高中数学非 否定例题解析Word格式.docx
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题型一 “綈p”命题的构成与真假判断
例1 写出下列命题的否定形式,并判断其否定的真假.
(1)面积相等的三角形都是全等三角形;
(2)若m2+n2=0,则实数m,n全为零;
(3)若xy=0,则x=0或y=0.
解
(1)面积相等的三角形不都是全等三角形,为真命题.
(2)若m2+n2=0,则实数m,n不全为零,为假命题.
(3)若xy=0,则x≠0且y≠0,为假命题.
反思感悟 綈p是对命题p的全盘否定,对一些词语的正确否定是写綈p的关键,如“都”的否定是“不都”,“至多两个”的反面是“至少三个”,“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等.
跟踪训练1 写出下列命题的否定形式.
(1)p:
y=sinx是周期函数;
(2)p:
3<
2;
(3)p:
空集是集合A的子集;
(4)p:
5不是75的约数.
解
(1)綈p:
y=sinx不是周期函数.
(2)綈p:
3≥2.
(3)綈p:
空集不是集合A的子集.
(4)綈p:
5是75的约数.
题型二 全称命题和存在性命题的否定
命题角度1 全称命题的否定
例2 写出下列全称命题的否定:
(1)任何一个平行四边形的对边都平行;
(2)数列:
1,2,3,4,5中的每一项都是偶数;
(3)∀a,b∈R,方程ax=b都有唯一解;
(4)可以被5整除的整数,末位是0.
解
(1)其否定:
存在一个平行四边形,它的对边不都平行.
(2)其否定:
数列:
1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.
(3)其否定:
∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在.
(4)其否定:
存在被5整除的整数,末位不是0.
反思感悟 全称命题的否定是存在性命题,对省略全称量词的全称命题可补上量词后再进行否定.
跟踪训练2 写出下列全称命题的否定:
每一个四边形的四个顶点共圆;
所有自然数的平方都是正数;
任何实数x都是方程5x-12=0的根;
对任意实数x,x2+1≥0.
解
(1)綈p:
存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.
(2)綈p:
有些自然数的平方不是正数.
(3)綈p:
存在实数x不是方程5x-12=0的根.
(4)綈p:
存在实数x,使得x2+1<
0.
命题角度2 存在性命题的否定
例3 写出下列存在性命题的否定,并判断其否定的真假.
∃x>
1,使x2-2x-3=0;
有些素数是奇数;
有些平行四边形不是矩形.
∀x>
1,x2-2x-3≠0(假).
所有的素数都不是奇数(假).
所有的平行四边形都是矩形(假).
反思感悟 存在性命题的否定是全称命题,写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p:
∃x∈M,p(x)成立⇒綈p:
∀x∈M,綈p(x)成立.
跟踪训练3 写出下列存在性命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)某些平行四边形是菱形;
(3)∃x,y∈Z,使得x+y=3.
解
(1)命题的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,即“所有实数的绝对值都不是正数”.因此命题的否定是假命题.
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题.
(3)命题的否定是“∀x,y∈Z,x+y≠3”.当x=0,y=3时,x+y=3,因此命题的否定是假命题.
题型三 存在性命题、全称命题的综合应用
例4 已知函数f(x)=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>
0对于任意x∈R恒成立,并说明理由;
(2)若存在一个实数x,使不等式m-f(x)>
0成立,求实数m的取值范围.
解
(1)不等式m+f(x)>
0可化为m>
-f(x),
即m>
-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m>
-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,
只需m>
-4即可.
故存在实数m,使不等式m+f(x)>
0对于任意x∈R恒成立,此时,只需m>
-4.
(2)不等式m-f(x)>
f(x),若存在一个实数x,使不等式m>
f(x)成立,只需m>
f(x)min.
又f(x)=(x-1)2+4,
∴f(x)min=4,∴m>
4.
∴所求实数m的取值范围是(4,+∞).
反思感悟 对于涉及是否存在的问题,通常总是假设存在,然后推出矛盾,或找出存在符合条件的元素.一般地,对任意的实数x,a>
f(x)恒成立,只要a>
f(x)max;
若存在一个实数x,使a>
f(x)成立,只需a>
跟踪训练4 已知f(x)=3ax2+6x-1(a∈R).
(1)当a=-3时,求证:
对任意x∈R,都有f(x)≤0;
(2)如果对任意x∈R,不等式f(x)≤4x恒成立,求实数a的取值范围.
(1)证明 当a=-3时,f(x)=-9x2+6x-1,
∵Δ=36-4×
(-9)×
(-1)=0,
∴对任意x∈R,都有f(x)≤0.
(2)解 ∵f(x)≤4x恒成立,
∴3ax2+2x-1≤0恒成立,
∴即
解得a≤-,
即实数a的取值范围是.
1.命题p:
“存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”,则“綈p”形式的命题是( )
A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根
B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根
C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实根
D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实根
答案 C
解析 命题p是存在性命题,其否定形式为全称命题,即綈p:
对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实根.
2.对下列命题的否定说法错误的是( )
A.p:
能被2整除的数是偶数;
綈p:
存在一个能被2整除的数不是偶数
B.p:
有些矩形是正方形;
所有的矩形都不是正方形
C.p:
有的三角形为正三角形;
所有的三角形不都是正三角形
D.p:
∃n∈N,2n≤100;
∀n∈N,2n>
100.
解析 “有的三角形为正三角形”为存在性命题,其否定为全称命题:
“所有的三角形都不是正三角形”,故选项C错误.
3.已知命题p:
所有有理数都是实数,命题q:
正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( )
A.(綈p)∨qB.p∧q
C.(綈p)∧(綈q)D.(綈p)∨(綈q)
答案 D
解析 由于命题p为真命题,命题q为假命题,因此,命题綈p是假命题,命题綈q是真命题,从而(綈p)∨q,p∧q,(綈p)∧(綈q)都是假命题,(綈p)∨(綈q)是真命题.
4.已知a>
0且a≠1,命题“∃x>
1,logax>
0”的否定是( )
A.∃x≤1,logax>
0B.∃x>
1,logax≤0
C.∀x≤1,logax>
0D.∀x>
解析 a>
0”的否定是“∀x>
1,logax≤0”.
5.由命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,得实数m的取值范围是(a,+∞),则实数a=________.
答案 1
解析 由题意得命题“∀x∈R,x2+2x+m>
0”是真命题,所以Δ=4-4m<
0,即m>
1,故实数m的取值范围是(1,+∞),从而实数a的值为1.
1.带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定,应注意对逻辑联结词进行否定,即“或”的否定是“且”,“且”的否定是“或”,“不是”的否定是“是”.
2.
(1)对含有全称量词的命题进行否定需两步操作:
第一步,将全称量词改写成存在量词;
第二步,将结论加以否定.
(2)对含有存在量词的命题进行否定需两步操作:
第一步,将存在量词改写成全称量词;
一、选择题
1.下列存在性命题是假命题的是( )
A.存在实数a,b,使ab=0
B.有些实数x,使得|x+1|<
1
C.存在一个函数,既是偶函数又是奇函数
D.有些实数x,使得x<
解析 A是真命题;
B是真命题;
C是真命题;
D是假命题.
2.下列命题既是存在性命题,又是真命题的是( )
A.两个无理数的和必是无理数
B.存在一个实数x,使=0
C.至少有一个实数x,使x2<
D.有些实数的倒数等于它本身
解析 A项为全称命题;
B项,是不能为零的,故B假;
C项,x2≥0,故不存在实数x使x2<
0,故C假;
D项,当实数为1或-1时可满足题意,故D正确.
∀x∈R,sinx≤1,则綈p是( )
A.∃x∈R,sinx≥1B.∃x∈R,sinx>
C.∀x∈R,sinx≥1D.∀x∈R,sinx>
答案 B
解析 所给命题为全称命题,故其否定为存在性命题,故綈p:
∃x∈R,sinx>
1,故选B.
4.下列命题中,假命题是( )
A.∀x∈R,2x-1>
0B.∀x∈N+,(x-1)2>
C.∃x∈R,lgx<
1D.∃x∈R,tanx=2
解析 对于∀x∈R,y=2x>
0恒成立,而y=2x-1的图象是将y=2x的图象沿x轴向右平移1个单位长度,函数的值域不变,故2x-1>
0恒成立,故A为真命题;
当x=1时,(x-1)2=0,故B为假命题;
当0<
x<
10时,lgx<
1,故∃x∈R,lgx<
1,故C为真命题;
y=tanx的值域为R,故∃x使得tanx=2,故D为真命题.
5.命题“p∧q”与“p∨q”都是假命题,则下列判断正确的是( )
A.命题“綈p”与“綈q”真假不同
B.命题“綈p”与“綈q”至少有一个是假命题
C.命题“綈p”与“q”真假相同
D.命题“(綈p)∧(綈q)”是真命题
解析 “p∧q”为假,则p与q中至少有一个为假,而“p∨q”为假,则p,q都为假,故綈p,綈q均为真.
6.若命题p:
0,log2x>
0,命题q:
∃x∈R,2x<
0,则下列命题为真命题的是( )
A.p∨qB.p∧qC.(綈p)∧qD.p∨(綈q)
解析 当x∈(0,1]时,log2x≤0,∴命题p为假命题.
又当x∈R时,2x>
0,∴命题q为假命题,
∴p∨(綈q)为真命题.
7.已知命题p:
存在x∈R,有sinx+cosx=2;
命题q:
任意x∈,有x>
sinx.则下列命题是真命题的是( )
A.p且qB.p或(綈q)C.p且(綈q)D.(綈p)且q
解析 由题意知命题p是假命题,命题q是真命题,
所以(綈p)且q为真命题.
8.已知a>
0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项中的命题为假命题的是( )
A.∃x∈R,f(x)≤f(x0)B.∃x∈R,f(x)≥f(x0)
C.∀x∈R,f(x)≤f(x0)D.∀x∈R,f(x)≥f(x0)
解析 当a>
0时,函数f(x)=ax2+bx+c的图象为开口向上的抛物线,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则x0=-为抛物线顶点的横坐标,f(x)min=f(x0),故对于∀x∈R,f(x)≥f(x0)成立,从而选项A,B,D为真命题,选项C为假命题.
二、填空题
9.命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为________.(填序号)
①对任意x∈R,都有x2<0;
②不存在x∈R,使得x2<0;
③存在x∈R,使得x2≥0;
④存在x∈R,使得x2<0.
答案 ④
解析 全称命题的否定是存在性命题.
10.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<
1或x>
4}”是假命题,则x的取值范围是________.
答案 [1,2)
解析 x∈[2,5]或x∈(-∞,1)∪(4,+∞),
即x∈(-∞,1)∪[2,+∞),由于该命题是假命题,
所以1≤x<
2,即x∈[1,2).
11.已知p(x):
x2+2x-m>
0,如果p
(1)是假命题,p
(2)是真命题,则实数m的取值范围是________.
答案 [3,8)
解析 因为p
(1)是假命题,所以1+2-m≤0,解得m≥3.
又因为p
(2)是真命题,所以4+4-m>
0,解得m<
8,
故实数m的取值范围是3≤m<
8.
三、解答题
12.已知p:
∀a∈(0,b](b∈R且b>0),函数f(x)=sin的周期不大于4π.
(1)写出綈p;
(2)当綈p是假命题时,求实数b的最大值.
∃a∈(0,b](b∈R且b>0),
函数f(x)=sin的周期大于4π.
(2)由于綈p是假命题,所以p是真命题,
所以∀a∈(0,b],≤4π恒成立,
解得a≤2,所以0<b≤2,所以实数b的最大值是2.
13.已知命题p:
“至少存在一个实数x∈[1,2],使不等式x2+2ax+2-a>
0成立”为真,试求参数a的取值范围.
解 由已知得綈p:
∀x∈[1,2],x2+2ax+2-a≤0.
∴设f(x)=x2+2ax+2-a,若綈p为真,
则
∴解得a≤-3,
∵綈p为假,∴a>
-3,即a的取值范围是(-3,+∞).
14.已知命题p:
若平面α⊥平面β,平面γ⊥平面β,则有平面α∥平面γ.命题q:
在空间中,对于三条不同的直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.对以上两个命题,下列结论中:
①p∧q为真;
②p∨q为假;
③p∨q为真;
④(綈p)∨(綈q)为假.
其中正确的命题是________.(填序号)
答案 ②
解析 命题p是假命题,因为平面α与平面γ也可能相交;
命题q也是假命题,这两条直线也可能异面,相交.
故①③④错误,②正确.
15.已知命题p:
∀m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥;
∃x∈R,使不等式x2+ax+2<
0.若p或q是真命题,綈q是真命题,求a的取值范围.
解 根据p或q是真命题,綈q是真命题,得p是真命题,q是假命题.∵m∈[-1,1],∴∈[2,3].
∵∀m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥,
∴a2-5a-3≥3,∴a≥6或a≤-1.
故命题p为真命题时,a≥6或a≤-1.
又命题q:
0,
∴Δ=a2-8>
0,∴a>
2或a<
-2,
从而命题q为假命题时,-2≤a≤2,
∴命题p为真命题,q为假命题时,
a的取值范围为[-2,-1]