用函数观点看一元二次方程Word下载.docx
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解得，x1=-3，x2=1．
可见，抛物线与x轴的另一个交点是（-3，0）；
由图可知，当x＜-1时，y随x的增大而增大．
可见，C答案错误．
故选C．
由于y=-x2+bx+c的图象与x轴、y轴的交点分别为A（1，0），B（0，3），将交点代入解析式求出函数表达式，即可作出正确判断．
3.如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（ ）
A．（-3，0）B．（-2，0）C．x=-3D．x=-2
A
设抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0），
∵抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，
∴
，解得b=-3，∴B（-3，0）．故选A．
设抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0），再根据AB两点关于对称轴对称即可得出．
4.如图，一次函数y1=kx+n（k≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（-1，5）、B（9，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（ ）
A．-1≤x≤9B．-1≤x＜9C．-1＜x≤9D．x≤-1或x≥9
二次函数与不等式（组）
由图形可以看出：
抛物线y2=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y1=kx+n（k≠0）的交点的横坐标分别为-1，9，
当y1≥y2时，x的取值范围正好在两交点之内，即-1≤x≤9．故选A．
先观察图象确定抛物线y2=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y1=kx+n（k≠0）的交点的横坐标，即可求出y1≥y2时，x的取值范围．
5.已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
∵抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，∴△=4-4a＜0，解得：
a＞1，
∴抛物线的开口向上，又∵b=-2，∴
>
0，
∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴抛物线的顶点在第一象限；
故选D．
根据抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，得出△=4-4a＜0，a＞1，再根据b=-2，得出抛物线的对称轴在y轴的右侧，即可求出答案．
6.若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3；
②m＞
；
③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
一元二次方程（x-2）（x-3）=m化为一般形式得：
x2-5x+6-m=0，
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴b2-4ac=（-5）2-4（6-m）=4m+1＞0，解得：
m＞
，故选项②正确；
∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=5，x1x2=6-m，而选项①中x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误；
二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m=x2-（x1+x2）x+x1x2+m=x2-5x+（6-m）+m=x2-5x+6=（x-2）（x-3），令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，解得：
x=2或3，∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确．综上所述，正确的结论有2个：
②③．故选C．
将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；
再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；
将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．
7.二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（ ）
A．-3B．3C．-6D．9
B
抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系
（法1）∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3，
∴a＞0，
，即b2=12a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
∴△=b2-4am≥0，即12a-4am≥0，即12-4m≥0，解得m≤3，
∴m的最大值为3．
（法2）一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
可以理解为y=ax2+bx和y=-m有交点，
可见，-m≥-3，∴m≤3，∴m的最大值为3．故选B．
先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为-3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
8.已知函数y=（x-a）（x-b）（其中a＞b）的图象如下面图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
抛物线与x轴的交点，一次函数的性质
根据图象可得a，b异号，∵a＞b，∴a＞0，b＜0，∴函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，故选D．
根据图象可得出方程（x-a）（x-b）=0的两个实数根为a，b，且一正一负，负数的绝对值大，又a＞b，则a＞0，b＜0．根据一次函数y=ax+b的图象的性质即可得出答案．
9.有一个二次函数y=x2+ax+b，其中a、b为整数．已知此函数在坐标平面上的图形与x轴交于两点，且两交点的距离为4．若此图形的对称轴为x=-5，则此图形通过下列哪一点？
（ ）
A．（-6，-1）B．（-6，-2）C．（-6，-3）D．（-6，-4）
∵二次函数图形的对称轴为x=-5，图形与x轴的两个交点距离为4，
∴此两点的坐标为（-7，0）和（-3，0）
设二次函数的解析式为：
y=（x+7）（x+3），将x=-6代入，得y=（-6+7）（-6+3）=-3
∴点（-6，-3）在二次函数的图象上．故选C．
根据二次函数图形的对称轴为x=-5，图形与x轴的两个交点距离为4可知两点的坐标为（-7，0）和（-3，0），设出此函数的解析式，把x=-6代入进行计算即可．
10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．c＜0
D．3是方程ax2+bx+c=0的一个根
抛物线与x轴的交点；
二次函数图象与系数的关系
解答∵抛物线开口向下，∴a＜0，故A选项错误；
∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，故C选项错误；
∵对称轴x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小；
故B选项错误；
∵对称轴x=1，∴另一个根为1+2=3，故D选项正确．
根据图象可得出a＜0，c＞0，对称轴x=1，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
根据抛物线的对称性另一个交点到x=1的距离与-1到x=1的距离相等，得出另一个根．
11.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的交点为（m，0），则代数式m2-m+2011的值为（ ）
A．2009B．2012C．2011D．2010
抛物线与x轴的交点,代数式求值.
∵物线y=x2-x-1与x轴的交点为（m，0），∴将x=m，y=0代入抛物线解析式得：
m2-m-1=0，∴m2-m=1，则m2-m+2011=1+2011=2012．故选B.
由抛物线y=x2-x-1与x轴的交点为（m，0），将此点代入抛物线解析式，整理后求出m2-m的值，代入所求式子即可求出值．
12.对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y=x2-mx+m-2（m为实数）的零点的个数是（ ）
A．1B．2C．0D．不能确定
由题意可知：
函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点.
△=（-m）2-4×
1×
（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4
∵（m-2）2一定为非负数
∴（m-2）2+4＞0
∴二次函数y=x2-mx+m-2（m为实数）的零点的个数是2．
故选B．
函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点，判断二次函数y=x2-mx+m-2的零点的个数，也就是判断二次函数y=x2-mx+m-2与x轴交点的个数；
根据△与0的关系即可作出判断．
13.如图，将二次函数y=31x2-999x+892的图形画在坐标平面上，判断方程31x2-999x+892=0的两根，下列叙述何者正确（ ）
A．两根相异，且均为正根
B．两根相异，且只有一个正根
C．两根相同，且为正根
D．两根相同，且为负根
∵二次函数y=31x2-999x+892的图象与x轴有两个交点，且与x轴的正半轴相交，∴方程31x2-999x+892=0有两个正实根．故选A．
由二次函数y=31x2-999x+892的图象得，方程31x2-999x+892=0有两个实根，两根都是正数，从而得出答案．
14.已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1
x2=3，那么二次函数ax2+bx+c（a＞0）的图象有可能是（ ）
B．
D．
抛物线与x轴的交点.二次函数的图象
∵已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1x2=3，∴x1，x2是一元二次方程x2-4x+3=0的两个根，
∴（x-1）（x-3）=0，解得：
x1=1，x2=3
∴二次函数ax2+bx+c（a＞0）与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）.故选C．
根据二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根，利用两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1x2=3，求得两个实数根，作出判断即可．
15.已知二次函数y=-x2+x-
，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取m-1、m+1时对应的函数值为y1、y2，则y1、y2必须满足（ ）
A．y1＞0、y2＞0B．y1＜0、y2＜0C．y1＜0、y2＞0D．y1＞0、y2＜0
抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征
令y=-x2+x-
=0，解得：
x=
，
∵当自变量x取m时对应的值大于0，
，∵点（m+1，0）与（m-1，0）之间的距离为2，大于二次函数与x轴两交点之间的距离，
∴m-1的最大值在左边交点之左，m+1的最小值在右边交点之右．
∴点（m+1，0）与（m-1，0）均在交点之外，∴y1＜0、y2＜0．故选B．
根据函数的解析式求得函数与x轴的交点坐标，利用自变量x取m时对应的值大于0，确定m-1、m+1的位置，进而确定函数值为y1、y2．
二、填空题
16.二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是____
-1＜x＜3，
二次函数的性质；
解答∵二次函数y=x2-2x-3的图象如上图所示．
∴图象与x轴交在（-1，0），（3，0），
∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：
根据二次函数的性质得出，y＜0，即是图象在x轴下方部分，进而得出x的取值范围．
17.二次函数y=x2-6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2-6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2=____．
5
二次函数的性质，抛物线与x轴的交点.
由图可知，对称轴为x=
=
=3
根据二次函数的图象的对称性，
=3
解得x2=5．故答案为：
5．
根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，直接求出x2的值．
18.如图，是二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：
①a+b+c=0；
②b＞2a；
③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；
④a-2b+c＞0．其中正确的命题是．（只要求填写正确命题的序号）
①③.
二次函数图象上点的坐标特征；
由图象可知：
过（1，0），代入得：
a+b+c=0，∴①正确；
=-1，∴b=2a，∴②错误；
根据图象关于对称轴x=-1对称，与X轴的交点是（-3，0），（1，0），∴③正确；
∵b=2a＞0，∴-b＜0，∵a+b+c=0，∴c=-a-b，∴a-2b+c=a-2b-a-b=-3b＜0，∴④错误．故答案为：
①③．
由图象可知过（1，0），代入得到a+b+c=0；
根据
=-1，推出b=2a；
根据图象关于对称轴对称，得出与x轴的交点是（-3，0），（1，0）；
由a-2b+c=a-2b-a-b=-3b＜0，根据结论判断即可．
19.抛物线：
y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是____．
（1，0）.
抛物线与x轴的交点，二次函数的性质.
由图可知点（-3，0）在抛物线上，把（-3，0）代入y=ax2+2ax+a2+2中，
得9a-6a+a2+2=0，解得a=-1或a=-2；
当a=-1时，y=-x2-2x+3=-（x+3）（x-1），
设y=0，则x1=-3，x2=1，
∴在y轴右侧与x轴交点的坐标是（1，0）；
当a=-2时，y=-2x2-4x+6=-2（x+3）（x-1），
∴在y轴右侧与x轴交点的坐标是（1，0）．
∴抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（1，0）．
先把点（-3，0）代入y=ax2+2ax+a2+2中求出a的值，得到完整的解析式后，再利用ax2+2ax+a2+2=0解出x的值，即求出对应的x值，可得到右侧交点坐标．
20.对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；
④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．
其中正确的说法是____．（把你认为正确说法的序号都填上）
①④.
①∵△=4m2-4×
（-3）=4m2+12＞0，∴它的图象与x轴有两个公共点，故本选项正确；
②∵当x≤1时y随x的增大而减小，∴函数的对称轴x=
≥1在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），则
≥1，即m≥1，故本选项错误；
③将m=-1代入解析式，得y=x2+2x-3，当y=0时，得x2+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，解得，x1=1，x2=-3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；
④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，∴对称轴为x=
=1006，则
=1006，m=1006，原函数可化为y=x2-2012x-3，当x=2012时，y=20122-2012×
2012-3=-3，故本选项正确．故答案为①④．
①根据函数与方程的关系解答；
②找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；
③将m=-1代入解析式，求出和x轴的交点坐标，即可判断；
④根据坐标的对称性，求出m的值，得到函数解析式，将m=2012代入解析式即可．
三、解答题
21.
（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2-4q≥0）的两根为x1、x2；
求证：
x1+x2=-p，x1
x2=q．
证明：
（1）∵a=1，b=p，c=q∴△=p2-4q∴x=
即x1=
，x2=
∴x1+x2=
+
=-p，
x1x2=
=q
（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（-1，-1），设线段AB的长为
d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．
把（-1，-1）代入得p-q=2，q=p-2
设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）
∵d=|x1-x2|，∴d2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=p2-4q=p2-4p+8=（p-2）2+4
当p=2时，d2的最小值是4．
抛物线与x轴的交点，根与系数的关系
（2）把（-1，-1）代入得p-q=2，q=p-2
当p=2时，d2的最小值是4．
（1）先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可；
（2）把点（-1，-1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1-x2|可知d2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4
x1x2=p2，再由
（1）中
x1+x2=-p，x1x2=q即可得出结论．
22.已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（-3m，0）（m≠0）．
（1）证明4c=3b2；
依题意，m，-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=m+（-3m）=-b，x1x2=m（-3m）=-c，∴b=2m，c=3m2，∴4c=3b2=12m2；
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值．
解：
依题意，
=1，即b=-2，由
（1）得c=
×
（-2）2=3，
∴y=x2-2x+3=（x-1）2+2，∴二次函数的最小值为2．
抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，待定系数法求二次函数解析式.
（1）证明：
（2）解：
∴y=x2-2x+3=（x-1）2+2，∴二次函数的最小值为2．
（1）由根与系数关系得出等式，消去m，得出b、c的关系式；
（2）根据对称轴公式可求系数b，代入
（1）的结论可求c，可确定二次函数解析式，再求函数的最小值．
23.已知二次函数y=x2+2x+m的图像C1与x轴有且只有一个公共点．
（1）求C1的顶点坐标；
C1的顶点坐标为（-1，0）
（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（-3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；
C2的函数关系式为y=（x+1）2-4，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）
（3）若P（n，y1），Q（2，y2）是C1上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围．
n＞2或n＜-4．
（1）y=x2+2x+m=（x+1）2+m-1，对称轴为直线x=-1，
∵与x轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0，∴C1的顶点坐标为（-1，0）；
（2）设C2的函数关系式为y=（x+1）2+k，
把A（-3，0）代入上式得（-3+1）2+k=0，得k=-4，
∴C2的函数关系式为y=（x+1）2-4．
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0），
由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）；
（3）当x≥-1时，y随x的增大而增大，
当n≥-1时，∵y1＞y2，∴n＞2．
当n＜-1时，P（n，y1）的对称点坐标为（-2-n，y1），且-2-n＞-1，
∵y1＞y2，∴-2-n＞2，∴n＜-4．
综上所述：
n＞2或n＜-4．
（1）由于二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点，那么顶点的纵坐标为0，由此可以确定m．
（2）首先设所求抛物线解析式为y=（x+1）2+k，然后把A（-3，0）代入即可求出k，也就求出了抛物线的解析式；
（3）由于图象C1的对称轴为直线x=-1，所以知道当x≥-1时，y随x的增大而增大，然后讨论n≥-1和n≤-1两种情况，利用前面的结论即可得到实数n的取值范围．
24.已知：
抛物线y=
（x-1）2-3．
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；
抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1
（2）函数y有最大值还是最小值？
并求出这个最大（小）值；
函数y有最小值，最小值为-3
（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．
直线PQ的解析式为y=-
x-
或y=
抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的最值.
（1）抛物线y=
（x-1）2-3，∵a=
＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1；
（2）∵a=
＞0，∴函数y有最小值，最小值为-3；
（3）令x=0，则y=
（0-1）2-
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