集合论即其与计算机相关的问题.docx

集合论即其与计算机相关的问题.docx

《集合论即其与计算机相关的问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《集合论即其与计算机相关的问题.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

集合论即其与计算机相关的问题

集合论

1、集合论的历史。

集合论是一门研究数学基础的学科。

集合论是现代数学的基础，是数学不可或缺的基本描述工具。

可以这样讲，现代数学与离散数学的“大厦”是建立在集合论的基础之上的。

21世纪数学中最为深刻的活动，就是关于数学基础的探讨。

这不仅涉及到数学的本性，也涉及到演绎数学的正确性。

数学中若干悖论的发现，引发了数学史上的第三次危机，而这种悖论在集合论中尤为突出。

集合论是德国著名数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的。

十七世纪数学中出现了一门新的分支：

微积分。

在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果。

其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础。

十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。

正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。

1874年，德国数学家康托尔在著名的《克雷尔数学杂志》上发表了关于无穷集合论的第一章革命性文章。

从1874年到1884年，康托尔的一系列关于集合的文章，奠定了集合论的基础。

他对集合所下的定义是：

把若干确定的、有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，，其中各事物称为该集合的元素。

没想到集合论一诞生就遭到了许多数学家的激烈反对，当时的权威数学家克罗内克（Kronecker）非常敌视康托尔的集合论思想，时间达整整十年之久，法国数学大家庞加莱（Poincare）则预测后一代人将把集合论当作一种疾病。

在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃。

然而乌云遮不住太阳，经历二十余年后，集合论最终获得了世界公认。

到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。

数学家们乐观地认为从算术公理系统出发，只要借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。

在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。

我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。

”然而这种自得的情绪并没能持续多久。

英国哲学家罗素（Russell）就很怀疑数学的这种严密性，他经过三年的苦思冥想，于1902年找到了一个能证明自己观点的简单明确的“罗素悖论”。

不久，集合论是有漏洞的消息迅速就传遍了数学界。

罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R。

现在问R是否属于R？

如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R。

这样，不论何种情况都存在着矛盾（为了使罗素悖论更加通俗易懂，罗素本人在1919年将其改写为“理发师悖论”）。

这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地。

号称“天衣无缝”、“绝对严密”的数学陷入了自相矛盾之中。

从此整个数学的基础被动摇了，由此引发了数学史上的第三次数学危机。

危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去。

1908年，德国数学家策梅罗（E.Zermelo）提出公理化集合论，试图把集合论公理化的方法来消除悖论。

他认为悖论的出现是由于康托尔沒有把集合的概念加以限制，康托尔对集合的定义是含混的．策梅罗希望简洁的公理能使集合的定义及其具有的性質更为显然。

策梅罗的公理化集合论后来演变成ZF或ZFS公理系统。

从此原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现。

这就是集合论发展的第二个阶段：

公理化集合论。

与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。

公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。

它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机。

公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：

没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去。

2、集合论在计算科学中的应用。

起初，集合论主要是对分析数学中的“数集”或几何学中的“点集”进行研究。

但是随着科学的发展，集合论的概念已经深入到现代各个方面，成为表达各种严谨科学概念必不可少的数学语言。

随着计算机时代的到来，集合的元素已由传统的“数集”和“点集”拓展成包含文字、符号、图形、图表和声音等多媒体信息，构成了各种数据类型的集合。

集合不仅可以用来表示数及其运算，更可以用来表示和处理非数值信息。

数据的增加、删除、修改、排序以及数据间关系的描述等这些很难用传统的数值计算操作，可以很方便地用集合运算来处理。

从而集合论在编译原理、开关理论、信息检索、形式语言、数据库和知识库、CAD、CAM、CAI及AI等各个领域得到了广泛的应用，而且还得到了发展，如扎德（Zadeh）的模糊集理论和保拉克（Pawlak）的粗糙集理论等等。

集合论的方法已经成为计算科学工作者不可缺少的数学基础知识。

3、公理化方法及其作用。

在计算科学的发展中，公理化方法曾在一些分支学科的发展中得到广泛应用并产生重要的影响。

例如，在形式语义学和程序理论的研究中，公理语义学一直占有重要的地位。

一些软件开发工具也是用到了这种思想。

那么什么是公理化方法呢？

所谓公理化方法，就是从尽可能少的无需定义的原始概念（基本概念）和尽可能少的一组不加证明的原始命题（基本公理、公设）出发，应用严格的逻辑推理规则，用演绎推理来对一门学科进行研究的方法。

公理系统有一定的要求：

无矛盾性、完备性和独立性。

显然，在构建一门完整的科学理论体系时，所建立的公理系统必须无矛盾性，即在该系统中不能推出自相矛盾的结论。

另外，完备性要求所建立的公理系统应尽可能多地推出这门科学中已经客观存在的结论，最好是能推出全部的结论（但哥德尔（Godel）业已证明完备的公理系统是不存在的）。

独立性要求基本公理不多不少，任何一条公理都不能从其他公理中推出来。

对一门科学公理化的目的是在于把该门学科表述为一个演绎系统，并通过对基本概念的选取、公理的设计，以及严格的演绎推理过程的研究，揭示这门学科深刻的内在规律，确保这门学科的表述更加严谨、准确。

公理化方法主要有如下的作用：

（1）分析和总结学科知识的作用；

（2）把学科的基础搞清楚的作用，从而有助于在学科的深层次比较和统一不同的子学科，启发、促进和推动新理论的创立；（3）在科学方法论上有示范作用，它对各门学科新建立具有很好的借鉴作用。

4、关系在关系数据库中的应用。

数据库是计算机管理数据的一种机构。

它由两部分组成：

一部分是存储数据的存储空间，另一部分是管理数据的一组程序，即数据库管理系统，简称DBMS。

用户通过DBMS提供的语言对数据库中的数据进行处理：

数据的检索、数据的插入、数据的修改和数据的删除。

用户使用数据库中数据的速度取决于数据存储的方式。

数据库目前有三种上结构模型：

层次模型、网络模型和关系模型。

关系模型是基于关系理论的模型，而采用关系模型作为结构模型的数据库就叫关系数据库。

在关系数据库中，数据库就是一个n元关系，在计算机中存放在一个二维数组中。

一个二维数组可以有m行和n列，其中每一行的分量组成一个n元组，它是一条记录，代表一个完整的数据，它的分量称为记录的域。

对应的实体可以有m条记录（m个数据）。

用户使用关系数据库就是对一些二维数组进行检索、插入、修改和删除等操作。

为此DBMS必须向用户提供使用数据库的语言，即数据子语言。

这种语言目前是以关系代数或谓词逻辑等方法表示的，即它是以关系代数或谓词逻辑为其数学基础。

由于引入了数学方法，使得关系数据库具有比其他几种数据库更优越，从而关系数据库这几年得到了迅猛的发展，日前已代替其他类型的数据库。

当今流行的各种大型网络数据库如Oracle、Foxpro、Sybasc等都是关系型数据库。

它已经成为数据库中最有实用价值和理论价值的数据库。

5、关系在计算科学中的应用。

关系这一概念对计算科学的理论和应用是非常重要的。

像链表、树等复合的数据结构中的数据都是由元素之间的关系来联系的。

另外由于关系是数学模型的一部分，故它常常在数据结构内隐含地体现出来。

数值应用、信息检索、网络问题等也是关系的应用领域。

在这些领域中关系作为问题描述的一部分出现，因而为了解决问题，关系的运算和处理是重要的。

关系在包括程序结构和算法分析的计算理论方面也有重要的作用，如主程序和子程序的调用关系、高级语言编程中经常用到的函数（对应关系）、程序的输入与输出关系、计算机语言中的字符关系、OOP编程中的类继承关系等等。

6、划分（等价关系）在信息检索中的应用。

在日常生活中或在科学研究中，我们常常需要对一些事物按照某种方式进行分类。

如将全中国人分成两类：

男公民和女公民；将所有参赛的运动员分成不同的重量级别进行举重比赛；将所有的整数按模10同余关系分成10类：

如果两个整数的差是10的倍数，则这两个整数属于同一个类。

抽象地讲，就是需要对某个集合中的元素按照某种方式进行分类（集合的划分）。

集合的划分与等价关系密切相关。

而对信息和数据进行分类正是计算机的重要处理之一。

分类的目的在于研究每一类中对象的共性。

在信息检索系统中，根据一个主码进行检索，可把全体信息分成两个划分块（划分）。

不同的主码对应的分类是不同的。

指定一个主码，在对应的划分的每个划分块里按指定第二个主码进行分类，则可以得到全体信息的新的更细的划分（有4个划分块），这相当于在检索中在两个主码之间使用了逻辑联结词AND，得到的4个划分块中的每个块类分别是两个主码对应的划分中划分块的交。

若在两个主码之间使用了逻辑联结词OR，则得到的4个类中的每个类分别是两个主码对应的划分中划分块的并（这4个类不是两两不相交的，故不构成全体信息的一个划分）。

7、序关系在计算科学中的应用。

集合元素间的序关系与元素间的等价关系一样也是一种重要的关系。

根据等价关系可以将集合中的元素进行划分，而根据序关系则可以将集合中的元素进行排序。

只有有了一定的序关系，才能对数据库中的“信息”与“数据”进行存储、加工和传输。

序关系对于情报检索、数据处理、信息传输、程序运行等都是极为重要的。

如计算机程序执行时往往是“串行”的，这就涉及到了序关系（程序执行的先后问题；即使是“并行”处理，也不可避免地存在瞬间的先后问题。

另外面向对象编程中的类继承关系、结构化程序设计中的函数或子程序调用关系都是序关系的应用实例。

8、集合论中的悖论。

所谓悖论就是逻辑矛盾：

如果假定语句所指为真，那么会推出语句所指为假；反之，如果假定语句所指为假，又会推出语句所指为真。

真是说它对也不是，不对也不是，让人左右为难。

古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。

解决悖论难题需要创造性的思考，因此悖论的解决往往可以给人带来全新的观念，从而悖论的出现和解决往往成为数学发展的一种内在动力。

1）理发师悖论：

在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：

“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。

”有人问他：

“你给不给自己理发？

”理发师顿时无言以对。

因为这是一个矛盾推理：

如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。

有言在先，他应该给自己理发。

反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。

因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。

这个悖论是罗素给出的对一九○二年提出来的集合论悖论--“罗素悖论”所作的一个通俗的、有故事情节的表述。

2）由“自指”引发的悖论：

有人说“我在说慌”。

如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。

矛盾不可避免。

它的一个翻版是：

“这句话是错的”。

这类悖论的一个标准形式是：

如果事件Ａ发生，则推导出非Ａ，非Ａ发生则推导出Ａ，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。

3）集合论悖论—“罗素悖论”：

“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合。

”这是罗素（B.Russell）由于怀疑