动力学I第一章习题解答Word格式文档下载.docx
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o
ao
1－10
解：
设初始时,绳索AB的长度为L,时刻t时的长度为s,则有关系式：
s=L-v0t，并且s=l+x
将上面两式对时间求导得：
222
vo
FFN
=2xx=-v0，2sss
sv
=-0（a）由此解得：
=-v0s，将该式对时间求导得：
（a）式可写成：
xx
x+x2=-sv0=v0（b）x
2v0-xv0l
=x=-3（负号说明滑块A的加速度向上）将（a）式代入（b）式可得：
ax=
取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：
ma=F+FN+mg
将该式在x,y轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：
=mg-Fcosθmx
=-Fsinθ+FNmy
其中：
xx+l
sinθ=
lx2+l2
22
v0l=-3,=0xy
22v0ll2
将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：
F=m（g+3）+（）
1－11
设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以vB=ωR，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在A、B两点连线上的投影相等，即：
vB=vAcosθ（a）因为
x2-R2
（b）x
xx-R
将上式代入（a）式得到A点速度的大小为：
vA=ωR
（c）
，x2-R2=ωRx，将该式两边平方可得：
由于vA=-x（c）式可写成：
-x
2（x2-R2）=ω2R2x2x
将上式两边对时间求导可得：
（x2-R2）-2xx3=2ω2R2xx2xx
后，可求得：
将上式消去2x
=-x
ω2R4x
（x2-R2）2
（d）
由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为aA=取套筒A为研究对象，受力如图所示，
根据质点矢量形式的运动微分方程有：
（x-R）
将该式在x,y轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：
=-Fcosθmx
=Fsinθ+FN-mgmy
R
sinθ=,cosθ=
x2-R2ω2R4x
=-2=0,x,y
x（x-R2）2
将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得
F=
mω2R4x2（x-R）
5,
FN=mg-
mω2R5x（x-R）
5
1－13
动点：
套筒A；
动系：
OA杆；
定系：
机座；
vvae运动分析：
v
绝对运动：
直线运动；
r相对运动：
牵连运动：
定轴转动。
根据速度合成定理
va=ve+vr
有：
vacosϕ=ve，因为AB杆平动，所以va=v，由此可得vcosϕ=v杆的角速度为ω=velvcos2ϕ
e，OCOA，OA=cosϕ，所以ω=l
当ϕ=450时，OC杆上C点速度的大小为vavcos2450av
C=ωa=l=2l
1－15
销子Mvvr1e1
动系1：
圆盘动系2：
OA杆ve2动系：
vr2运动分析：
曲线运动
相对运动：
直线运动
牵连运动：
定轴转动
根据速度合成定理有x
va1=ve1+vr1，va2=ve2+vr2
由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即va2=va1，由上两式可得：
ve1+vr1=ve2+vr2（a）
将（a）式在向在x轴投影,可得：
-ve1sin300=-ve2sin300+vr2cos300
由此解得：
0v0bsin300
vr2=tan30（e2-ve1）=OMtan30（ω2-ω1）=cos2300（3-9）=-0.4m/s4
ve2=OMω2=0.2
vv2
M=a2=ve2+v2
r2=0.529m/s
1－17
圆盘上的C点；
运动分析：
圆周运动；
相对运动：
直线运动（平行于O1A杆）；
根据速度合成定理有va=ve+vr（a）
将（a）式在垂直于O1A杆的轴上投影以及在O1C轴上投影得：
vacos300=vecos300，vasin300=vesin300ve=va=Rω，va=vr=Rω，ωveRω
1=O=2R=0.5ω
1A
根据加速度合成定理有
atn
a=ae+ae+ar+aC（b）
将（b）式在垂直于O1A杆的轴上投影得-a0t0n
asin30=aecos30+aesin300-aC其中：
a2n2aC
a=Rω，ae=2Rω1，aC=2ω1vr由上式解得：
atα2
1=e
2R=12ω
1－19
由于ABM弯杆平移，所以有
vA=vM,.aA=aM
取：
套筒M；
OC摇杆；
vr相对运动：
ve牵连运动：
va5
可求得：
vM=vA=va=
2ve=2bω=22m/s，vr=ve=bω=2m/s，
ωvA2ate
1=
OA=21.5=43
rad/s1
n
根据加速度合成定理
aeat+an=at+ane
e
+an
aa
r+aC
将上式沿aaaC方向投影可得：
r
C
atantt
a
acos450-asin450=-ae+aC
由于an
a=ω21l=8m/s2，ate=αb=1m/s2，aC=2ωv2r=8m/s，根据上式可得：
at
ata22a
=7+42
cos45
，α（7+42）1=l=3≈12rad/s2
1-20
取小环为动点，OAB杆为动系运动分析
B
由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示，其中：
vrω
e=OMω=
cos60
=2rω根据速度合成定理：
va=ve+vr
可以得到：
vrωsin600a=tanθve=cos260
=2rω，vr=ve
cos600=4rω加速度如图所示，其中：
aBe=OMω2=
rω
=2rω2，O
a2
C=2ωvr=8rω
根据加速度合成定理：
aa=ae+ar+aC
将上式在x'
轴上投影，可得：
aacosθ=-aecosθ+aC由此求得：
aa=14rω2
1－21
求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车A为参考系观察汽车B的速度。
取：
汽车B；
汽车A（Ox’y’）；
定系：
路面。
运动分析
定轴转动（汽车A绕O做定轴转动）求相对速度，根据速度合成定理
y’
va
vr
eω
O
x’
将上式沿绝对速度方向投影可得：
va=-ve+vr
因此vr=ve+va
v
va=vB,ve=ωRB,ω=A，
RA
由此可得：
vr=
arn
RB380vA+vB=m/sRA9
ω
求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，
相对速度的大小为常值，因此有：
vr2
ar=a==1.78m/s2
RB
nr
1-23质量为m销钉M由水平槽带动，使其在半径为r的固定圆槽内运动。
设水平槽以匀速v向上运动，不计摩擦。
求图示瞬时，圆槽作用在销钉M上的约束力。
销钉M上作用有水平槽的约束力F和圆槽的约束力FO（如图所示）。
由于销钉M的运动是给定的，所以先求销钉的加速度，在利用质点运动微分方程求约束力。
取销钉为动点，水平槽为动系。
由运动分析可知销钉的速度图如图所示。
根据速度合成定理有va=ve+vr
由此可求出：
va=
vev=。
再根据加速度合成定理有：
aa=ae+arcosθcosθ
由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以ae=0，并且上式可写成：
tnaa+aa=ar
va2v2v2sinθtn=因为a=，所以根据上式可求出aa=aatanθ=。
23rrcosθrcosθn
根据矢量形式的质点运动微分方程有：
tnm（aa+aa）=F+FO+mg
tn将该式分别在x轴上投影：
m（aasinθ+aacosθ）=FOcosθ
mv2
（tan2θ+1）由此求出：
FO=2rcosθ
1-24图示所示吊车下挂一重物M，绳索长为l，初始时吊车与重物静止。
若吊车从静止以均加速度a沿水平滑道平移。
试求重物M相对吊车的速度与摆角θ的关系式。
由于要求重物相对吊车的速度，所以取吊车为动系，重物M为动点。
根据质点相对运动
微分方程有
mar=F+mg+Fe
将上式在切向量方向投影有
=-mgsinθ+Fcosθmat=mlθe
dθdθdθdθ==θ因为Fe=mae=ma,θ=，所以上式可写成dtdθdtdθ
dθmlθ=-mgsinθ+macosθdθ
整理上式可得
dθ=-gsinθdθ+acosθdθlθ
将上式积分：
l2θ=gcosθ+asinθ+c2
，上式可写成其中c为积分常数（由初始条件确定），因为相对速度vr=lθ
vr2=gcosθ+asinθ+c2l
初始时θ=0，系统静止，va=ve=0，根据速度合成定理可知vr=0，由此确定c=-g。
重物相对速度与摆角的关系式为：
vr2=2l[g（cosθ-1）+asinθ]
1-26水平板以匀角速度ω绕铅垂轴O转动，小球M可在板内一光滑槽中运动（如图7-8），初始时小球相对静止且到转轴O的距离为RO，求小球到转轴的距离为R>
RO时的相对速度。
eC
取小球为动点，板为动系，小球在水平面的受力如图所示（铅垂方向的力未画出）。
根据质点相对运动微分方程有：
vr
mar=∑F+Fe+FC
将上式在vr上投影有mar=m
因为Fe=mRω2，tdvr=FecosθdtdvrdvrdRdR==vrcosθ，所以上式可写成，dtdRdtdt
dvmvrcosθr=mRω2cosθdR
dv121222整理该式可得vrr=Rω，将该式积分有vr=ωR+cdR22
122初始时R=RO,vr=0,由此确定积分常数c=-ωRO，因此得到相对速度为2
2vr=ωR2-RO
1-27重为P的小环M套在弯成xy=c2形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴x以匀角速度ω转动，如图所示。
试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。
Fyy
取小环为动点，金属丝为动系，根据题意，相对平衡位置为ar=0，因为金属丝为曲线，所以vr=0，因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。
小环受力如图所示。
其中F,Fe,P分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。
F+Fe+P=0其中：
Fe=Pyω2，将上式分别在x,y轴上投影有g
P-Fsinθ=0
Fe-Fcosθ=0（a）dyc2c2dy=-2,因此以为tanθ=-，y=,dxxxdx
c2
tanθ=2（b）x
由（a）式可得
tanθ=P（c）Fe
将FP
e=gyω2代入（c），联立求解（b）、（c）并利用xy=c2，可得：
42
x=⎛⎫323
cω⎪⎛
⎝g⎪⎭,y=cg⎫
⎝ω2⎪⎪⎭
再由方程（a）中的第一式可得
4
4442
F=P=Px+cx⎛cω⎫⎪3
sinθc4=P+c4=P1+⎝g⎪
⎭
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