(3)在
(2)的条件下,将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折,图象G的其余部分保持不变,得到一个新图象M.若经过点C(4,2)的直线y=kx+b(k≠0)与图象M在第三象限内有两个公共点,结合图象求b的取值范围.
6.[2015·通州一模]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与一次函数y1=x+k的图象交于A(0,1),B两点,C(1,0)为二次函数图象的顶点.
(1)求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的解析式;
(2)在平面直角坐标系中画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和一次函数y1=x+k的图象;
(3)把
(1)中的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象平移后得到新的二次函数y2=ax2+bx+c+m(a≠0,m为常数)的图象,定义新函数f:
“当自变量x任取一值时,x对应的函数值分别为y1或y2,如果y1≠y2,函数f的函数值等于y1,y2中的较小值;如果y1=y2,函数f的函数值等于y1(或y2).”当新函数f的图象与x轴有三个交点时,直接写出m的取值范围.
7.[2015·海淀二模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A(0,3),与x轴交于点B,C(点B在点C左侧).
(1)求该抛物线的函数解析式及点B,C的坐标;
(2)抛物线的对称轴与x轴交于点D,若直线y=kx+b经过点D和点E(-1,-2),求直线DE的函数解析式;
(3)在
(2)的条件下,已知点P(t,0),过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M,交直线DE于点N,若点M和点N中至少有一个点在x轴下方,直接写出t的取值范围.
图Z8-7
8.[2014·海淀期中]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-(m-1)x-m(m>0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A的坐标;
(2)当S△ABC=15时,求该抛物线的函数解析式;
(3)在
(2)的条件下,经过点C的直线l:
y=kx+b(k<0)与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象.请结合图象回答:
若新函数的最小值大于-8,求k的取值范围.
图Z8-8
9.[2015·平谷一模]已知抛物线y=ax2+x+c(a≠0)经过A(-1,0),B(2,0)两点,与y轴相交于点C,点D为该抛物线的顶点.
(1)求该抛物线的函数解析式及点D的坐标;
(2)点E是该抛物线上一动点,且位于第一象限,当点E到直线BC的距离为时,求点E的坐标;
(3)在
(2)的条件下,在x轴上有一点P,且∠EAO+∠EPO=∠α,当tanα=2时,求点P的坐标.
图Z8-9
10.[2015·怀柔一模]在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=(a-1)x2+2x+1的图象与x轴有交点,a为正整数.
(1)求a的值;
(2)将二次函数y=(a-1)x2+2x+1的图象向右平移m个单位长度,再向下平移(m2+1)个单位长度,当-2≤x≤1时,二次函数有最小值-3,求实数m的值.
图Z8-10
参考答案
北京真题体验
1.解:
(1)当y=2时,2=x-1,x=3.
∴A(3,2).
∵点A,B关于直线x=1对称,
∴B(-1,2).
(2)把(3,2),(-1,2)代入y=x2+bx+c,得
解得
∴抛物线C1的解析式为y=x2-2x-1,顶点坐标为(1,-2).
(3)如图,当C2过点A,点B时为临界状态,
将A(3,2)代入y=ax2,则9a=2,a=,
将B(-1,2)代入y=ax2,则a=2,
∴≤a<2.
2.解:
(1)∵y=2x2+mx+n经过点A(0,-2),B(3,4),
∴
解得
∴抛物线的函数解析式为y=2x2-4x-2.
∴对称轴为直线x=1.
(2)由题意可知C(-3,-4).
二次函数y=2x2-4x-2的最小值为-4.
如图,由图象可以看出点D纵坐标的最小值即为-4,最大值为直线BC与抛物线对称轴的交点的纵坐标.
由B(3,4),C(-3,-4)可知直线BC的函数解析式为y=x.
当x=1时,y=.
∴-4≤t≤.
3.解:
(1)当x=0时,y=-2,
∴A(0,-2),
抛物线的对称轴为直线x=-=1,
∴B(1,0).
(2)易得点A关于对称轴直线x=1的对称点为A′(2,-2),点B关于对称轴对称的点仍为点B,
∴直线l经过点A′,B.
设直线l的函数解析式为y=kx+b(k≠0).
则
解得
故直线l的函数解析式为y=-2x+2.
(3)∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴抛物线在2<x<3这一段与在-1<x<0这一段关于对称轴对称.
如图,结合图象可以观察到抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方,在-1<x<0这一段位于直线l的下方,
∴抛物线与直线l的交点的横坐标为-1.
当x=-1时,y=-2×(-1)+2=4,
∴抛物线与直线l的一个交点为(-1,4).
当x=-1时,m+2m-2=4,
解得m=2,
∴抛物线的函数解析式为y=2x2-4x-2.
4.解:
(1)∵二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+在x=0和x=2时的函数值相等,
∴0+0+=4(t+1)+4(t+2)+,
解得t=-,
∴二次函数的解析式是y=-x2+x+.
(2)把A(-3,m)代入y=-x2+x+得m=-×(-3)2-3+=-6,
即A(-3,-6).
将A(-3,-6)代入y=kx+6,得-6=-3k+6,
解得k=4,
故m=-6,k=4.
(3)由题意可知,点B,C间的部分图象的函数解析式是y=-(x-3)(x+1)(-1≤x≤3),
则抛物线平移后得到图象G的函数解析式是y=-(x-3+n)(x+1+n)(-n-1≤x≤