k，l为晶面族的面指数，入射X射线与该晶面成
角。
相邻两平面反射的两条X射线的光程差为
。
当光程差
为入射X射线波长的整数倍n时，
（1）
即产生第n级干涉最大值。
此式称为布拉格方程。
3、X射线粉末衍射
在晶体粉末X射线衍射图谱中，通常衍射峰对应的衍射角取决于晶体的大小和形状，以此对样品进行定性物相分析；
而衍射峰的强度取决于晶胞内原子的类型和分布，以此对样品进行定量物相分析。
（一）定性物相分析
定性物相分析的关键就是将获得的未知样品的衍射图谱与已经化合物的衍射图谱进行一一对比，当未知材料的衍射数据满足以下条件时，便可以确定样品的组成成分。
（1）样品衍射图谱中能找到某组分物相应该出现的各衍射峰，且其实验的值与相应的已知的值在实验误差范围内误差是一致的。
（2）所有衍射峰的相对强度顺序与已知组分物相的强度顺序原则上保持一致，但当晶体晶粒具有择优取向时，衍射峰的相对强度顺序会发生变化。
实验中采用粉末卡片衍射集（PDF）对比已知衍射图谱。
（二）定量物相分析
目前最常用的定量物相分析法有内标法、参考强度比法、吸收衍射法等。
这些方法都需要利用制定好的各种标准及多次重复安放样品，对仪器进行反复、仔细的校准。
实验中使用的是内标法。
为避免繁复的强度因子计算，可在试样内均匀混入一定量的标准物，再根据标准物和被测相的衍射线强度来求测物相的定量组成，这种方法就是内标法。
内标物应有稳定的化学性质，它不应与试样起作用，内标物的较强的衍射峰应靠近被测相所选定测量的衍射峰，但不相互重叠，通常选立方晶体较好，因其对称性高，衍射线条少；
当然内标法只能用于粉末试样，内标物应与被测试样充分混合研窟．所以内标物的衍射线强度不应明显受研磨的影响。
实验装置：
本实验采用的是554-81型X射线衍射仪。
该衍射仪主要由X射线发生器、衍射测角仪、衍射数据采集及数据处理系统等部分组成，如图2所示。
NaCl单晶，面心立方结构，表面：
平行（100）；
LiF单晶，面心立方结构，表面：
平行（100）。
晶体尺寸为25mm*25mm*4mm
1、X射线发生器
X射线发生器一般是由X射线管、高压发生器、管压管流稳定电路和各种保护电路等部分组成。
2、测角仪
测角仪是衍射仪中最精密的机械部分，用来准确测量衍射角，是衍射仪的核心部分。
3、探测仪与数据采集
4、操作与数据处理系统
本实验中衍射仪的运行控制、数据采集与分析都是通过一个计算机X射线分析实时操作系统完成的。
图2X射线衍射仪结构示意图
实验结果极其分析：
1、样品A
采集数据，启动PDF数据库软件，测定样品A的衍射图谱，如图3所示，然后利用操作与数据处理系统分析出样品A为NaCl晶体.
图3样品A衍射图谱
表1样品A衍射角与强度关系表
衍射角2ϴ
I
6.1
1600
7.0
3434
12.7
333
14.3
924
19.3
99
21.9
216
实验分析：
1.X射线对人体有害，实验分析用的X射线与医疗诊断用的X射线波长不同，危害更大，操作时严禁X射线直接照射人体任何部位，实验测量过程中严禁打开铅玻璃滑门。
2.实验时操作比较简单，只需要打开电源设置好相应的参数就X射线衍射仪就可以自动读出已经放置好的样品的衍射峰图样，我们可以再电脑上直接进行相应的数据处理。
3.布拉格方程是x射线在晶体中产生衍射的必要条件
4.有些情况下晶体虽然满足布拉格方程，但是不一定出现衍射线，这就是所谓的系统消光
5.使晶体产生衍射的方法A，入射方向不变转动晶体，B，固定晶体入射方向转动。
参考文献：
【1】熊俊.近代物理实验.北京师范大学出版社2007
高斯光束在单轴晶体中的布拉格衍射特性
郭汉明陈家璧李湘宁庄松林（上海理工大学光学与电子信息工程学院，上海200093）
*
利用适当的坐标变换和黎曼方法建立了高斯光束在单轴晶体中布拉格衍射的严格的耦合波理论，获得了一组严格的耦合波方程和衍射效率计算公式，讨论了衍射效率随折射率调制量的关系以及波长选择性和角度选择性，同时分析了衍射效率对再现光宽度的要求。
模拟计算表明，异常光与异常光（ee）型布拉格衍射能够达到的最大衍射效率由记录时入射角决定，而且通过各参量的适当的选择，理论上ee型布拉格衍射能够在折射率调制量很低（如8．2×
10-5）的情况下获得接近90％的衍射效率。
该理论模型为如何在较低折射率调制量下获得较高衍射效率提供了理论指导。
关键词：
衍射与光栅；
布拉格衍射；
耦合波理论；
高斯光束；
单轴晶体；
黎曼方法中图分类号：
0734文献标识码：
A
BraggDiffractionofaGaussianBeaminaUniaxialCrystal
GuoHanmingChenJiabiLiXiangningZhuangSonglin（CollegeofOpticsandElectronicsEngineering，UniversityofShanghaiforScienceandTechnology，Shanghai200093）（Received14May2003；
revised11December2003）
Abstract：
ArigorouscoupledwavetheoryfortheBraggdiffractionofaGaussianbeamintheuniaxialcrystalisderivedandagroupofrigorouscoupledwaveequationsanddiffractionefficiencyformulaareobtainedintermsofthepropercoordinatetransformationandRiemannmethod．Therelationsbetweentheefficiencyandtheindexmodulation。
thewavelengthselectivityandtheangularselectivityarediscussed．Atthesametime，therequirementoftheefficiencyonwidthofthereconstructionbeamsisalsoanalyzed．Simulationcalculationsshowthat，fortheextraordinarytoextraordinary（ee）Braggdiffraction，thepossiblemaximumefficiencyisdeterminedbytheincidentangleoftherecordingbeams．Moreover，bychoosingeveryparameterproperly,thetheoreticalefficiencycanreachapproximately90％intheverylowindexmodulationsuchas8．2×
10～foreetypeBraggdiffraction．Thismodelmaygiveatheoreticguidanceforhowtoobtainhighefficiencyinthelowindexmodulationcondition．Keywords：
diffractionandgratings；
Braggdiffraction；
coupledwavetheory；
Gaussianbeams；
uniaxialcrystal；
Riemannmethod
引iz：
l
体全息光栅在集成光学、全息学、光谱学中，尤其近来高密度光存储的研究中，有着广泛的应用Ⅲ。
对这种光栅衍射特性的分析主要采用耦合波理
*上海市科委光科专项项目（012261018、036105033）资助课题。
E-mail：
jbehenk@online．sh．ca收稿日期：
2003—05—14；
收到修改稿日期：
2003—12-11
论瞳~8]，但是尽管耦合波理论的研究目前已有了很大的发展，在晶体中高斯光束布拉格衍射的耦合波理论却还不完善。
1969年，Kogelnik[23建立的经典耦合波理论模型是一种无限大平面波的耦合波模型，这种理论模型在分析厚度较大的各向同性平面记录介质中的体全息光栅衍射特性时获得了很大的成功，但是不适宜分析晶体中的体全息光栅衍射特性。
从20世纪60年代末到80年代初，Solymar等[3—3建立了有限
万方数据
光学学报
宽度光束的耦合波模型。
他们的模型分析了各向同性介质中记录光和再现光为有限宽度的平面波光束和高斯光束的体全息光栅衍射。
在满足布拉格条件的情况下，利用黎曼方法给出了在某些特定条件下的解析解，但对于偏离布拉格条件时发生的波长选择性和角度选择性等重要指标不能进行分析。
随后，Gaylord等口~71提出了另外一种模型一一严格耦合波模型（RCWT）。
这种模型是基于Kogelnik理论，也就是说，它也是针对一维的无限大平面波这种情况，不同之处是它考虑了多级衍射光，直接利用电场和磁场的在边界连续的条件用数值方法求解。
到了20世纪90年代，Chen—wenTarnEs]发表了一篇关于高斯光束在各向异性介质中的布拉格衍射的文章。
在这篇文章中，作者虽然考虑了布拉格偏移和二阶分量，但是使用的是标量波动方程，并且该模型的记录光栅区是由无限大的平面光波形成的区域，与实际情况也有一定的差异。
在实际使用情况中，光栅区往往是由两个有限宽度的光束在晶体中形成的交叉区域，衍射再现时用的是高斯光束。
因此本文根据这一实际情况建立严格耦合波理论，来讨论各向异性介质中体全息光栅的布拉格衍射特性。
在第2节的理论模型中详尽地讨论了晶体中光波场诸参量之间的关系，从矢量波动方程出发建立了严格耦合波方程，提出了合理的边界条件，利用黎曼方法给出了解析解。
在第3节中，以LiNbO。
晶体为例进行的模拟计算，讨论了衍射效率随折射率调制量的关系以及波长选择性和角度选择性，同时分析了衍射效率对再现光宽度的要求，提出了在较低折射率调制量下获得较高衍射效率的方法。
2理论模型
假定在单轴晶体中记录了一个有限宽度的平面波干涉产生的体光栅，再现光波为有限宽度的高斯光束。
单轴晶体中，存在O光（偏振方向垂直于波矢K和光轴所确定的平面）和e光（偏振方向位于波矢K和光轴所确定的平面），它们的电场振动方向是互相垂直的。
由于单轴晶体的各向异性，O光和e光也能够互相耦合，因此在不同体光栅条件下，有两种布拉格衍射类型：
各向同性布拉格衍射和各向异性布拉格衍射。
各向同性布拉格衍射包括再现光和衍射光均为。
光的oo型衍射和再现光和衍射光均为e光的ee型衍射，各向异性布拉格衍射包括oe（再
现光为O光、衍射光为e光）和eo（再现光为e光、衍射光为O光）型[6J5|。
在本文中讨论的是ee型衍射，并且不考虑吸收。
2．1平面波干涉场照明下调制相对介电张量分布文中讨论的布拉格衍射光束的几何模型如图1所示。
其中，记录体光栅时的参考光束和物光束分别为R7和S7，WR，表示参考光束R7的宽度，W。
，表示物光束S7的宽度，参考光束R7的波矢K，。
，与z轴负方向夹角为臼。
，物光束S7的波矢K79与z轴负方向夹角也为日。
，因此形成的光栅波矢K平行于z轴。
取光轴c为z轴方向。
由于光栅波矢K平行于光轴C，在单轴晶体中只可能发生各向同性布拉格衍射[15I。
这时，在图1所示的几何配置下，相对介电张量￡，非对角线上的分量均为零，对于LiNbO。
晶体，对角线上的分量为“一it／：
一规：
‰E⋯e。
一“、e。
一九：
一竹：
‰E。
，iv／。
，7"
／。
分别为O光和e光的折射率，E；
为空间电荷场。
‰一1×
10_11m／V而‰一3．26×
10一“m／V。
Fig．1Thegeometryofacrossedbeamgrating在图1中，电场的振动方向位于zz平面内。
假定记录时使用的是有限宽度的平面波，参考光R7和物光S7的电场分布可以写成
ER，一eR'
ER，0exp（一jK，R，·
r），
（1）
Es，一eS'
Es，oexp（一jjfg·
，．），
（2）式中r为位置矢量，射和盼是两光束的电场振动方向的单位矢量，点麓。
，B。
为两光束的常数电场振幅大小，K，R，．s，一K’（一XCOS00--4-__zsin00），K，为记录晶体中参考光波R7和物光波S7的波数。
根据晶体光学，单轴晶体中波数K7为
K7一（3）
不失一般性，可假设由光折变效应产生空间电荷场的过程是线性的，则该空间电荷场分布可以写成E。
一E0[-exp（--jK·
，）+exp（jKg·
，）]，（74）
10期郭汉明等：
高斯光束在单轴晶体中的布拉格衍射特性1423
式中E。
是空间电荷场的大小，光栅波矢K—K名，～戤，一z．K。
，K。
为光栅波数。
这表明，记录时空间电荷场“光栅”波矢与z轴方向同向。
另一方面，空间电荷场即折射率光栅的分布区域由有限宽度参考光束R7和物光束Sj的交叉区域形成。
要想知道光栅区的边界就必须知道这两个光束的方向。
根据晶体光学，单轴晶体中波矢K与光束方向的夹角即离散角可以用波矢与光轴之间夹角表示为⋯22tanp一丽薪轰寻赢sin2（90。
Oo），（5）显然参考光束R7和物光束S7的离散角在数值上是相等的。
对于负单轴晶体，e光的光线较其波法线远离光轴，所以由图l可得a1=00+卢，a2=吼一p，（6）式中d。
为物光光束S7与z轴负方向的夹角，a：
参考光光束R7与z轴负方向的夹角。
这样光栅区的边界就可以根据（5）式、（6）式给出。
2．2再现高斯光束与衍射光场相叠加的总光波场折射率光栅的分布区域被再现光照明就会发生衍射。
在再现光束R不满足布拉格条件的一般条件下，即波长、入射角均相对于布拉格条件有一个偏移时，再现光束R和衍射光束S的电场分布可以写成R—eRRo（z，了，z）exp（一jKR·
r），（7）S—esSo（z，Y，2）exp[～j（烁一Kg）·
r]，（8）
式中酶一K（一XCOS0+zsinp），其他参量含义类似于记录光参量的定义。
对于e光，K为再现光光束R的波数，其大小仍由（3）式确定，A是再现光光束R在真空中的波长。
再现光束R和衍射光束S的电场振动方向的单位矢量eR，e。
位于z2平面内，将其分解成x、z分量有利于进行两光场的合成。
分解的方法可以借助于表达电位移矢量和电场矢量之间关系的物质方程。
电位移矢量、光波波矢与电场矢量共面，前两者相互垂直。
已知光波波矢K以及单轴晶体的寻常折射率和非寻常折射率，自然可以求出电场振动方向的单位矢量。
另外，衍射光光束S的波矢K。
=KR—K。
，如果假设波矢凰与z轴负方向的夹角为曰。
，那么波矢K；
也可以表示成Ks=I凰f（一XCOS夙一zsin负），夹角口，就可以联立这两个等式确定，其余弦和正弦的表达形式为
cos口。
一一鉴塑!
旦==：
，瓶2+K：
一2KK。
sin0⋯1．。
Ksin0一Kgl~／K2+K：
sin0得到再现光光束R和衍射光束S的电场振动方向的单位矢量e。
和e。
后，光栅中总的光波场矢量为就可以写成
厂R1风（z，Y，z）exp（--j砾·
，．）+S1So（z，Y，z）exp[--j（KR一蚝）·
r]1E—10l，lR2Ro（z，3，，z）exp（--jKR·
，．）+s2So（z，3，，z）exp[--j（KR—Kg）·
r]i式中R。
一+挖：
sin0／^’／—n40sinz0+—n04cos20，R。
一．：
cosp／√菘面≯矿F磊厕，s，=一咒2sin统／、伺面而了i丽，S。
=竹：
cos良／石两孑矿再不磊酉，对于ee型布拉格衍射，光栅中总的光波场满足如下矢量波动方程：
v2E（，）+甜2肛o￡o￡卫（r）一v[v·
E（，）]=0，
（10）
接下来的问题就是要通过矢量波动方程（11）求解衍射光场S的分布。
2．3耦合波方程将（4）式、（10）式代入波动方程（11），并且假设再现光R的振幅R。
（z，Y，g）和衍射光S的振幅
S。
（z，j，，2）是缓慢变化的函数。
忽略它们的二阶偏导数，并且只保留0级和一1级布拉格衍射项，使波动方程成立的条件简化为指数exp（一jKR·
，）和exp[--j（KR—Kg）·
r3项前面的系数为零。
消去}昆合二阶偏导，可以得到如下耦合波方程：
R；
cos0．孕+R细0．孕+j岱。
：
o，dZdZs2COS日．鲁+S2（毋叫n口）瓦OSod—j堕堕丛咝茄≯型必so+j，cR。
乩．ZdZ厶』、1』、2
（12）
（13）
1424光学学报24卷
式中
COS而；
S蕊0一面研讨二i而订’
R（r，S，y）一Ro（r，S，y）exp（jar），
（19）
S（r，s，y）一So（，．，S，Y）exp（jar），
一
[／<
sin&
osO（R；
S；
～R；
Si）一脒。
R。
]，，=一．“2RlR2COS0·
[R}Sisin0一R；
S}（拶一sin护）]’将（19）式代人（18）式，耦合波方程可以改写成32S（r，S，y）／（3sar）+瑶S（r，S，y）一0，（20）双曲型二阶线性偏微分方程（20）在一定的边界条件下可以直接利用黎曼方法口棚求解。
2．4有关边界条件的讨论和黎曼方法的积分域衍射发生在单轴晶体中记录的有限宽度的平面波干涉产生的体光栅中，因此波动方程即耦合波方程的边界条件应当由进入时高斯光束通过的体光栅面以及与输出衍射光平面相对的体光栅面来决定。
也就是说由图1中虚线组成的平行四边形左半边的下边（以下称为边界①）和上边（以下称为边界②）组成求解方程（20）的边界。
边界①可以根据（5）式、（6）式导出，在坐标系rsy中表示为f，、S；
COSOsinal—Si（汐～sin口）COSa1．5一八r’一—哥五丽iii可磊丽ir’以及，一型皆≤r≤型警，堕避嵩竽塑一坠挚≤s≤o．一——ii历：
_≮r≮——百i瓦F一’————五矗丽——一一——ii历-≮5≮执再现光R在边界①上尚未发生衍射，因此再现光R在边界①上的复振幅分布是已知的，由方程（18）可以得到衍射光S在边界①上的偏导数。
另外本文讨论的情况对布拉格条件的偏离很有限，在边界①左下方的区域基本没有返回的衍射光S。
因而根据电场连续性原理，可以认为在边界①衍射光分布为零，即在边界①上的边界条件为Sir，，（r），y]一0，aSEr，，（，-），y]／（ar）一一jxoR。
[r，厂（r），y-lexp（jar），（21）同理，边界②在坐标系rsy中可以表示为，、S；
COSOsin口2+S；
（毋——sinp）COS口2．．5一州¨
一一—丽面而磊i干诱石而五i—r’以及，一型皆一坠挚≤r≤。
，坠鬯产≤s≤型挚，
再现光R在边界②上为零，因而衍射光S在边界②上的偏导数为零，同时衍射光分布也为零，即在边界②上的边界条件为
s[r，m（r），y]==o，曼』!
E!
磐==o．（22）黎曼方法的实质是利用斯托克斯或格林公式将
高斯光束在单轴晶体中的布拉格衍射特性
围线积分化为零，进而选取围线的一部分为沿线积分为零的特征线，使上述边界上的积分能够表示特征线交点处的被求函数值。
因此在确定边界条件（21）式、（22）式以后要进一步确定合理利用这些边界条件的围线。
不难证明，在rsy坐标系中边界①和边界②仍然是由原点出发的两条线段，而且它们在坐标系中的位置只有两种可能：
第一种情况是当R；
sinOcosal>
COSOsinl21时边界①和边界②在rsy坐标系中都位于第三象限（如图2所示），第二种情况下是当Risinocosl21<
COS0sinal时两条边界分别位于在rsy坐标系中第二、四象限（如图3所示）。
在本文中偏离布拉格条件很有限的假设下第一种情况相当于夹角吼大于46。
，第二种情况下则相当于夹角吼小于46。
d移一r
Fig．2Thefirstcaseofthelineintegral利用黎曼方法计算图中阴影区中任意一点的函数值，即衍射光复振幅可以选择通过该点且与r及S坐标轴相平行的两条线作为特征线。
在第二种情况下这两条线将会与边界①和②分别相交，可以由边界条件（21）式、（22）式直接计算出衍射光复振
JI3帜——≮遮1
Fig．3Thesecondcaseofthelineintegral幅。
在第一种情况下，只有在A区中的任一点衍射光分布可以用黎曼方法直接计算，对于B区中的点则需要对边界条件（21）式、（22）式做一点推广。
通过B区中的点的两条特征线将与边界①和②相交在其延长线上。
在这两延长线部分，再现光R均为零，因此可以假设两延长线部
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