高考数学热点集中营 热点22 选修平面几何问题 选修1 新课标.docx
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高考数学热点集中营热点22选修平面几何问题选修1新课标
【两年真题重温】
(Ⅰ)证明:
,,,四点共圆;
(Ⅱ)若∠,且,,求,,,
所在圆的半径.
【解析】本题考查了四点共圆的判定与圆的性质.
(Ⅰ)连结,根据题意在和中,,
即.又,从而∽.
因此.所以,,,四点共圆.
(Ⅱ),时,方程的两根为,
.故,.
.
【2020新课标全国理,22】【2020新课标全国文,22】
如图,已经圆上的弧,过C点的圆切线与BA的延长线交于E点,证明:
(Ⅰ);
(Ⅱ).
解:
命题意图:
本题主要考查几何选讲中圆、三角形相似等知识,考查分析问题、解决问题的能力,属于基础题.
(I)因为,所以.
又因为与圆相切于点,故,
所以.
(II)因为,
所以∽,故,
即.
【最新考纲解读】
1.复习相似三角形的定义与性质,了解平行截割定理,证明直角三角形射影定理.
2.证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.
3.证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.
4.了解平行投影的含义,通过圆柱与平面的位置关系,体会平行投影;证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).
定理 在空间中,取直线l为轴,直线l′与l相交于O点,其夹角为α,l′围绕l旋转得到以O为顶点,l′为母线的圆锥面,任取平面π,若它与轴l交角为β(π与l平行,记β=0),则:
(1)β>α,平面π与圆锥面的交线为椭圆;
(2)β=α,平面π与圆锥面的交线为抛物线;
(3)β<α,平面π与圆锥面的交线为双曲线.
6.利用Dandelin双球(这两个球位于圆锥的内部,一个位于平面π的上方,一个位于平面π的下方,并且与平面π及圆锥面均相切)证明上述定理
(1)情况.
【回归课本整合】
一、相似三角形
1.相似三角形
①性质定理1 相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比.
②性质定理2 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
相似三角形对应角的平分线的比,外接圆直径的比、周长的比,内切圆直径的比、周长的比都等于相似比.
2.圆心角定理
圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
3.圆周角定理
6.圆内接四边形
(1)圆内接四边形性质定理
①对角互补.②外角等于它的内对角
(2)圆内接四边形判定定理
如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形内接于圆.
推论 如果四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形四个顶点共圆.
【方法技巧提炼】
3.同一法:
先作出一个满足命题结论的图形,然后证明图形符合命题已知条件,确定所作图形与题设条件所指的图形相同,从而证明命题成立.
4.证明多点共圆,当两点在一条线段同侧时,可证它们对此线段张角相等,也可以证明它们与某一定点距离相等;如两点在一条线段异侧,则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补.
例1如图,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B=60°,F在AC上,且AE=AF.
(1)证明B、D、H、E四点共圆;
(2)证明CE平分∠DEF.
【证明】
(1)在△ABC中,因为∠B=60°,所以∠BAC+∠BCA=120°.
因为AD,CE是角平分线,
所以∠HAC+∠HCA=60°.
故∠AHC=120°.
于是∠EHD=∠AHC=120°,
所以∠EBD+∠EHD=180°,所以B、D、H、E四点共圆.
(2)
例2如图所示,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P.
(1)求证:
AD∥EC;
(2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.
【解】
(1)证明:
连接AB(图略),
∵AC是⊙O1的切线,∴∠BAC=∠D.
又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E.
∴AD∥EC.
(2)∵PA是⊙O1的切线,PD是⊙O1的割线,
∴PA2=PB·PD,∴62=PB·(PB+9),∴PB=3.
在⊙O2中由相交弦定理,得PA·PC=BP·PE,
∴PE=4.
∵AD是⊙O2的切线,DE是⊙O2的割线,
∴AD2=DB·DE=9×(9+3+4),
∴AD=12.
【考场经验分享】
【新题预测演练】
1.【2020年河北省普通高考模拟考试】
选修4—1:
几何证明选讲
如图,AB是的直径,弦BD、CA的延长线相交于点E,F为BA延长线上一点,且,求证:
(Ⅰ);
(Ⅱ).
【解析】:
(Ⅰ)证明:
连接,在中
………..2分
又∽………..4分
则
………..5分
(Ⅱ)在中,
又
四点共圆;………..7分
………..9分
又是⊙的直径,则,
………..10分
2.【2020年邯郸市高三第一次模拟考试】
选修4—1:
几何证明选讲
3.【河南省2020年普通高中毕业班高考适应性测试】
选修4—1:
几何证明选讲
如图,已知中,AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过D作,垂足为E,连结OE。
若,分别求AB,OE的长。
解:
所以.……10分
…10分
7.【2020年河南郑州高中毕业年级第一次质量预测】
选修4—1:
几何证明选讲
如图,锐角△ABC的内心为I,过点A作直线BI的垂线,垂足为H,点E为内切圆I与边CA的切点.
(Ⅰ)求证:
四点A,I,H,E共圆;
(Ⅱ)若∠C=,求∠IEH的度数.
【命题分析】本题考查四点共圆问题和角的求解,考查学生利用平面几何的知识解决问题的能力。
证明:
(Ⅰ)由圆I与边AC相切于点E,
得IE⊥AE;…………2分
结合IH⊥AH,得
所以,四点A,I,H,E共圆.…………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知四点A,I,H,E共圆,得,;…………7分
在中,
结合IH⊥AH,得;
所以.
由得…………10分
(Ⅱ)在中,,…………6分
由①得∽,
∴,……………8分
∴,
所以.……………10分
11.[河北冀州中学2020届高三一模考试]
选修4-1:
几何证明选讲
如图,已知⊙O和⊙M相交于A、B两点,AD为⊙M的直径,直线BD交⊙O于点C,点G为弧的中点,连结AG分别交⊙O、BD于点E、F,连结CE.
(Ⅰ)求证:
为⊙O的直径。
(Ⅱ)求证:
。
;
·
·
A
B
C
D
G
E
F
O
M
解:
(Ⅰ)连结
∵为⊙M的直径
∴
在⊙中,
∴为⊙O的直径。
………………4分
(Ⅱ)∵
∴
∵点G为弧的中点
∴
在⊙中,
∴∽
∴………………10分
13.[河南省焦作市2020届高三第一次质量检测]
选修4-1:
几何证明选讲
在中,AB=AC,过点A的直线与其外接圆交
于点P,交BC延长线于点D。
(1)求证:
;
(2)若AC=3,求的值。
解:
(1),
~,
又(5分)
(2)
~,
(10分)
解:
(1)AC为圆O的切线,∴.又知,DC是的平分线,∴