2.解函数应用问题的步骤（四步八字）
（1）审题：
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：
将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）解模：
求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：
将数学问题还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：
1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
2．解决实际应用问题的一般步骤
（1）审题：
深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质．
（2）建模：
由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题．
（3）解模：
用数学知识和方法解决转化出的数学问题．
（4）还原：
回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．
1．某物体一天中的温度T（单位：
℃）是时间t（单位：
h）的函数：
T（t）＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12∶00，其后t取正值，则下午3时的温度为________．
答案 78℃
解析 T（3）＝33－3×3＋60＝78（℃）．
2．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万
元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K（Q）＝40Q－Q2，则总利润L（Q）的最大值是________万元．
答案 2500
解析 L（Q）＝40Q－Q2－10Q－2000
＝－Q2＋30Q－2000
＝－（Q－300）2＋2500
当Q＝300时，L（Q）的最大值为2500万元．
3．（2011·湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：
太贝克）与时间t（单位：
年）满足函数关系：
M（t）＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已
知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2（太贝克/年），则M（60）等于（ ）
A．5太贝克B．75ln2太贝克
C．150ln2太贝克D．150太贝克
答案 D
解析 ∵M′（t）＝－M02－·ln2，
∴M′（30）＝－×M0ln2＝－10ln2，∴M0＝600.
∴M（t）＝600×2－，∴M（60）＝600×2－2＝150（太贝克）．
4．某企业第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同（设为x），则以下结论正确的是（ ）
A．x>22%
B．x<22%
C．x＝22%
D．x的大小由第一年的产量确定
答案 B
解析 设第一年的产量为a，则a（1＋x）2＝a（1＋44%），
∴x＝20%.
5．（2012·东莞一模）某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（ ）
A．5千米处B．4千米处
C．3千米处D．2千米处
答案 A
解析 由题意得，y1＝，y2＝k2x，其中x>0，当x＝10时，代入两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，可得k1＝20，k2＝，y1＋y2＝＋x≥2＝8，当且仅当＝x，
即x＝5时取等号，故选A.
题型一 二次函数模型
例1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量
x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？
最大利润是多少？
思维启迪：
（1）根据函数模型，建立函数解析式．
（2）求函数最值．
解
（1）每吨平均成本为（万元）．
则＝＋－48≥2－48＝32，
当且仅当＝，即x＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．
（2）设可获得总利润为R（x）万元，
则R（x）＝40x－y＝40x－＋48x－8000
＝－＋88x－8000
＝－（x－220）2＋1680（0≤x≤210）．
∵R（x）在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，
R（x）有最大值为－（210－220）2＋1680＝1660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．
探究提高 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最
值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，
一定要注意对称轴与给定区间的关系：
若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取一最
值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间
的端点处取得．
某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2（0售收入不小于总成本）的最低产量是（ ）
A．100台B．120台C．150台D．180台
答案 C
解析 设利润为f（x）万元，则
f（x）＝25x－（3000＋20x－0.1x2）
＝0.1x2＋5x－3000（0令f（x）≥0，得x≥150，
∴生产者不亏本时的最低产量是150台．
题型二 指数函数模型
例2 诺贝尔奖发放方式为每年一发，把资金总额平均分成6份，奖励给分别在6项（物理、
化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：
1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19800万美元．设f（x）表示第x（x∈N*）年诺贝尔奖发放后的基金总额（1999年记为f
（1），2000年记为f
（2），…，依次类推）．
（1）用f
（1）表示f
（2）与f（3），并根据所求结果归纳出函数f（x）的表达式；
（2）试根据f（x）的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．（参考数据：
1.03129＝1.32）
思维启迪：
从所给信息中找出关键词，增长率问题可以建立指数函数模型．
解
（1）由题意知，f
（2）＝f
（1）（1＋6.24%）－f
（1）·6.24%＝f
（1）（1＋3.12%），
f（3）＝f
（2）（1＋6.24%）－f
（2）·6.24%
＝f
（2）（1＋3.12%）＝f
（1）（1＋3.12%）2，
∴f（x）＝19800（1＋3.12%）x－1（x∈N*）．
（2）2008年诺贝尔奖发放后基金总额为
f（10）＝19800（1＋3.12%）9＝26136，
故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f（10）·6.24%≈136（万美元），与150万美元相比少了
约14万美元，是假新闻．
探究提高 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N（1＋p）x（其中N
是基础数，p为增长率，x为时间）和幂函数模型y＝a（1＋x）n（其中a为基础数，x为增长
率，n为时间）的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．
已知某物体的温度θ（单位：
摄氏度）随时间t（单位：
分钟）的变化规律：
θ＝m·2t
＋21－t（t≥0，并且m>0）．
（1）如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；
（2）若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
解
（1）若m＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2，
当θ＝5时，2t＋＝，令2t＝x≥1，则x＋＝，
即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝（舍去），此时t＝1.
所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．
（2）物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，
亦m·2t＋≥2恒成立，亦即m≥2恒成立．
令＝x，则0由于x－x2≤，∴m≥.
因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是.
题型三 分段函数模型
例3 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y＝
且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产
品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．
（1）当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？
如果获利，求出最大利润；如果不获利，
则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
思维启迪：
题目中月处理成本与月处理量的关系为分段函数关系，项目获利和月处理量
的关系也是分段函数关系．
解
（1）当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，
则S＝200x－
＝－x2＋400x－80000＝－（x－400）2，
所以当x∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利．
当x＝300时，S取得最大值－5000，
所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．
（2）由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为
＝
①当x∈[120,144）时，＝x2－80x＋5040
＝（x－120）2＋240，
所以当x＝120时，取得最小值240.
②当x∈[144,500]时，
＝x＋－200≥2－200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时，取得最小值200.
因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
探究提高 本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理
的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然
后将这些区间内的最值进行比较确定最值．
（2011·北京）根据统计，一名工人
升级会员 