用函数观点看一元二次方程Word下载.docx

1、解得，x1=-3，x2=1可见，抛物线与x轴的另一个交点是（-3，0）；由图可知，当x-1时，y随x的增大而增大可见，C答案错误故选C由于y=-x2+bx+c的图象与x轴、y轴的交点分别为A（1，0），B（0，3），将交点代入解析式求出函数表达式，即可作出正确判断3.如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（）A（-3，0） B（-2，0） Cx=-3 Dx=-2A设抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0），抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，解得b=-3，B（-3，0）故选A设抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0），再根

2、据AB两点关于对称轴对称即可得出4.如图，一次函数y1=kx+n（k0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a0）的图象相交于A（-1，5）、B（9，2）两点，则关于x的不等式kx+nax2+bx+c的解集为（）A-1x9 B-1x9 C-1x9 Dx-1或x9二次函数与不等式（组）由图形可以看出：抛物线y2=ax2+bx+c（a0）和一次函数y1=kx+n（k0）的交点的横坐标分别为-1，9，当y1y2时，x的取值范围正好在两交点之内，即-1x9故选A先观察图象确定抛物线y2=ax2+bx+c（a0）和一次函数y1=kx+n（k0）的交点的横坐标，即可求出y1y2时，x的取值范围5.已知抛物线

3、y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，=4-4a0，解得：a1，抛物线的开口向上，又b=-2，0，抛物线的对称轴在y轴的右侧，抛物线的顶点在第一象限；故选D根据抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，得出=4-4a0，a1，再根据b=-2，得出抛物线的对称轴在y轴的右侧，即可求出答案6.若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1x2，有下列结论：x1=2，x2=3；m；二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和

4、（3，0）其中，正确结论的个数是（）A0 B1 C2 D3一元二次方程（x-2）（x-3）=m化为一般形式得：x2-5x+6-m=0，方程有两个不相等的实数根x1、x2，b2-4ac=（-5）2-4（6-m）=4m+10，解得：m，故选项正确；一元二次方程实数根分别为x1、x2，x1+x2=5，x1x2=6-m，而选项中x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故选项错误；二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m=x2-（x1+x2）x+x1x2+m=x2-5x+（6-m）+m=x2-5x+6=（x-2）（x-3），令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，解得：x=2或3，抛物线与x轴的交点

5、为（2，0）或（3，0），故选项正确综上所述，正确的结论有2个：故选C将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项错误；将选项中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项进行判断7.二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最

6、大值为（）A-3 B3 C-6 D9B抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系（法1）抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3，a0， ，即b2=12a，一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，=b2-4am0，即12a-4am0，即12-4m0，解得m3，m的最大值为3（法2）一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，可以理解为y=ax2+bx和y=-m有交点，可见，-m-3，m3，m的最大值为3故选B先根据抛物线的开口向上可知a0，由顶点纵坐标为-3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可8.已知函数y=（x-a）（x-b）（

7、其中ab）的图象如下面图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是（）A BC D抛物线与x轴的交点，一次函数的性质根据图象可得a，b异号，ab，a0，b0，函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，故选D根据图象可得出方程（x-a）（x-b）=0的两个实数根为a，b，且一正一负，负数的绝对值大，又ab，则a0，b0根据一次函数y=ax+b的图象的性质即可得出答案9.有一个二次函数y=x2+ax+b，其中a、b为整数已知此函数在坐标平面上的图形与x轴交于两点，且两交点的距离为4若此图形的对称轴为x=-5，则此图形通过下列哪一点？（）A（-6，-1）B（-6，-2）C（-6，-3） D（-6，

8、-4）二次函数图形的对称轴为x=-5，图形与x轴的两个交点距离为4，此两点的坐标为（-7，0）和（-3，0）设二次函数的解析式为：y=（x+7）（x+3），将x=-6代入，得y=（-6+7）（-6+3）=-3点（-6，-3）在二次函数的图象上故选C根据二次函数图形的对称轴为x=-5，图形与x轴的两个交点距离为4可知两点的坐标为（-7，0）和（-3，0），设出此函数的解析式，把x=-6代入进行计算即可10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）Aa0B当x1时，y随x的增大而增大Cc0D3是方程ax2+bx+c=0的一个根抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系

9、数的关系解答抛物线开口向下，a0，故A选项错误；抛物线与y轴的正半轴相交，c0，故C选项错误；对称轴x=1，当x1时，y随x的增大而减小；故B选项错误；对称轴x=1，另一个根为1+2=3，故D选项正确根据图象可得出a0，c0，对称轴x=1，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；根据抛物线的对称性另一个交点到x=1的距离与-1到x=1的距离相等，得出另一个根11.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的交点为（m，0），则代数式m2-m+2011的值为（）A2009 B2012 C2011 D2010抛物线与x轴的交点,代数式求值.物线y=x2-x-1与x轴的交点为（m，0），将x=m，y=0代入抛物线

10、解析式得：m2-m-1=0，m2-m=1，则m2-m+2011=1+2011=2012故选B.由抛物线y=x2-x-1与x轴的交点为（m，0），将此点代入抛物线解析式，整理后求出m2-m的值，代入所求式子即可求出值12.对于二次函数y=ax2+bx+c（a0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y=x2-mx+m-2（m为实数）的零点的个数是（）A1 B2 C0 D不能确定由题意可知：函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点.=（-m）2-41（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4（m-2）2一定为非负数（m-2）2+40二次函数y=x2-mx+m

11、-2（m为实数）的零点的个数是2故选B函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点，判断二次函数y=x2-mx+m-2的零点的个数，也就是判断二次函数y=x2-mx+m-2与x轴交点的个数；根据与0的关系即可作出判断13.如图，将二次函数y=31x2-999x+892的图形画在坐标平面上，判断方程31x2-999x+892=0的两根，下列叙述何者正确（）A两根相异，且均为正根B两根相异，且只有一个正根C两根相同，且为正根D两根相同，且为负根二次函数y=31x2-999x+892的图象与x轴有两个交点，且与x轴的正半轴相交，方程31x2-999x+892=0有两个正实根故选A由二次函

12、数y=31x2-999x+892的图象得，方程31x2-999x+892=0有两个实根，两根都是正数，从而得出答案14.已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1x2=3，那么二次函数ax2+bx+c（a0）的图象有可能是（）B D抛物线与x轴的交点.二次函数的图象已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1x2=3，x1，x2是一元二次方程x2-4x+3=0的两个根，（x-1）（x-3）=0，解得：x1=1，x2=3二次函数ax2+bx+c（a0）与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）.故选C根据

13、二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个实数根，利用两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1x2=3，求得两个实数根，作出判断即可15.已知二次函数y=-x2+x-，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取m-1、m+1时对应的函数值为y1、y2，则y1、y2必须满足（）Ay10、y20By10、y20Cy10、y20 Dy10、y20抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征令y=-x2+x-=0， 解得：x=， 当自变量x取m时对应的值大于0，点（m+1，0）与（m-1，0）之间的距离为2，大于二

14、次函数与x轴两交点之间的距离，m-1的最大值在左边交点之左，m+1的最小值在右边交点之右点（m+1，0）与（m-1，0）均在交点之外，y10、y20故选B根据函数的解析式求得函数与x轴的交点坐标，利用自变量x取m时对应的值大于0，确定m-1、m+1的位置，进而确定函数值为y1、y2二、填空题16.二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示当y0时，自变量x的取值范围是_-1x3，二次函数的性质；解答二次函数y=x2-2x-3的图象如上图所示图象与x轴交在（-1，0），（3，0），当y0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：根据二次函数的性质得出，y0，即是图象在x轴下方部分，进而得出x

15、的取值范围17.二次函数y=x2-6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2-6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2=_5二次函数的性质，抛物线与x轴的交点.由图可知，对称轴为x=3根据二次函数的图象的对称性， =3解得x2=5故答案为：5根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，直接求出x2的值18.如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象的一部分，给出下列命题：a+b+c=0；b2a；ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；a-2b+c0其中正确的命题是 （只要求填写正确命题的序号）.二次函数图象上点的坐标特征；由图象可知：过（1，0），代入得：a+b+

16、c=0，正确； =-1，b=2a，错误；根据图象关于对称轴x=-1对称，与X轴的交点是（-3，0），（1，0），正确；b=2a0，-b0，a+b+c=0，c=-a-b，a-2b+c=a-2b-a-b=-3b0，错误故答案为：由图象可知过（1，0），代入得到a+b+c=0；根据=-1，推出b=2a；根据图象关于对称轴对称，得出与x轴的交点是（-3，0），（1，0）；由a-2b+c=a-2b-a-b=-3b0，根据结论判断即可19.抛物线：y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是_（1，0）.抛物线与x轴的交点，二次函数的性质.由图可知点（-3，0）在

17、抛物线上，把（-3，0）代入y=ax2+2ax+a2+2中，得9a-6a+a2+2=0，解得a=-1或a=-2；当a=-1时，y=-x2-2x+3=-（x+3）（x-1），设y=0，则x1=-3，x2=1，在y轴右侧与x轴交点的坐标是（1，0）；当a=-2时，y=-2x2-4x+6=-2（x+3）（x-1），在y轴右侧与x轴交点的坐标是（1，0）抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（1，0）先把点（-3，0）代入y=ax2+2ax+a2+2中求出a的值，得到完整的解析式后，再利用ax2+2ax+a2+2=0解出x的值，即求出对应的x值，可得到右侧交点坐标20.对于二次函数y=x2-2mx-3，有

18、下列说法：它的图象与x轴有两个公共点；如果当x1时y随x的增大而减小，则m=1；如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3其中正确的说法是_（把你认为正确说法的序号都填上）.=4m2-4（-3）=4m2+120，它的图象与x轴有两个公共点，故本选项正确；当x1时y随x的增大而减小，函数的对称轴x=1在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），则1，即m1，故本选项错误；将m=-1代入解析式，得y=x2+2x-3，当y=0时，得x2+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，解得，x1=1，x2=-3，

19、将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，对称轴为x=1006，则=1006，m=1006，原函数可化为y=x2-2012x-3，当x=2012时，y=20122-20122012-3=-3，故本选项正确故答案为根据函数与方程的关系解答；找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；将m=-1代入解析式，求出和x轴的交点坐标，即可判断；根据坐标的对称性，求出m的值，得到函数解析式，将m=2012代入解析式即可三、解答题21.（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2-4q0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=-p，x1x2=q证明：（1

20、）a=1，b=p，c=q =p2-4q x=即x1=，x2= x1+x2=+=-p，x1x2=q（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（-1，-1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值把（-1，-1）代入得p-q=2，q=p-2设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）d=|x1-x2|，d2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=p2-4q=p2-4p+8=（p-2）2+4当p=2时，d2的最小值是4抛物线与x轴的交点，根与系数的关系（2）把（-1，-1）代入得p-q=2，q=p-2当p=2时

21、，d2的最小值是4（1）先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可；（2）把点（-1，-1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1-x2|可知d2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=p2，再由（1）中x1+x2=-p，x1x2=q即可得出结论22.已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（-3m，0）（m0）（1）证明4c=3b2；依题意，m，-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=m+（-3m）=-b，x1x2=m（-3m）=-c， b=2m，c=3m2， 4c=3b2=12m2；（2

22、）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值解：依题意， =1，即b=-2，由（1）得c=（-2）2=3，y=x2-2x+3=（x-1）2+2，二次函数的最小值为2抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，待定系数法求二次函数解析式.（1）证明：（2）解：y=x2-2x+3=（x-1）2+2，二次函数的最小值为2 （1）由根与系数关系得出等式，消去m，得出b、c的关系式；（2）根据对称轴公式可求系数b，代入（1）的结论可求c，可确定二次函数解析式，再求函数的最小值23.已知二次函数y=x2+2x+m的图像C1与x轴有且只有一个公共点（1）求C1的顶点坐标； C1的顶点坐标为（-1，0）（

23、2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（-3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标； C2的函数关系式为y=（x+1）2-4，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）（3）若P（n，y1），Q（2，y2）是C1上的两点，且y1y2，求实数n的取值范围 n2或n-4（1）y=x2+2x+m=（x+1）2+m-1，对称轴为直线x=-1，与x轴有且只有一个公共点，顶点的纵坐标为0，C1的顶点坐标为（-1，0）；（2）设C2的函数关系式为y=（x+1）2+k，把A（-3，0）代入上式得（-3+1）2+k=0，得k=-4，C2的函数关系式为y=（x+1

24、）2-4抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0），由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）；（3）当x-1时，y随x的增大而增大，当n-1时，y1y2，n2当n-1时，P（n，y1）的对称点坐标为（-2-n，y1），且-2-n-1，y1y2，-2-n2，n-4综上所述：n2或n-4（1）由于二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点，那么顶点的纵坐标为0，由此可以确定m（2）首先设所求抛物线解析式为y=（x+1）2+k，然后把A（-3，0）代入即可求出k，也就求出了抛物线的解析式；（3）由于图象C1的对称轴为直线x=-1，所以知道当x-1时，y

25、随x的增大而增大，然后讨论n-1和n-1两种情况，利用前面的结论即可得到实数n的取值范围24.已知：抛物线y= （x-1）2-3（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；函数y有最小值，最小值为-3（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式直线PQ的解析式为y=-x-或y=抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的最值.（1）抛物线y= （x-1）2-3，a=0，抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1；（2）a=0，函数y有最小值，最小值为-3；（3）令x=0，则y= （0-1）2-