四年级数学 思维Word文档格式.docx
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1分和5分的组合：
其中5分的从1枚到19枚均可，有19种方法；
2分和5分的组合：
其中5分的有2、4、6、……、18共9种方法；
1、2、5分的组合：
因为5=1+2*2，10=2*5，15=1+2*7，20=2*10，……，95=1+2*47，共有2+4+7+9+12+14+17+19+22+24+27+29+32+34+37+39+42+44+47=461种方法，共有3+49+19+9+461=541种方法。
7、在图中，从“华”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“华罗庚学校”。
那么共有多少种不同的读法？
按最短路线方法，给每个字标上数字即可，最后求和。
所以共有1+4+6+4+1=16种不同的读法。
8、在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数共有多少个？
十位是9的有9个，十位是8的有8个，……十位是1的有1个，共有：
1+2+3+……+9=45个。
或是在给定的两位数中，总是在9876543210中，所以有C（10、2）=45个。
9、按图中箭头所示的方向行走，从A点走到B点的不同路线共有多少条？
同样用上题的方法，标上数字，有55条。
10、用红蓝两色来涂图中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称，问共有多少种不同的涂法？
按题意可知，1、4对称，2、3对称，这样1、2、A、B、C、D、E均有两种选择，
2×
2=128种。
11、如图，把A、B、C、D、E这五个部分用4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色，那么，这幅图共有多少种不同的着色方法？
C－A－B－D－E，根据乘法原理有：
4×
3×
2=96种。
12、如图是一个中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方法？
根据乘法原理，第一个棋子有90种放法，第二个棋子有72种放法，共有：
90×
72=6480种。
此主题相关图片如下：
13、在图中所示的阶梯形方格表的格子中放入5枚棋子，使得每行每列都只有1枚棋子，那么这样的放法有多少种？
分析：
对于第1列必有1枚棋子，这有上下两行选择，对于第2列必有1枚棋子，这有除第1枚外的两行选择，……
对于第5枚棋子，只有唯一选择，所以共有2×
1=16种。
14、有一种用六位数表示日期的方法是：
从左到右的第一、第二位数表示年，第三、第四位数表示月，第五、第六位数表示日，例如890817表示1989年8月17日。
如果用这种方法表示1991年的日期，那么全年中有6个数都不同的日期共有多少天？
因为有91，所以1、9、10、11、12不能出现，实际上9102XX也是不行的，在剩下的6个月中，每个月都有5天，共5*6=30天，例如：
三月份：
910324，910325，910326，910327，910328。
15、如果一个四位数与三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同数字组成的，那么这样的四位数最多有多少个？
按题意给出这样一个算式：
由于1已定，相应的8也就不能用，对于D来说，有2、3、4、5、6、7、9共7种选择，每一种选择都有相应的A,
对于E来说，在剩下的数中有6种选择，每一种选择都有相应的B,
对于F来说，在剩下的数中有4种选择，每一种选择都有相应的C,
根据乘法原理，共有7×
6×
4=168种。
第2讲
组合问题 构造与论证
1、有一把长为9厘米的直尺，你能否在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度？
可以。
（1）标3条刻度线，刻上A，B，C厘米（都是大于1小于9的整数），那么，A，B，C，9这4个数中，大减小两两之差，至多有6个：
9-A，9-B，9-C，C-A，C-B，B-A，加上这4个数本身，至多有10个不同的数，有可能得到1到9这9个不同的数。
（2）例如刻在1，2，6厘米处，由1，2，6，9这4个数，以及任意2个的差，能够得到从1到9之间的所有整数：
1，2，9-6=3，6-2=4，6-1=5，6，9-2=7，9-1=8，9。
（3）除1，2，6之外，还可以标出1，4，7这3个刻度线：
1，9-7=2，4-1=3，4，9-4=5，7-1=6，7，9-1=8，9。
另外，与1，2，6对称的，标出3，7，8；
与1，4，7对称的，标出2，5，8也是可以的。
2、一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后下个三位数“吃掉”。
例如，241被352吃掉，123被123吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但240和223互相都不能被吃掉。
现请你设计6个三位数，它们当中任何一个都不能被其它5个数吃掉，并且它们的百位数字只允许取1，2，3，4。
问这6个三位数分别是多少？
6个三位数都不能互吃，那么其中任意两个数，都不能同时有2个数位相同。
由于百位只取1，2，十位只取1，2，3，所以，只能让3个数百位是1，另外3个数百位数是2。
百位是1的3个数，分别配上十位1，2，3；
百位是2的3个数同样。
这样先保证前两位没有完全一样的。
即：
11*，12*，13*，21*，22*，23*。
11*最小，个位应取取最大的，4，它要求另外5个数个位均小于4。
114 12*较小，个位应取3，它要求前两位能吃12*的数，个位小于3。
123 13*个位取2，就不能吃前两数，同时它要求前两位能吃13*的数个位小于2。
132 21*较小，个位应取3，才能不被23*和22*吃。
213 22*个位取2即可。
222 23*各位必须取1。
231 所以这6个数是114，123，132，213，222，231。
3、盒子里放着红、黄、绿3种颜色的铅笔，并且规格也有3种：
短的、中的和长的。
已知盒子的铅笔，3种颜色和3种规格都齐全。
问是否一定能从中选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同？
如果能选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同，则这3支笔必须包含红、黄、绿，短、中、长这6个因子，即不能有重复因子出现。
但是这种情况并不能保证出现。
例如，盒子中有4种笔：
红短，黄短，绿中，绿长，3种颜色和3种规格都齐全，由于红和黄只出现1次，必须选，但是这时短已经出现2次，必然无法满足3支笔6个因子的要求。
所以，不一定能选出。
4、一个立方体的12条棱分别被染成白色和红色，每个面上至少要有一条边是白色的，那么最少有多少条边是白色的？
立方体的12条棱位于它的6个面上，每条棱都是两个相邻面的公用边，因此至少有3条边是白色的，就能保证每个面上至少有一条边是白色。
如图就是一种。
5、国际象棋的皇后可以沿横线、竖线、斜线走，为了控制一个4×
4的棋盘至少要放几个皇后？
2棋盘，1个皇后放在任意一格均可控制2×
2=4格；
3棋盘，1个皇后放在中心格里即可控制3×
3=9格；
4棋盘，中心在交点上，1个皇后不能控制两条对角线，还需要1个皇后放在拐角处控制边上的格。
所以至少要放2个皇后。
如图所示。
6、在如图10-1所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的5个数字各是几？
设第二行从左到右填入A，B，C，D，E，则A+B+C+D+E=5
若E大于0，如E=1，则B=1，A+C+D=3，小于4，矛盾，可得：
E=0，A大于0小于4；
若D大于0，如D=1，则B大于0，因A大于0，则A和C无法填写，所以D=0，A必等于2；
A=2，可知B+C=3，只有当B=1，C=2时，ABCDE=21200，符合要求。
所以第二行的5个数字是2，1，2，0，0。
7、在100个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲。
请你设计一种方案，使得只需打电话196次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息。
给100个人分别编号1-100，他们知道的消息也编上相同的号码。
（1）2-50号每人给1号打1次电话，共49次，1，50号得到1-50号消息。
同时，52-100号每人给51号打1次电话，共49次，51，100号得到51-100号消息。
（2）1号和51号通1次电话，50号和100号通1次电话，这时1，50，51，100号这4个人都知道了1-100号消息。
（3）2-49号，52-99号，每人与1号（或者50，51，100号中的任意1人）通1次话，这96人也全知道了1-100号消息。
这个方案打电话次数一共是（49+49）+2+96=196（次）。
8、有一张8×
8的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一。
能否适当涂色，使得每个3×
4小长方形（不论横竖）的12个方格中都恰有4个红格和8个蓝格？
能。
4=12，有4红8蓝，即红1蓝2，横竖方向都按这个规律染成下图的样子。
9、桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的1992枚，第三次翻动其中的1991枚，……，依此类推，第1993次翻动其中的一枚。
能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后所有的硬币原先朝下的一面都朝上？
按要求一共翻动1+2+3+……+1993=1993×
997，平均每个硬币翻997次，是奇数。
而每个硬币翻奇数次，结果都是把原来朝下的一面翻上来。
因为：
1993×
997=1993+（1992+1）+（1991+2）+……+（997+996）所以，可以这样翻动：
第1次翻1993个，每个全翻1次；
第2次与第1993次（最后1次）一共翻1993次，等于又把每个翻了一遍；
第3次与第1992次（倒数第2次），第4次与第1991次，……，第997次与第998次也一样，都可以把每个硬币全翻1次。
这样每个都翻动了997次，都把原先朝下的一面翻成朝上。
10、能否在5×
5方格表的各个小方格内分别填入数1，2，……，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？
不能。
假设可以使每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和，那么每行数的和一定为偶数，5行之和也必定为偶数。
1+2+3+……+25的和是奇数，不符合要求，假设的情况不能出现。
11、把图10-2中的圆圈任意涂上红色或蓝色。
问：
能否使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？
假设每条直线上的红圈数都是奇数，五角形有五条边，奇数之和是奇数，则五条线上的红圈，包括重复，共有奇数个。
另一方面，每个圈为两线交点，每个圆圈算了两次，总个数为偶数。
两者矛盾，假设不成立。
所以，不能使同一条直线上的红圈数都是奇数。
12、在99枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些伪币。
已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，而所给硬币的总重量恰等于99枚真币的重量。
今有能标明两盘重量之差的天平，证明：
只要称一次即可辨别出预先选择的一枚硬币是否伪币。
已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，99个硬币总重量恰等于99枚真币的重量，说明伪币数为偶数。
如果拿出1个真币，剩下的98个里还是有偶数个伪币，随便分成两部分放天平上，重量之差必为偶数。
如果拿出1个伪币，剩下的98个里是有奇数个伪币，随便分成两部分放天平上，重量之差必为奇数。
所以，只要把98个硬币分两部分在天平上称，显示出的重量差只要是奇数，拿出来的那个一定是伪币。
13、在象棋比赛中，胜者得1分；
败者扣1分；
若为平局，则双方各得0分。
今有若干名学生进行比赛，每两个人之间都赛一局。
现知，其中一个学生共得7分，另一个学生共得20分。
试说明，在比赛过程中至少有过一次平局。
设7分者胜X局，负Y局；
20分者胜M局，负N局，则有X-Y=7，M-N=20
假设没有1次平局，那么由于比赛局数相同，得到：
X+Y=M+N，X+Y+M+N为偶数。
另一方面，因为X-Y=7，X和Y两个数奇偶性不同，两者之和为奇数；
又因为M-N=20，可知M和N奇偶性相同，那么M+N为偶数。
得出的结果是：
X+Y+M+N之和为奇数。
矛盾。
说明没有平局的假设不成立。
所以，比赛过程中至少有一次平局。
14、如图10-3，在3×
3的方格表中已经填入了9个整数。
如果将表中同一行同一列的3个数加上相同的整数称为一次操作。
你能否通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数？
如果进行操作后，表中9个数能变为相同的数，其和必能整除3；
因为每次操作是同一行或同一列的3个数加上相同的整数，增加的数也能整除3。
那么，原来表中的9个数的和也必能整除3。
把表中的9个数相加，2+3+5+13+11+7+17+19+23=100，100不能整除3，与假设矛盾，所以不能实现。
15、今有长度为1，2，3，……，198，199的金属杆各一根，能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊成接成
（1）一个正方体框架？
（2）一个长方体框架？
（1）不能。
正方体有12条棱，金属杆长度之和能被12整除时，才能不弯曲任何一根焊成正方体框架。
1+2+3+……+199=19900，1+9+9=19，19不能整除3，所以长度之和不是12的整数倍。
（2）可以。
（1+198）+（2+197）+（3+196）+……+199，可以组成100个199，所以可以构成一个长199×
12，宽199×
12，高199的长方体框架，棱长共（199×
12+199×
12+199）×
4=199×
100；
也可以构成一个长199×
20，宽199×
3，高199×
2的长方体框架，棱长共（199×
20+199×
3+199×
2）×
等等。
第3讲 计算问题
多位数与小数
1.计算：
1991+199.1+19.91+1.991.
解析：
1991+199.1+19.91+1.991
=1991+9+199.1+0.9+19.91+0.09+1.991+0.009-（9+0.9+0.09+0.009）
=2000+200+20+2-9.999
=2222-10+0.001
=2212.001
2.计算：
7142.85÷
3.7÷
2.7×
1.7×
0.7.
0.7
=7142.85÷
37÷
27×
17×
7
=7142.85×
7÷
999×
17
=49999.95÷
=50.05×
=850.85
3.光的速度是每秒30万千米，太阳离地球1亿5千万千米.问：
光从太阳到地球要用几分钟？
（答案保留一位小数.）
150000000÷
300000÷
60=150÷
3÷
6=50÷
6≈8.33≈8.3（分）
光从太阳到地球要用约8.3分钟。
4.已知105.5+[（40+□÷
2.3）×
0.5-1.53]÷
（53.6÷
26.8×
0.125）=187.5,那么□所代表的数是多少？
105.5+[（40+□÷
0.125）
=105.5+（20+□÷
4.6-1.53）÷
（2×
26.8÷
=105.5+（18.47+□÷
4.6）÷
0.25
=105.5+18.47÷
0.25+□÷
4.6÷
=105.5+73.88+□÷
1.15
因为105.5+73.88+□÷
1.15＝187.5
所以□=（187.5-105.5-73.88）×
1.15=8.12×
1.15=8.12+0.812+0.406=9.338
答：
□=9.338
5.22.5-（□×
32-24×
□）÷
3.2=10
在上面算式的两个方框中填入相同的数，使得等式成立。
那么所填的数应是多少？
22.5-（□×
3.2
=22.5-□×
（32-24）÷
8÷
2.5
因为22.5-□×
2.5=10，所以□×
2.5=22.5-10，□=（22.5-10）÷
2.5=5
所填的数应是5。
6.计算：
0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+…+0.99.
0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+…+0.99
=（0.1+0.9）×
5÷
2+（0.11+0.99）×
45÷
2
=2.5+24.75
=27.25
7.计算：
37.5×
21.5×
0.112+35.5×
12.5×
0.112.
0.112
=0.112×
（37.5×
21.5+35.5×
12.5）
（12.5×
（3×
21.5+35.5）
100
=1250×
（0.1+0.01+0.002）
=125+12.5+2.5
=140
8.计算：
3.42×
76.3+7.63×
57.6+9.18×
23.7.
23.7
=7.63×
（34.2+57.6）+9.18×
=7.63×
91.8+91.8×
2.37
=（7.63+2.37）×
91.8
=10×
=918
9.计算：
（32.8×
91-16.4×
92-1.75×
656）÷
（0.2×
0.2）.
0.2）
=（16.4×
92-16.4×
40×
1.75）÷
=16.4×
（182-92-70）÷
20÷
0.2÷
0.2
=82×
=8200
10.计算：
（2+3.15+5.87）×
（3.15+5.87+7.32）-（2+3.15+5.87+7.32）×
（3.15+5.87）.
（3.15+5.87）
=（2+3.15+5.87）×
（3.15+5.87+7.32）-2×
（3.15+5.87）-（3.15+5.87+7.32）×
=（3.15+5.87+7.32）×
（2+3.15+5.87-3.15-5.87）-2×
2-2×
=（3.15+5.87）×
2+7.32×
=7.32×
=14.64
11.求和式3+33+333+…+33…3（10个3）计算结果的万位数字.
个位10个3相加，和为30，向十位进3；
十位9个3相加，和为27，加上个位的进位3得30，向百位进3；
百位8个3相加，和为24，加上十位的进位3得27，向千位进2；
千位7个3相加，和为21，加上百位的进位2得23，向万位进2；
万位6个3相加，和为18，加上千位的进位2得20，万位得数是0。
计算结果的万位数字是0。
12.计算：
19+199+1999+…+199…9（1999个9）.
19+199+1999+…+199…9（1999个9）
=（20-1）+（200-1）+（2000-1）+…+（200…0（1999个0）-1）
=22…20（1999个2）-1999×
1
=22…2（1996个2）0221
13.算式99…9（1992个9）×
99…9（1992个9）+199…9（1992个9）的计算结果的末位有多少个零？
99…9（1992个9）×
99…9（1992个9）+199…9（1992个9）
=99…9（1992个9）×
（100…0-1）（1992个0）+199…9（1992个9）
=99…9（1992个9）
0（1992个0）
-99…9（1992个9）+199…9（1992个9）
0（1992个0）+100…0（1992个0）
=100…0（3984个0）
14.计算：
33…3（10个3）×
66…6（10个6）.
66…6（10个6）
=33…3（10个3）×
22…2（10个2）
=99
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