北师大版高中数学必修第二章《解析几何初步》全部教案.docx

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北师大版高中数学必修第二章《解析几何初步》全部教案

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北师大版高中数学必修2第二章《解析几何初步》全部教案

法门高中姚连省

§2、1直线与直线的方程

第一课时直线的倾斜角和斜率

一、教学目标:

1、知识与技能：

（1）、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．

（2）、理解直线的倾斜角的唯一性.（3）、理解直线的斜率的存在性.（4）、斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

2、情感态度与价值观：

（1）通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

二、重点与难点:

直线的倾斜角、斜率的概念和公式.

三、教学用具：

计算机

教学方法：

启发、引导、讨论.

四、教学过程

（一）、直线的倾斜角的概念

我们知道,经过两点有且只有（确定）一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗?

如图,过一点P可以作无数多条直线a,b,c,…易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?

（1）它们都经过点P.

（2）它们的‘倾斜程度’不同.怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?

引入直线的倾斜角的概念:

当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.

问:

倾斜角α的取值范围是什么?

0°≤α＜180°.

当直线l与x轴垂直时,α=90°.

因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后,我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

如图,直线a∥b∥c,那么它们的倾斜角α相等吗?

答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:

一个点P和一个倾斜角α.

（二）直线的斜率

一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;

⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.

由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

例如,α=45°时,k=tan45°=1;

α=135°时,k=tan135°=tan（180°－45°）=-tan45°=-1.

学习了斜率之后,我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.

（三）直线的斜率公式:

给定两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?

可用计算机作动画演示:

直线P1P2的四种情况,并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.（略）

斜率公式:

对于上面的斜率公式要注意下面四点：

（1）当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α=90°,直线与x轴垂直；

（2）k与P1、P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换;

（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;

（4）当y1=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.

（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

（四）例题:

例1已知A（3,2）,B（-4,1）,C（0,-1）,求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线,图略）

分析:

已知两点坐标,而且x1≠x2,由斜率公式代入即可求得k的值;

而当k=tanα<0时,倾斜角α是钝角;

而当k=tanα>0时,倾斜角α是锐角;

而当k=tanα=0时,倾斜角α是0°.

略解:

直线AB的斜率k1=17>0,所以它的倾斜角α是锐角;

直线BC的斜率k2=-0.5<0,所以它的倾斜角α是钝角;

直线CA的斜率k3=1>0,所以它的倾斜角α是锐角.

例2在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2,及-3的直线a,b,c,l.

分析:

要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定;或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x轴的正半轴为角的一边,在x轴的上方作45°的角,再把所作的这一边反向延长成直线即可.

略解:

设直线a上的另外一点M的坐标为（x,y）,根据斜率公式有，1=（y－0）（x－0）

所以x=y，可令x=1,则y=1,于是点M的坐标为（1,1）.此时过原点和点

M（1,1）,可作直线a.同理,可作直线b,c,l.（用计算机作动画演示画直线过程）

（五）练习:

P911.2.3.4.

（六）小结:

（1）直线的倾斜角和斜率的概念．

（2）直线的斜率公式.

（七）课后作业:

P94习题3.11.3.

五、教后反思：

第二课时两条直线的平行与垂直

一、教学目标

（一）知识教学：

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.

（二）能力训练：

通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力．

（三）学科渗透：

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．

二、重难点

重点：

两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．

难点：

启发学生,把研究两条直线的平行或垂直问题,转化为研究两条直线的斜率的关系问题．

注意：

对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况,在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．

三、教学方法：

启发、引导、讨论.

四、教学过程

（一）先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直

上一节课,我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念,而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度,并推导出了斜率的坐标计算公式.现在,我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．

讨论:

两条直线中有一条直线没有斜率,

（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；

（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

（二）两条直线的斜率都存在时,两直线的平行与垂直

设直线L1和L2的斜率分别为k1和k2.我们知道,两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的,而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.所以我们下面要研究的问题是:

两条互相平行或垂直的直线,它们的斜率有什么关系?

首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形．如果L1∥L2（图1-29），那么它们的倾斜角相等：

α1=α2．（借助计算机,让学生通过度量,感知α1,α2的关系）

∴tgα1=tgα2．即　k1=k2．

反过来，如果两条直线的斜率相等:

即k1=k2，那么tgα1=tgα2．

由于0°≤α1＜180°，　0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．

结论:

两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

注意:

上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2;反之则不一定.

下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．

设α2＜α1（图1-30），甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有

α1=90°+α2．

因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．

，

可以推出　:

α1=90°+α2．L1⊥L2．

结论:

两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

注意:

结论成立的条件.即如果k1·k2=-1,那么一定有L1⊥L2;反之则不一定.

（借助计算机,让学生通过度量,感知k1,k2的关系,并使L1（或L2）转动起来,但仍保持L1⊥L2,观察k1,k2的关系,得到猜想,再加以验证.转动时,可使α1为锐角,钝角等）.

（三）、例题：

例1　已知A（2,3）,B（-4,0）,P（-3,1）,Q（-1,2）,试判断直线BA与PQ的位置关系,并证明你的结论.

分析:

借助计算机作图,通过观察猜想:

BA∥PQ,再通过计算加以验证.（图略）

解:

直线BA的斜率k1=（3-0）（2-（-4））=0.5,直线PQ的斜率k2=（2-1）（-1-（-3））=0.5,

因为k1=k2=0.5,所以直线BA∥PQ.

例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0,0）,B（2,-1）,C（4,2）,D（2,3）,试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.（借助计算机作图,通过观察猜想:

四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证）解同上.

例3已知A（-6,0）,B（3,6）,P（0,3）,Q（-2,6）,试判断直线AB与PQ的位置关系.

解:

直线AB的斜率k1=（6-0）（3-（-6））=23,直线PQ的斜率k2=（6-3）（-2-0）=-32,因为k1·k2=-1所以AB⊥PQ.

例4　已知A（5,-1）,B（1,1）,C（2,3）,试判断三角形ABC的形状.

分析:

借助计算机作图,通过观察猜想:

三角形ABC是直角三角形,其中AB⊥BC,再通过计算加以验证.（图略）

（四）、课堂练习：

P94练习1.2.

（五）、课后小结：

（1）两条直线平行或垂直的真实等价条件；

（2）应用条件,判定两条直线平行或垂直.（3）应用直线平行的条件,判定三点共线.

（六）、布置作业：

P94习题3.15.8.

五、教后反思：

第三课时直线的点斜式方程

一、教学目标

1、知识与技能：

（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；

（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系。

2、过程与方法：

在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。

3、情态与价值观：

通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点：

（1）重点：

直线的点斜式方程和斜截式方程。

（2）难点：

直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

三、教学方法：

启发、引导、讨论.

四、教学过程

问题

设计意图

师生活动

1、在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？

使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知。

学生回顾，并回答。

然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标满足的关系式。

2、直线经过点，且斜率为。

设点是直线上的任意