初中奥数系列锐角三角函数C级第01讲学生版.docx

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初中奥数系列锐角三角函数C级第01讲学生版

锐角三角函数

内容

基本要求

略高要求

较高要求

锐角三角函数

了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三角函数值

由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算

能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题

解直角三角形

知道解直角三角形的含义

会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题

能综合运用直角三角形的性质解决有关问题

模块一　三角函数基础

一、锐角三角函数的定义

如图所示，在中，a、b、c分别为、、的对边．

（1）正弦：

中，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即．

（2）余弦：

中，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即．

（3）正切：

中，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即．

注意：

①正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义．

②、、分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为与、与、与的乘积．

③在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．

二、特殊角三角函数

三角函数

这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住！

三、锐角三角函数的取值范围

在中，，，又，，，所以

四、三角函数关系

1．同角三角函数关系：

，

2．互余角三角函数关系：

（1）任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：

；

（2）任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：

；

（3）任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：

．

3．锐角三角函数值的变化规律：

（1）A、B是锐角，若AB，则；若AB，则

（2）A、B是锐角，若AB，则；若AB，则

（3）A、B是锐角，若AB，则；若AB，则

【例1】已知在中，是锐角，且，则．

【巩固】如图，点在半径为的上，以为圆心，为半径作，设的弦与相切，求证为定值．

【例2】求的值

【巩固】化简：

【例3】已知，求

（1），

（2）（）．

【巩固】已知，求．

【例4】已知为锐角，且，求的度数．

【巩固】若为锐角，且，求的度数．

【例5】已知（为锐角），求作以和为两根的一元二次方程．

【巩固】若方程的一个根是，则它的另一个根必是或．

【巩固】已知：

中，方程的两根相等，求证．

【巩固】在中，，最大边与最小边的边长分别是方程的两个根，求的外接圆半径和内切圆的面积．

【例6】若0°<<30°，且（为常数，且<0），则的取值范是．

模块二解直角三角形

一、解直角三角形的概念

根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形．

二、直角三角形的边角关系

如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：

（1）三边之间的关系：

（勾股定理）

（2）锐角之间的关系：

（3）边角之间的关系：

三、解直角三角形的四种基本类型

（1）已知斜边和一直角边（如斜边，直角边），由求出，则，；

（2）已知斜边和一锐角（如斜边，锐角），求出，，；

（3）已知一直角边和一锐角（如和锐角），求出，，；

（4）已知两直角边（如和），求出，由，得．

具体解题时要善于选用公式及其变式，如可写成，等．

四、解直角三角形的方法

解直角三角形的方法可概括为：

“有斜（斜边）用弦（正弦，余弦），无斜用切（正切，余切），宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：

当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；

当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．

五、解直角三角形的技巧及注意点

在中，，故，．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．

六、如何解直角三角形的非基本类型的题型

对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程（组）来转化为四种基本类型求解；

（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；

（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：

①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等．

七、直角三角形中其他重要概念

（1）仰角与俯角：

在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．

（2）坡角与坡度：

坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵．

（3）方向角（或方位角）：

方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．

八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：

（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；

（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；

（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；

（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．

【例7】如图，某高层楼房与上海东方明珠电视塔隔江想望，甲、乙两学生分别在这楼房的两层，甲在层测得电视塔塔顶的仰角为，塔底的俯角为，乙在层测得塔顶的仰角为，由于塔底的视线被挡住，乙无法测得塔底的俯角，已知之间的高度差为，求电视塔高（用含的代数式表示）

【例8】一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形．现需将其整修并进行美化，方案如下：

①将背水坡的坡度由改为；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花．

（1）求整修后背水坡面的面积；

（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？

【例9】如图，在某海域内有三个港口、、．港口在港口北偏东方向上，港口在港口北偏西方向上．一艘船以每小时海里的速度沿北偏东的方向驶离港口小时后到达点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每分钟吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过吨时，船将沉入海中．同时在处测得港口在处的南偏东方向上．若船上的抽水机每小时可将吨的海水排出船外，问此船在处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？

并指出此时船的航行方向．

【巩固】海面上处有一货轮正在向正南方向航行，其航行路线是当它到达正南方时，在驶向正西方的目的地处，且海里，在中点处有一客轮，其速度为货轮的一半，现在客轮要截住货轮取一件货物，于是选择某一航向行驶去截住货轮，那么当客轮截住客轮时至少航行了多少海里，它所选择了怎样的方向角？

（路程保留整数海里，角度精确到度）

1．（辽宁竞赛）如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度（见示意图），可供使用的工具有测倾器、皮尺．

（1）请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上（所测的距离用，表示，角用，表示，测倾器高度忽略不计）；

（2）根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度（用字母表示）．

2．化简：

3．如图、图，是一款家用的垃圾桶，踏板（与地面平行）或绕定点（固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持）．通过向下踩踏点到（与地面接触点）使点上升到点，与此同时传动杆运动到的位置，点绕固定点旋转（为旋转半径）至点，从而使桶盖打开一个张角．如图，桶盖打开后，传动杆所在的直线分别与水平直线垂直，垂足为点，设．测得．要使桶盖张开的角度不小于，那么踏板离地面的高度至少等于多少？

（结果保留两位有效数字）

1．化简求值：

（）

2．若，且，求的值．

3．（2011甘肃兰州）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：

等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图①在中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：

（1）=．

（2）对于，∠A的正对值的取值范围是．

（3）如图②，已知，其中为锐角，试求的值．