因式分解地常用方法方法最全最详细.docx
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因式分解地常用方法方法最全最详细
因式分解的常用方法
第一部分：
方法介绍
因式分解：
因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等
因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：
将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法.：
ma+mb+mc=m（a+b+c）
二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
（1）（a+b）（a-b）=a2-b2-----------a2-b2=（a+b）（a-b）；
（2）（a±b）2=a2±2ab+b2---------a2±2ab+b2=（a±b）2；
（3）（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3---------a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；
（4）（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3--------a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．
下面再补充两个常用的公式：
（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；
（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；
例.已知是的三边，且，
则的形状是（）
A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形
解：
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
分析：
从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：
原式=
=每组之间还有公因式！
=
例2、分解因式：
解法一：
第一、二项为一组；解法二：
第一、四项为一组；
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：
原式=原式=
==
==
练习：
分解因式1、2、
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
分析：
若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：
原式=
=
=
例4、分解因式：
解：
原式=
=
=
练习：
分解因式3、4、
综合练习：
（1）
（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
（9）（10）
（11）（12）
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
特点：
（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：
十字相乘有什么基本规律？
例.已知0＜≤5，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.
解析：
凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求>0而且是一个完全平方数。
于是为完全平方数，
例5、分解因式：
分析：
将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=（-2）×（-3）=1×6=（-1）×（-6），从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
12
解：
=13
=1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：
将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：
解：
原式=1-1
=1-6
（-1）+（-6）=-7
练习5、分解因式
（1）
（2）（3）
练习6、分解因式
（1）
（2）（3）
（二）二次项系数不为1的二次三项式——
条件：
（1）
（2）
（3）
分解结果：
=
例7、分解因式：
分析：
1-2
3-5
（-6）+（-5）=-11
解：
=
练习7、分解因式：
（1）
（2）
（3）（4）
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：
分析：
将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
18b
1-16b
8b+（-16b）=-8b
解：
=
=
练习8、分解因式
（1）
（2）（3）
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、例10、
1-2y把看作一个整体1-1
2-3y1-2
（-3y）+（-4y）=-7y（-1）+（-2）=-3
解：
原式=解：
原式=
练习9、分解因式：
（1）
（2）
综合练习10、
（1）
（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
（9）（10）
思考：
分解因式：
五、换元法。
（1）、换单项式
例1分解因式x6+14x3y+49y2.
分析：
注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3=m，则x6=m2，原式变形为
m2+14my+49y2=（m+7y）2=（x3+7y）2.
（2）、换多项式
例2分解因式（x2+4x+6）+（x2+6x+6）+x2.
分析：
本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2+6=m，则x2+4x+6=m+4x，x2+6x+6=m+6x，原式变形为
（m+4x）（m+6x）+x2=m2+10mx+24x2+x2=m2+10mx+25x2
=（m+5x）2=（x2+6+5x）2
=[（x+2）（x+3）]2=（x+2）2（x+3）2.
以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”.当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”.比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为
m（m+2x）+x2=m2+2mx+x2=（m+x）2=（x2+4x+6+x）2=（x2+5x+6）2
=[（x+2）（x+3）]2=（x+2）2（x+3）2.
另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算.对于本例，设m=[（x2+4x+6）+（x2+6x+6）]=x2+5x+6，则x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x，
（m+x）（m-x）+x2=m2-x2+x2=m2=（x2+5x+6）2=[（x+2）（x+3）]2
=（x+2）2（x+3）2.
例3分解因式（x-1）（x+2）（x-3）（x+4）+24.
分析：
这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积.无论如何分组，最高项都是x2，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同.因此，把（x-1）（x+2）（x-3）（x+4）分组为[（x-1）（x+2）][（x-3）（x+4）]=（x2+x-2）（x2+x-12），从而转化成例2形式加以解决.
我们采用“均值换元法”，设m=[（x2+x-2）+（x2+x-12）]=x2+x-7，则x2+x-2=m+5，x2+x-2=m-5，原式变形为
（m+5）（m-5）+24=m2-25+24=m2-1=（m+1）（m-1）=（x2+x-7+1）（x2+x-7-1）
=（x2+x-6）（x2+x-8）=（x-2）（x+3）（x2+x-8）.
（3）、换常数
例1分解因式x2（x+1）-2003×2004x.
分析：
此题若按照一般思路解答，很难奏效.注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元.比如，设m=2003，则2004=m+1.于是，原式变形为
x2（x+1）–m（m+1）x=x[x（x+1）-m（m+1）]=x（x2+x-m2-m）
=x[（x2-m2）+（x-m）]=x[（x+m）（x-m）+（x-m）]
=x（x-m）（x+m+1）=x（x-2003）（x+2003+1）=x（x-2003）（x+2004）.
例13、分解因式
（1）
（2）
解：
（1）设2005=，则原式=
=
=
（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=
设，则
∴原式==
==
练习13、分解因式
（1）
（2）
（3）
例14、分解因式
（1）
观察：
此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：
提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：
原式==
设，则
∴原式==
==
==
=
（2）
解：
原式==
设，则
∴原式==
==
练习14、
（1）
（2）
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式
（1）
解法1——拆项。
解法2——添项。
原式=原式=
======
==
（2）
解：
原式=
=
=
=
练习15、分解因式
（1）
（2）
（3）（4）
（5）（6）
七、待定系数法。
例16、分解因式
分析：
原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为
解：
设=
∵=
∴=
对比左右两边相同项的系数可得，解得
∴原式=
例17、
（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果有两个因式为和，求的值。
（1）分析：
前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为
解：
设=
则=
比较对应的系数可得：
，解得：
或
∴当时，原多项式可以分解；
当时，原式=；
当时，原式=
（2）分析：
是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。
解：
设=
则=
∴解得，
∴=21
练习17、
（1）分解因式
（2）分解因式
（3）已知：
能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。
（4）为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。
第二部分：
习题大全
经典一：
一、填空题
1.把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式：
m3-4m=.
3.分解因式：
x2-4y2=_______.
4、分解因式：
=_________________。
5.将xn-yn分解因式的结果为（x2+y2）（x+y）（x-y），则n的值为.
6、若，则=_________，=__________。
二、选择题
7、多项式的公因式是（）
A、B、C、D、
8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）
A、B、
C、D、
10.下列多项式能分解因式的是（）
（A）x2-y（B）x2+1（C）x2+y+y2（D）x2-4x+4
11．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（）
A．（x－y）（x－y－1）B．（y－x）（x－y－1）
C．（y－x）（y－x－1）D．（y－x）（y－x＋1）
12．下列各个分解因式中正确的是（）
A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）
B．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）
C．x（b＋c－
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