因式分解地常用方法方法最全最详细.docx

1、因式分解地常用方法方法最全最详细因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。一、提公因式法.：ma+mb+mc

2、=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1) (a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (ab)2 = a22ab+b2 -a22ab+b2=(ab)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3-a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+

3、c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知是的三边，且，则的形状是（ ）A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形解： 三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原

4、式= 原式= = = = =练习：分解因式1、 2、（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式= = =例4、分解因式： 解：原式= = =练习：分解因式3、 4、综合练习：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知05，且为整数，

5、若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求 0而且是一个完全平方数。于是为完全平方数，例5、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23的分解适合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7练习5、分解因式(1) (2) (3)练习6、分解因式(1) (2) (3)

6、（二）二次项系数不为1的二次三项式条件：（1） （2） （3） 分解结果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=练习7、分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =练习8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解

7、：原式= 解：原式=练习9、分解因式：（1） （2）综合练习10、（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：五、换元法。(1)、换单项式例1 分解因式x6 + 14x3 y + 49y2.分析：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3 = m，则x6= m2，原式变形为m2 + 14m y + 49y2= (m + 7y)2 = ( x3 + 7y)2.(2)、换多项式例2 分解因式(x2+4x+6) + (x2+6x+6) +x2.分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2 +6= m，则x2+4x+6= m+

8、4x，x2+6x+6= m+6x，原式变形为(m+4x)(m+6x)+x2= m2 +10mx+24x2+x2= m2 +10mx+25x2= (m+5x)2= ( x2 +6+5x)2= (x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2.以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”. 当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”. 比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为m(m+2x)+ x2 = m2+2mx+x2= (m+x)2= ( x2+4x+6+x)2= ( x2+5x+6)2= (x+2)(x+3)2=

9、(x+2) 2 (x+3)2.另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算. 对于本例，设m= (x2+4x+6) + (x2+6x+6)= x2+5x+6，则x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x， (m+x)(m-x)+x2= m2-x2+x2 = m2= (x2+5x+6)2= (x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2.例3 分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积. 无论如何分组，最高项都是x2，常

10、数项不相等，所以只能设法使一次项相同. 因此，把 (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为(x-1) (x+2)(x-3)(x+4) = (x2+x-2) (x2+x-12)，从而转化成例2形式加以解决. 我们采用“均值换元法”，设m= (x2+x-2)+ (x2+x-12)=x2+x-7，则x2+x-2=m+5，x2+x-2= m-5，原式变形为(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-1=(m+1)(m-1)=( x2+x-7+1)( x2+x-7-1)= ( x2+x-6)( x2+x-8)= (x-2)(x+3)( x2+x-8).(3)、换常数例1 分解因式x2(x+

11、1)-20032004x.分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效. 注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元. 比如，设m=2003，则2004=m+1. 于是，原式变形为x2(x+1) m(m+1)x= xx(x+1)-m(m+1) = x(x2+x-m2-m)= x(x2 -m2) +(x-m)= x(x+m) (x-m)+(x-m)= x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).例13、分解因式（1） （2）解：（1）设2005=，则原式= = =（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘

12、。 原式=设，则原式= =练习13、分解因式（1）（2） （3）例14、分解因式（1）观察：此多项式的特点是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=设，则原式= = = =（2）解：原式= 设，则 原式= =练习14、（1）（2）六、添项、拆项、配方法。例15、分解因式（1） 解法1拆项。 解法2添项。原式= 原式= = = = = = =（2）解：原式=练习15、分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）七、待定系数法。例16、分解因式分析：原式的前3项可以分为，则

13、原多项式必定可分为解：设=对比左右两边相同项的系数可得，解得原式=例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。 （2）如果有两个因式为和，求的值。（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为解：设= 则=比较对应的系数可得：，解得：或当时，原多项式可以分解；当时，原式=；当时，原式=（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。解：设= 则= 解得，=21练习17、（1）分解因式（2）分解因式（3） 已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。（4） 为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。第二部分：

14、习题大全经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫做把这个多项式分解因式。2分解因式： m3-4m= .3.分解因式： x2-4y2= _ _.4、分解因式：=_ _。5.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n的值为 . 6、若，则=_，=_。二、选择题7、多项式的公因式是( )A、 B、 C、 D、8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )A、 B、C、 D、10.下列多项式能分解因式的是（ ）(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+411把（xy）2（yx）分解因式为（ ）A（xy）（xy1） B（yx）（xy1）C（yx）（yx1） D（yx）（yx1）12下列各个分解因式中正确的是（ ）A10ab2c6ac22ac2ac（5b23c）B（ab）2（ba）2（ab）2（ab1）Cx（bc