北京市第四十三中学学年下学期高二期中考试数学试题附答案.docx

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北京市第四十三中学学年下学期高二期中考试数学试题附答案

北京第43中学2020-2021学年度第二学期高二数学期中试卷A

一、选择题（共10小题；共40分）

1.若集合，，则等于

A.B.

C.D.

2.在复平面内，复数对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.在等差数列中，若，，则公差

A.B.C.D.

4.在等比数列中，首项，公比，，则项数为

A.B.C.D.

5.已知向量，，与平行，则实数的值为

A.B.C.D.

6.已知圆的方程是，则该圆的圆心坐标及半径分别为

A.与B.与

C.与D.与

7.已知椭圆与双曲线的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，那么椭圆的离心率等于

A.B.C.D.

8.已知在支铅笔中，有支正品，支次品，从中任取支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是

A.B.C.D.

9.端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，．假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少人回老家过节的概率为

A.B.C.D.

10.数列，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：

．记该数列的前项和为，则下列结论正确的是

A.B.C.D.

二、填空题（共5小题；共25分）

11.设复数，（是虚数单位），则 ．

12.在的二项展开式中，项的系数为 （用数字作答）．

13.已知数列中，对成立，且，则 ．

14.已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为 ．

15.已知数列的通项公式为，把中的各项按照一定的顺序排列成如图所示的三角形数阵：

（）数阵中第行所有项的和为 ；

（）在数阵中第行的第列，则 ．

三、解答题（共6小题；共85分）

16.设等差数列当满足：

，．

（1）求的通项公式；

（2）求的前项和及使得最大的序号的值．

17.等差数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求的值．

18.如图，在正方体中，为的中点．

（1）求证：

；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

19.已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于，两点，点，且，求直线的方程．

20.图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留天．

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（2）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望；

（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?

（结论不要求证明）

21.已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：

是等比数列，并求的通项公式；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

答案

第一部分

1.D

2.A

3.B【解析】在等差数列中，

因为，，

所以

解得

4.C

5.D

【解析】由已知，

又，

所以，解得：

，

故选：

D．

6.D【解析】根据题意，圆的方程是，即，

其圆心为，半径．

7.B【解析】双曲线的焦点为，即为，

即有椭圆的，

由椭圆的定义可得，可得，

则椭圆的离心率为．

8.C【解析】记事件，分别表示“第一次，第二次抽得正品”，则表示“第一次抽得次品，第二次抽得正品”，

故．

9.B【解析】“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件，，，则，，，所以，，．由题知，，为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率，所以至少有一人回老家过节的概率．

10.D

【解析】因为

所以．

第二部分

11.

12.

13.

【解析】因为，所以．因为，所以．

14.

【解析】设等差数列的公差为，

由题意可得，

解方程可得，，，

由等差数列的通项公式可得：

15.，

【解析】（）第行的个数依次为，，，，，其和为．

（）令，得，故是数列中的第项．

又数阵的前行共有个数，

前行共有个数，故数列的第项在第行，即，

又，故是第行的第个数，即．

故计．

第三部分

16.

（1）由及，得解得

所以数列的通项公式为．

（2）由

（1）知．

因为，所以当时，取得最大值．

17.

（1）设等差数列的公差为，

由已知得

解得

所以．

（2）由（）可得，

所以

18.

（1）如下图所示：

在正方体中，且，且，

所以且，

所以，四边形为平行四边形，则，

因为，，

所以．

（2）以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如下图所示的空间直角坐标系．

设正方体的棱长为，

则，，，，

，，

设平面的法向量为，

由得

令，则，，则．

．

因此，直线与平面所成角的正弦值为．

19.

（1）由已知，，解得，，所以，所以椭圆的方程为

（2）由

得，，直线与椭圆有两个不同的交点，所以

解得

设，则，，计算

所以，中点坐标为，因为，所以，，所以

解得，经检验，符合题意，所以直线的方程为

20.

（1）设表示事件“此人于3月日到达该市”．

根据题意，，且．

设为事件“此人到达当日空气重度污染”，则，

所以．

（2）由题意可知的所有可能取值为，，，且

，

所以的分布列为

故的期望．

      （3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．

21.

（1）设等差数列的公差为，

因为，

所以，

所以，

即．

（2）因为，

所以，

所以，

所以．

又，

也成立，

所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以．

      （3），

所以对恒成立，

即对恒成立．

令，

则（且），

当且时，，当且时，，

所以，

故，

即的取值范围为．