高考数学理科一轮复习定积分及其简单的应用学案带答案Word下载.docx
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(1)匀变速运动的路程公式
做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a,b]上的定积分,即________________________.
(2)变力做功公式
一物体在变力F(x)(单位:
N)的作用下做直线运动,如果物体沿着与F相同的方向从x=a移动到x=b(a&
b)(单位:
),则力F所做的功=__________________________
自我检测
1.计算定积分&
03xdx的值为( )
A72B.7
22D.2
2.定积分&
10[1-&
#61480;
x-1&
#61481;
2-x]dx等于( )
Aπ-24Bπ2-1
π-14Dπ-12
3.如右图所示,阴影部分的面积是( )A.23B.2-3
323D33
4.(2010&
#8226;
湖南)&
421xdx等于( )
A.-2ln2B.2ln2
.-ln2D.ln2
.若由曲线=x2+2与直线=2x及轴所围成的平面图形的面积S=9,则=________
探究点一 求定积分的值
例1 计算下列定积分:
(1);
(2);
π0(2sinx-3ex+2)dx;
(4)&
20|x2-1|dx
变式迁移1 计算下列定积分:
2π0|sinx|dx;
π0sin2xdx
探究点二 求曲线围成的面积
例2 计算由抛物线=12x2和=3-(x-1)2所围成的平面图形的面积S
变式迁移2 计算曲线=x2-2x+3与直线=x+3所围图形的面积.
探究点三 定积分在物理中的应用
例3 一辆汽车的速度-时间曲线如图所示,求此汽车在这1in内所行驶的路程.
变式迁移3 A、B两站相距72,一辆电车从A站开往B站,电车开出ts后到达途中点,这一段速度为12t/s,到点时速度达24/s,从点到B点前的D点以匀速行驶,从D点开始刹车,经ts后,速度为(24-12t)/s,在B点恰好停车,试求:
(1)A、间的距离;
(2)B、D间的距离;
(3)电车从A站到B站所需的时间.
函数思想的应用
例 (12分)在区间[0,1]上给定曲线=x2试在此区间内确定点t的值,使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小,并求最小值.【答题模板】
解 S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线=x2与x轴、直线x=t所围成的面积,即S1=t&
t2-&
t0x2dx=23t3[2分]
S2的面积等于曲线=x2与x轴,x=t,x=1围成的面积去掉矩形面积,矩形边长分别为t2,1-t,即S2=&
1tx2dx-t2(1-t)=23t3-t2+13[4分]
所以阴影部分面积S=S1+S2=43t3-t2+13(0≤t≤1).[6分]
令S′(t)=4t2-2t=4tt-12=0时,得t=0或t=12[8分]
t=0时,S=13;
t=12时,S=14;
t=1时,S=23[10分]
所以当t=12时,S最小,且最小值为14[12分]
【突破思维障碍】
本题既不是直接求曲边梯形面积问题,也不是直接求函数的最小值问题,而是先利用定积分求出面积的和,然后利用导数的知识求面积和的最小值,难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中,突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识.1.定积分&
baf(x)dx的几何意义就是表示由直线x=a,x=b(a≠b),=0和曲线=f(x)围成的曲边梯形的面积;
反过,如果知道一个这样的曲边梯形的面积也就知道了相应定积分的值,如&
204-x2dx=π(半径为2的14个圆的面积),&
2-24-x2dx=2π
2.运用定积分的性质可以化简定积分计算,也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差.
3.计算一些简单的定积分问题,解题步骤是:
第一步,把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数积的和或差;
第二步,把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分;
第三步,分别用求导公式找到一个相应的使F′(x)=f(x)的F(x);
第四步,再分别用牛顿—莱布尼茨公式求各个定积分的值后计算原定积分的值.(满分:
7分)
一、选择题(每小题分,共2分)
1.下列值等于1的积分是( )
A.&
10xdxB.&
10(x+1)dx
.&
1012dxD.&
101dx
2.(2011&
汕头模拟)设函数f(x)=x2+1,0≤x≤1,3-x,1&
x≤2,则&
20f(x)dx等于( )
A13B176
.6D.17
3.已知f(x)为偶函数且&
60f(x)dx=8,则&
6-6f(x)dx等于( )
A.0B.4.8D.16
4.(2011&
深圳模拟)曲线=sinx,=sx与直线x=0,x=π2所围成的平面区域的面积为( )
π20(sinx-sx)dx
B.2&
π40(sinx-sx)dx
π20(sx-sinx)dx
D.2&
π40(sx-sinx)dx
.(2011&
临渭区高三调研)函数f(x)=&
x0t(t-4)dt在[-1,]上( )
A.有最大值0,无最小值
B.有最大值0,最小值-323
.有最小值-323,无最大值
D.既无最大值也无最小值
题号1234
答案
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.若1N的力使弹簧伸长2,则使弹簧伸长12时克服弹力做的功为__________
7.&
10(2x+1)dx=2,则=________
8.(2010&
东实验中学高三三诊)若f(x)在R上可导,f(x)=x2+2f′
(2)x+3,则&
30f(x)dx=________
三、解答题(共38分)
9.(12分)计算以下定积分:
212x2-1xdx;
(2)&
32x+1x2dx;
π30(sinx-sin2x)dx;
(4)&
21|3-2x|dx
10.(12分)设=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f′(x)=2x-2
(1)求=f(x)的表达式;
(2)求=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
11.(14分)求曲线=ex-1与直线x=-ln2,=e-1所围成的平面图形的面积.
答案自主梳理
1.x=a,x=b(a≠b),=0和曲线=f(x) 面积
2.
(1)&
baf(x)dx
(2)&
baf1(x)dx±
&
baf2(x)dx(3)&
af(x)dx+&
bf(x)dx(其中a&
b)
3微积分基本定理 F(x)|ba 4
(1)&
baf(x)dx
(2)-&
baf(x)dx(3)&
ba[f(x)-g(x)]dx
(1)s=&
bav(t)dt
(2)&
baF(x)dx
自我检测
1.A 2A 3 4D
.±
3解析 由=x2+2,=2x
得(x-)2=0,
即x=,
所以直线与曲线相切,如图所示,
当&
0时,S=&
0(x2+2-2x)dx
=&
0(x-)2dx=13(x-)3|0=0-13(-)3=33,
由题意知33=9,∴=3
由图象的对称性可知=-3也满足题意,故=±
3
堂活动区
例1 解题导引
(1)与绝对值有关的函数均可化为分段函数.
①分段函数在区间[a,b]上的积分可分成几段积分的和的形式.
②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,按照原函数分段的情况分即可,无需分得过细.
(2)f(x)是偶函数,且在关于原点对称的区间[-a,a]上连续,则&
a0f(x)dx
解
(1)&
e1x+1x+1x2dx
e1xdx+&
e11xdx+&
e11x2dx
=12x2|e1+lnx|e1-1x|e1
=12(e2-1)+(lne-ln1)-1e-11
=12e2-1e+32
π20(sinx-2sx)dx
π20sinxdx-2&
π20sxdx
=(-sx)|π20-2sinx|π20
=-sπ2-(-s0)-2sinπ2-sin0
=-1
π0(2sinx-3ex+2)dx
=2&
π0sinxdx-3&
π0exdx+&
π02dx
=2(-sx)|π0-3ex|π0+2x|π0
=2[(-sπ)-(-s0)]-3(eπ-e0)+2(π-0)
=7-3eπ+2π
(4)∵0≤x≤2,
于是|x2-1|=x2-1,1&
x≤2,1-x2,0≤x≤1,
∴&
20|x2-1|dx=&
10(1-x2)dx+&
21(x2-1)dx
=x-13x3|10+13x3-x|21=2
变式迁移1 解
(1)∵(-sx)′=sinx,
2π0|sinx|dx=&
π0|sinx|dx+&
2ππ|sinx|dx
π0sinxdx-&
2ππsinxdx
=-sx|π0+sx|2ππ
=-(sπ-s0)+(s2π-sπ)=4
π0sin2xdx=&
π012-12s2xdx
π012dx-12&
π0s2xdx
=12x|π0-1212sin2x|π0
=π2-0-1212sin2π-12sin0
=π2
例2 解题导引 求曲线围成的面积的一般步骤为:
(1)作出曲线的图象,确定所要求的面积;
(2)联立方程解出交点坐标;
(3)用定积分表示所求的面积;
(4)求出定积分的值.
解 作出函数=12x2和=3-(x-1)2的图象(如图所示),则所求平面图形的面积S为图中阴影部分的面积.解方程组=12x2,=3-&
2,得x=-23,=29或x=2,=2
所以两曲线交点为A-23,29,B(2,2).
所以S=&
2-23[3-(x-1)2]dx-&
2-2312x2dx
2-23(-x2+2x+2)dx-&
=-13x3+x2+2x2-23-16x32-23
=-83+4+4-881+49-43-16×
8+827
=42027
变式迁移2 解 如图,
设f(x)=x+3,
g(x)=x2-2x+3,
两函数图象的交点为A,B,
由=x+3,=x2-2x+3
得x=0,=3或x=3,=6
∴曲线=x2-2x+3与直线=x+3所围图形的面积
S=&
30[f(x)-g(x)]dx
30[(x+3)-(x2-2x+3)dx]
30(-x2+3x)dx
=-13x3+32x2|30=92
故曲线与直线所围图形的面积为92
例3 解题导引 用定积分解决变速运动的位置与路程问题时,将物理问题转化为数学问题是关键.变速直线运动的速度函数往往是分段函数,故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分,然后求出积分的和,即可得到答案.s(t)求导后得到速度,对速度积分则得到路程.
解 方法一 由速度—时间曲线易知.
v(t)=3t,t∈[0,10&
,30,t∈[10,40&
,-1t+90,t∈[40,60],
由变速直线运动的路程公式可得
s=&
1003tdt+&
401030dt+&
6040(-1t+90)dt
=32t2|100+30t|4010+-34t2+90t|6040=130().
答 此汽车在这1in内所行驶的路程是130
方法二 由定积分的物理意义知,汽车1in内所行驶的路程就是速度函数在[0,60]上的积分,也就是其速度曲线与x轴围成梯形的面积,
∴s=12(AB+)×
30=12×
(30+60)×
30=130().
变式迁移3 解
(1)设v(t)=12t,令v(t)=24,∴t=20
∴A、间距离|A|=&
20012tdt
=(06t2)|200=06×
202=240().
(2)由D到B时段的速度公式为
v(t)=(24-12t)/s,可知|BD|=|A|=240().
(3)∵|A|=|BD|=240(),
∴|D|=7200-240×
2=6720().
∴、D段用时672024=280(s).
又A、段与B、D段用时均为20s,
∴共用时280+20+20=320(s).
后练习区
1.D 2B 3D 4D B
6.036
解析 设力F与弹簧伸长的长度x的关系式为F=x,
则1=×
002,∴=0,
∴F=0x,伸长12时克服弹力做的功
01200xdx=02x2|0120=02×
0122=036().
7.1
解析 ∵&
10(2x+1)dx=2+1x+1+x10
=2+1+1=2,∴=1
8.-18
解析 ∵f′(x)=2x+2f′
(2),∴f′
(2)=4+2f′
(2),
即f′
(2)=-4,∴f(x)=x2-8x+3,
30f(x)dx=13×
33-4×
32+3×
3=-18
9.解
(1)函数=2x2-1x的一个原函数是=23x3-lnx,
所以&
212x2-1xdx=23x3-lnx21
=163-ln2-23=143-ln2………………………………………………………………(3分)
32x+1x2dx=&
32x+1x+2dx
=12x2+lnx+2x32
=92+ln3+6-(2+ln2+4)
=ln32+92…………………………………………………………………………………(6分)
(3)函数=sinx-sin2x的一个原函数为
=-sx+12s2x,所以&
π30(sinx-sin2x)dx
=-sx+12s2xπ30
=-12-14--1+12=-14……………………………………………………………(9分)=(3x-x2)|321+(x2-3x)|232=12…………………………………………………………(12分)
10.解
(1)设f(x)=ax2+bx+(a≠0),
则f′(x)=2ax+b又f′(x)=2x-2,
所以a=1,b=-2,即f(x)=x2-2x+………………………………………………(4分)
又方程f(x)=0有两个相等实根,
所以Δ=4-4=0,即=1
故f(x)=x2-2x+1………………………………………………………………………(8分)
(2)依题意,所求面积S=&
10(x2-2x+1)dx
=13x3-x2+x|10=13……………………………………………………………………(12分)
11.解 画出直线x=-ln2,=e-1及曲线=ex-1如图所示,则所求面积为图中阴影部分的面积.由=e-1,=ex-1,解得B(1,e-1).
由x=-ln2,=ex-1,解得A-ln2,-12…………………………………………………(4分)
此时,(-ln2,e-1),D(-ln2,0).
所以S=S曲边梯形BD+S曲边三角形AD
1-ln2(e-1)dx-&
10(ex-1)dx+0-ln2&
ex-1&
dx………………………………………(7分)
=(e-1)x|1-ln2-(ex-x)|10+|(ex-x)|0-ln2|………………………………………………(10分)
=(e-1)(1+ln2)-(e-1-e0)+|e0-(e-ln2+ln2)|
=(e-1)(1+ln2)-(e-2)+ln2-12
=eln2+12……………………………………………………………………………(14分)