解答题数列1通项求法定.docx

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解答题数列1通项求法定

数列一（通项求法）

一、公式法：

例：

已知数列满足（），求。

1.已知数列满足，求。

2.已知数列满足，求。

3.已知数列满足，求。

二、两式相减法：

数列前项和与的关系。

此种类型，往往先求n=1的情况，得到基本的分数。

要注意对n分类讨论，观察是否满足通项，不满足就分开写，但若能合写时一定要合并．

例：

已知数列的前n项和，求。

1、已知正项数列的前项和为，且.求。

2、设数列的前项和为，，且对任意正整数，点在直线上．求。

三．累加法：

适合型的递推数列。

例：

设数列满足，，求。

1、已知数列满足，求。

2、已知数列满足，求。

3、在数列中，，则＝（）

A．B．C．D．

4、已知数列满足，求。

四．累乘法：

适合型的递推数列。

例：

在数列中，，求。

1、已知数列满足，，求。

2.已知，，求。

五、待定系数法适用于型的递推数列

1）常数型。

形如a=pa+q（p≠1，pq≠0）

解法：

设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而构造出等比数列{a+k}。

不用硬记公式，学会对应系数就行。

例：

数列{a}满足a=1，,求。

1.在数列中，若，则该数列的通项_______________

2.已知数列满足求。

2）、指数型：

形如

解法：

一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：

引入辅助数列（其中），得：

再待定系数法解决。

例．已知数列满足，，求．

1、已知数列中，,，求。

2、设数列的前项的和，求；

3）一次函数、二次函数或者混合型：

形如

解法：

令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。

例:

设数列：

，求.

1、已知数列满足，求。

2.已知数列满足，求。

3、已知数列满足，求。

4、已知数列满足，求。

六、连续迭代型：

形如（其中p，q均为常数）。

先把原递推公式转化为其中s，t满足

例、数列满足=0，求。

1、已知数列满足，求。

2、已知数列满足求。

七、幂迭代型：

形如型的递推形式（对数变换法）

解法：

这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。

例、设数列的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意都有,,（e是自然对数的底数，e=2.71828……），求数列、的通项公式；

1、已知数列｛｝中，，求。

2、已知a1=2，点（an,an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…，求。

3、已知数列满足，，求。

八、分式型递推公式

类型一：

解法：

这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为型求解。

例、已知数列满足=1，，求

1：

已知，求。

2、已知数列｛an｝满足：

a1＝，且an＝，求。

3.设数列满足,求。

4、已知数列{}满足时，，求。

类型二：

（可以用不动点法求通项）

1、不动点的定义：

一般的，设的定义域为,若存在，使成立，则称为的不动点，或称为图像的不动点。

2、不动点求通项解法：

如果数列满足下列条件：

已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。

例、已知数列满足,求。

1、已知数列满足性质：

对于且求。

2、已知数列满足，求。

类型三：

设，且是的不动点，数列满足递推关系，，则有；若，则是公比为的等比数列。

例3.已知数列满足，．⑴求证：

；⑵求证：

；⑶求数列的通项公式．

九、换元法

例、已知数列满足，求数列的通项公式。

数列一（通项求法）答案

一、公式法。

二、两式相减法。

1.．

2.

三．累加法：

1.

2.

4..

四．累乘法：

例：

＝

五、待定系数法

1）常数型。

例：

设a，

2）指数型。

例：

，．

3）一次函数、二次函数或者混合型：

1.解：

设④

将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得⑤

由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。

2.解：

设⑥将代入⑥式，得

整理得。

令，则，代入⑥式得

⑦,由及⑦式，

得，则，

故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。

4..解：

设⑧

将代入⑧式，得

，则

等式两边消去，得，

解方程组，则，代入⑧式，得

⑨

由及⑨式，得

则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。

六、连续迭代型：

例、，

累加法可得

七、幂迭代型：

例.解：

（1）因为，，①

当时，，解得；当时，有，②

由①-②得，（）.

而，所以（），即数列是等差数列，且.又因为，且，取自然对数得，数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以，所以.

3、解：

因为，所以。

在式两边取常用对数得⑩

设

将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则

，故

代入式，得

由及式，

得，

则，

所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此。

八、分式型递推公式

类型一

例、（两边同时除以式子右边的，得到等差数列）

1.

2.解：

将条件变为：

1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为

1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n1）

3.

2、

类型二

例、解：

特征方程，得.=.两边取倒数,有.故=.

解得.

2．解：

特征方程为,解得,所以,

两式相除有.而,所以有

解得

类型三：

证：

∵是的不动点，∴，。

，又，则，

∴，故是公比为的等比数列。

例3.证：

⑴、⑵证略；⑶依题，记，令，求出不动点；由定理3知：

，，

所以，又，所以．

又，令，则数列是首项为，公比为的等比数列．所以．由，得．所以．

九、换元法

例、解：

令，则

故，代入得

即

因为，故

则，即，

可化为，

所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得

。