高中数学第3章数系的扩充与复数的引入33复数的几何意义课后导练苏教版选修Word文档下载推荐.docx
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由|x-2+yi|=22,得(x-2)2+y2=8.
(x-2)2+y2=8
8.复数z=x+3+i(y-2),(x,y∈R)且|z|=2,则点(x,y)的轨迹方程是__________.
∵=2,
∴(x+3)2+(y-2)2=4.
(x+3)2+(y-2)2=4
9.已知|z|=2+z-4i,求复数z.
设z=x+yi(x、y∈R),则由题意知
=2+x+iy-4i=(x+2)+(y-4)i,
∴即
∴z=3+4i.
10.已知向量与实轴正向的夹角为45°
,向量对应的复数z的模为1,求z.
解:
设z=a+bi(a、b∈R).
∵与x轴正向的夹角为45°
|z|=1,
∴
或
∴z=或z=.
综合运用
11.实数x分别取什么值时,复数z=x2+x-6+(x2-2x-15)i表示的点:
(1)在实轴上?
(2)在虚轴上?
(1)当x2-2x-15=0,即x=-3或x=5时,复数z对应的点在实轴上.
(2)当x2+x-6=0,即x=2或x=-3时,复数z对应的点在虚轴上.
12.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<
ω<
2.求|z|的值及z的实部的取值范围.
∵z是虚数,∴可设z=x+yi(x,y∈R且y≠0),
ω=z+=(x+yi)+=x+yi+
=(x+)+(y-)i,
∵ω为实数且y≠0,
∴1-=0,
即x2+y2=1,∴|z|=1此时ω=2x,
由-1<
2得-1<
2x<
2.
∴-<
x<
1.
即z的实部的范围是(-,1)
13.已知复平面内点A、B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos2θ,其中θ∈(0,2π),设对应的复数为z.
(1)求复数z;
(2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值.
(1)z=z2-z1=-cos2θ-sin2θ+i(cos2θ-1)
=-1-2sin2θ·
i.
(2)点P的坐标为(-1,-2sin2θ),
由点P在直线y=x上,得-2sin2θ=-.
所以sin2θ=,则sinθ=±
.
因为θ∈(0,2π),所以θ=,,,.
拓展探究
14.若复数z满足|z++i|≤1,求:
(1)|z|的最大值和最小值;
(2)|z-1|2+|z+1|2的最大值和最小值;
(3)|z-|2+|z-2i|2的最大值和最小值.
(1)如下图所示,||==2.
∴|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.
(2)|z-1|2+|z+1|2=2|z|2+2.
∴|z-1|2+|z+1|2的最大值为20,最小值为4.
(3)如右图,在圆面上任取一点P,与复数z1=,z2=2i的对应点A、B相连,得向量,再以为邻边作平行四边形将问题再次转化为
(1)的类型.
设za=,zb=2i,P为圆面上任一点,zP=z.
则2||2+2||2=||2+(2||)2
=7+4||2,
∴|z-|2+|z-2i|2=(7+4|z--i|2).
而|z--i|max=|O′M|+1=1+,
|z--i|min=|O′M|-1=-1,
∴|z-|2+|z-2i|2的最大值为27+,最小值为27-.
2019-2020年高中数学第3章概率1随机事件的概率教学案北师大版必修3
1.概率
在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时,我们把这个常数叫作随机事件A的概率,记为P(A).
2.频率与概率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,但频率是随机的,而概率是一个确定的值,因此,人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小.在实际问题中,某些随机事件的概率往往难以确切得到,常常通过做大量的重复试验,用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值.
3.随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但是随机性中含有规律性.认识了这种随机性中的规律性,就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性.概率只是度量事件发生的可能性的大小,不能确定是否发生.
4.任何事件的概率是区间[0,1]上的一个确定数,它度量该事件发生的可能性大小.小概率(接近于0)事件不是不发生,而是很少发生,大概率(接近于1)事件不是一定发生,而是经常发生.
[问题思考]
1.把一枚质地均匀的硬币连续掷1000次,其中有498次正面朝上,502次反面朝上,那么说此次试验正面朝上的频率为0.498,掷一次硬币正面朝上的概率为0.5,这样理解正确吗?
提示:
正确.由题意,正面朝上的频率为
=0.498,通过做大量的试验可以发现,正面朝上的频率都在0.5附近摆动,故掷一次硬币,正面朝上的概率是0.5.即0.498是1000次试验中正面朝上的频率;
而概率是一个确定的常数,是客观存在的,与每次试验无关.
2.如果某种病治愈的概率是0.3,那么10个人中,前7个人没有治愈,后3个人一定能够治愈吗?
如何理解治愈的概率是0.3?
如果把治疗一个病人作为一次试验,对于一次试验来说,其结果是随机的,因此前7个人没有治愈是可能的,对后3个人来说,其结果仍然是随机的,有可能治愈,也可能没有治愈.
“治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加,即治疗人数的增加,大约有30%的人能够治愈,如果患病的有1000人,那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提,就可以认为这1000个人中大约有300人能治愈.
讲一讲
1.下面的表中列出10次抛掷硬币的试验结果.n为抛掷硬币的次数,m为硬币正面向上的次数.计算每次试验中“正面向上”这一事件的频率,并考查它的概率.
实验序号
抛掷的次数n
正面向上的次数m
“正面向上”出现的频率
1
500
251
2
249
3
256
4
253
5
6
246
7
244
8
258
9
262
10
247
[尝试解答] 利用频率的定义,可分别得出这10次试验中“正面向上”这一事件出现的频率依次为:
0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516,0.524,0.494,这些数字在0.5附近左右摆动,由概率的统计定义可得,“正面向上”的概率为0.5.
频数、频率和概率三者之间的关系:
(1)频数是指在n次重复试验中事件A出现的次数,频率是频数与试验总次数的比值,而概率是随机事件发生的可能性的规律体现;
(2)随机事件的频率在每次试验中都可能会有不同的结果,但它具有一定的稳定性;
概率是频率的稳定值,不会随试验次数的变化而变化.
练一练
1.某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下:
投篮次数n
12
16
进球次数m
进球频率
(1)计算表中进球的频率;
(2)这位运动员投篮一次进球的概率是多少?
(1)进球的频率依次是:
0.75,0.80,0.75,0.78,0.70,0.75.
(2)这位运动员投篮一次进球的概率P≈0.76.
2.掷一颗均匀的正方体骰子得到6点的概率是
,是否意味着把它掷6次能得到1次6点?
[尝试解答] 把一颗均匀的骰子掷6次相当于做6次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做6次试验的结果也是随机的.这就是说,每掷一次总是随机地出现一个点数,可以是1点,2点,也可以是其他点数,不一定出现6点.所以掷一颗骰子得到6点的概率是
,并不意味着把它掷6次能得到1次6点.
随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率恰是其规律在数量上的反映,概率是客观存在的,它与试验次数没有关系.
练一练
2.掷一枚硬币,连续出现5次正面向上,有人认为下次出现反面向上的概率大于
,这种理解正确吗?
不正确.掷一次硬币,作为一次试验,其结果是随机的,但通过做大量的试验,呈现一定的规律性,即“正面朝上”、“反面朝上”的可能性都为
.连续5次正面向上这种结果是可能的,对下一次试验来说,仍然是随机的,其出现正面和反面的可能性还是
,不会大于
3.为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法:
先从该保护区中捕出一定数量的天鹅,如200只,给每只天鹅作上记号且不影响其存活,然后放回保护区.经过适当的时间,让它们和保护区中其余的天鹅充分混合,再从保护区中捕出一定数量的天鹅,如150只.查看其中有记号的天鹅,设有20只.试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量.
[尝试解答] 设保护区中天鹅的数量为n,假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的,从保护区中任捕一只,设事件A={捕到带有记号的天鹅},则P(A)=
第二次从保护区中捕出150只天鹅,其中有20只带有记号,由概率的定义可知P(A)≈
所以,
≈
,解得n≈1500,
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1500.
利用频率近似等于概率的关系求未知量:
(1)抽出m个样本进行标记,设总体容量为n,则标记概率为
;
(2)随机抽取n1个个体,发现其中m1个被标记,则标记频率为
(3)用频率近似等于概率建立关系式
(4)求出n≈
,注意这个n值仅是真实值的近似.
3.为了估计水库中的鱼的条数,可以使用以下的方法:
先从水库中捕出一定数量的鱼,如2000条,给每条鱼作上记号且不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让它们和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,如500条,查看其中有记号的鱼,设有40条.试根据上述数据,估计水库中鱼的条数.
设水库中鱼的条数为n,从水库中任捕一条,捕到标记鱼的概率为
.第二次从水库中捕出500条,带有记号的鱼有40条,则捕到带记号的鱼的频率(代替概率)为
,由
,得n≈25000,所以水库中约有鱼25000条.
【解题高手】【易错题】
一家保险公司连续多年对某城市出租车事故做了调查,发现出租车发生事故的频率总是在0.001左右.如果这个调查继续做下去,10年后发生事故的频率就会等于0.001(假定出租车发生事故都不会随着时间的改变而改变).你觉得这种看法对吗?
说出你的理由.
[错解] 这种看法是正确的,10年后发生事故的频率等于0.001.
[错因] 频率会在某个常数附近摆动,随着试验次数的增加,摆动会越来越小,但不一定等于该常数.
[正解] 这种看法是错误的.随着试验次数的增加,频率会稳定于一个常数附近,这个常数就是概率,但稳定于不一定是等于,况且0.001未必是出租车发生事故的概率.
1.下列事件:
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形;
②经过有信号灯的路口,遇上红灯;
③从10个玻璃杯(其中8个正品,2个次品)中,任取3个,3个都是次品;
④下周六是晴天.
其中,是随机事件的是( )
A.①② B.②③C.③④D.②④
选D①为必然事件;
对于③,次品总数为2,故取到的3个不可能都是次品,所以③是不可能事件;
②④为随机事件.
2.在某市的天气预报中有“降水概率预报”,例如预报“明天降水概率为90%”,这是指( )
A.明天该地区约有90%的地方会降水,其余地方不降水
B.明天该地区约有90%的时间会降水,其余时间不降水
C.在气象台的专家中,有90%认为明天会降水,其余专家认为不降水
D.明天该地区降水的可能性为90%
选D明天降水的概率为90%指的是明天该地区降水的可能性为90%.
3.在5张不同的彩票中有2张奖票,5个人依次从中各抽取1张,则每个人抽到奖票的概率( )
A.递减B.递增C.相等D.不确定
选C因为每个人获得奖票的概率均为
,即抽到奖票的概率与抽取顺序无关.
4.下列事件:
①明天进行的某场足球赛的比分是3∶1;
②下周一某地的最高气温与最低气温相差10℃;
③同时掷两枚大小相同的骰子,向上一面的两个点数之和不小于2;
④射击一次,命中靶心;
⑤当x为实数时,x2+4x+4<0.其中必然事件有________,不可能事件有________,随机事件有________.(填序号)
③ ⑤ ①②④
5.某工厂为了节约用电,规定每天的用电量指标为1000度,按照上个月的用电记录,在30天中有12天的用电量超过指标,若第二个月仍没有具体的节电措施,则该月的第一天用电量超过指标的概率是________.
由频率定义可知用电量超过指标的频率为
=0.4,频率约为概率.
0.4
6.某质检员从一批种子中抽取若干组种子,在同一条件下进行发芽试验,有关数据如下(单位:
粒):
种子粒数
25
70
130
700
2000
3000
发芽粒数
24
60
116
639
1806
2713
发芽率
(1)计算各组种子的发芽率,填入上表;
(精确到0.01)
(2)根据频率的稳定性估计种子的发芽率.
(1)种子发芽率从左到右依次为0.96,0.86,0.89,0.91,0.90,0.90.
(2)由
(1)知,发芽率逐渐稳定在0.90,因此可以估计种子的发芽率为0.90.
一、选择题
1.“某彩票的中奖概率为
”意味着( )
A.买100张彩票就一定能中奖
B.买100张彩票能中一次奖
C.买100张彩票一次奖也不中
D.购买彩票中奖的可能性为
2.抛掷一枚骰子两次,用随机模拟方法估计上面的点数和为7的概率,共进行了两次试验,第一次产生了60组随机数,第二次产生了200组随机数,那么这两次估计的结果相比较( )
A.第一次准确B.第二次准确C.两次的准确率相同D.无法比较
选B用随机模拟方法估计概率时,产生的随机数越多,估计的结果越准确.
3.下列结论正确的是( )
A.事件A发生的概率P(A)满足0<P(A)<1
B.事件A发生的概率P(A)=0.999,则事件A是必然事件
C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗,结果有380人有明显的疗效,现有胃溃疡的病人服用此药,则估计有明显疗效的可能性为76%
D.某奖券的中奖率为50%,则某人购买此奖券10张,一定有5张中奖
选CA不正确,因为0≤P(A)≤1;
B不正确,若事件A是必然事件,则P(A)=1;
D不正确,某奖券的中奖率为50%,10张奖券可能会有5张中奖,但不一定会发生.
4.给出下列三个命题,其中正确命题的个数为( )
①设有一批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;
②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面朝上,则硬币出现正面朝上的概率是
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
A.0 B.1 C.2 D.3
选A①②③均不正确.
5.在给病人动手术之前,外科医生会告知病人或家属一些情况,其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%,下列解释正确的是( )
A.100个手术有99个手术成功,有1个手术失败
B.这个手术一定成功
C.99%的医生能做这个手术,另外1%的医生不能做这个手术
D.这个手术成功的可能性是99%
选D成功率大约是99%,说明手术成功的可能性是99%.
二、填空题
6.一个口袋装有除颜色外其他均相同的白球、红球共100个,若摸出一个球为白球的概率为
,则估计这100个球内,有白球________个.
100×
=75.
75
7.在200件产品中,有192件一级品,8件二级品,则下列事件:
①在这200件产品中任意选出9件,全部是一级品;
②在这200件产品中任意选出9件,全部是二级品;
③在这200件产品中任意选出9件,不全是二级品;
④在这200件产品中任意选出9件,其中不是一级品的件数小于10;
其中________是必然事件;
________是不可能事件;
________是随机事件.
200件产品中,8件是二级品,现从中任意选出9件,当然不可能全是二级品,不是一级品的件数最多为8,小于10.
③④ ② ①
8.下列说法:
①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是
②甲乙两人做游戏:
抛一枚骰子,向上的点数是奇数,甲胜,向上的点数是偶数,乙胜,这种游戏是公平的;
③乒乓球比赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;
④昨天没有下雨,则说明昨天气象局的天气预报“降水概率为90%”是错误的.
其中正确的有________(填序号).
对于②,甲胜、乙胜的概率都是
,是公平的;
对于④,降水概率为90%只说明下雨的可能性很大,但也可能不下雨,故④错误.
①②③
三、解答题
9.高一
(2)班有50名同学,其中男、女各25人,今有这个班的一个学生在街上碰到一位同班同学,试问:
碰到异性同学的概率大还是碰到同性同学的概率大?
有人说可能性一样大,这种说法对吗?
这种说法不正确.这个同学在街上碰到的同班同学是除了自己以外的49个人中的一个,其中碰到同性同学有24种可能,碰到异性同学有25种可能,每碰到一个同学相当于做了一次试验,因为每次试验的结果是随机的,所以碰到异性同学的可能性大,碰到同性同学的可能性小.
10.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:
小时)进行了统计,统计结果如下表所示:
分组
[500,900)
[900,1100)
[1100,1300)
[1300,1500)
[1500,1700)
[1700,1900)
[1900,+∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
(1)将各组的频率填入表中;
(2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1500小时的概率.
(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中寿命不足1500小时的频数是
48+121+208+223=600,
所以样本中寿命不足1500小时的频率是
=0.6,即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.