梁的弯曲变形与刚度Word文件下载.docx
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如图7-42所示。
所以，在梁的设计中，当一些因素确定后，可根据情况调整其它一些因素以达到提高梁的刚度的目的，具体方法如下：
抗弯刚度梁长
图7・42影响梁变形的因
（1）调整载荷的位置，方向和形式
目的是降低梁的弯矩，这与提高梁的强度的方法相同。
（2）调整约束位置，加强约束或增加约束梁的变形通常与梁的跨度的高次方成正比，因此，减小梁的跨度是降低变形的有效途径。
，如图7-43（a）所示，工程中常采用调整梁的约束位置或增加约束来减小梁的跨度（图7-43（b）,
（c））,还可以加强梁的约束减小梁的最大挠度
（图7・43
（d））o
（a）（b）
（c）（d）
图743提高梁的刚度的措施
（3）提高梁的抗弯刚度
选用弹性模量大的材料可提高梁的刚度，但采用此种方法是不经济的，即弹性模量大的材料价格较高。
选择合理的截面形状可提高梁的刚度，如采用工字形，箱形或空心截面等，增加截面对中性轴的惯性矩，既提高梁的强度也增加梁的刚度。
但必须指出：
小范围内改变梁截面的惯性矩，对全梁的刚度影响很小，因为梁的变形是梁的各段变形累积而成，但此种情况对梁的强度影响很大。
7.8梁的简单超静定问题如果梁弯曲时，仅由平衡方程无法求出梁的支反力，或由截面法无法求出梁的内力，则这种问题称为梁的超静定问题，相应的梁称为超静定梁。
如果平衡方程比未知数（可以是支反力，内力或梁的几何尺寸）少一个，则称为一次超静定问题或简单超静定问题；
少n个则称为n次超静定问题，相应的梁称为一次超静定梁或n次超静定梁。
典型的超静定梁如图7-44各图所示。
AcF一A
B
图7・44梁的简单超静定问题
显然，梁的超静定问题关键是求岀梁的支反力或内力，从而就可以按照前述过程计算梁的应力和强度或者计算梁的变形和刚度。
7.
.1简单超静定梁问题的解法
超静定梁的典型特征是约束过度，这种过度约束有可能是外部的（图7-44（a）-（d））,也有可能是内部的（图7-44（e）（f））o过度的约束称为多余约束，如图7-45所示，一次超静定梁通常有一个多余约束，而n次超静定梁通常有n个多余约束。
多余约束
AB
■‘1、
（a）一次超静定梁
（b）二次超静定梁
（c）三次超静定梁
图7-45超静定梁的多余约
梁的超静定问题的解法与拉压及扭转超静定
问题的解法类似，即：
（a）列出梁的整体（或部分）平衡方程，判别梁是否是超静定梁以及其超静定次数。
（b）在多余约束处列出梁的变形协调方程。
（c）在多余约束处列出梁的物理方程。
（d）将物理方程代入协调方程得到补充方程，即可求解多余约束处的反力（或内力）。
一旦梁的内力求出后，即可按梁的正常过程计算梁的应力和变形，从而可解决超静定梁的强度和刚度问题。
很多时候梁是否超静定梁以及其超静定次数可直观判断。
而梁在多余约束处的反力往往只需要变形协调方程和物理方程即可求解，因此，实际求解梁的简单超静定问题时，具体方法就是在多余约束处应用叠加法。
其步骤如下：
1确定简单超静定梁的某个约束为多余约束
（图7-46（a））,解除该约束代以未知反力％
（图7-46（b））o解除多余约束后的静定梁称为静定基
（图7-46（c））o
2,简单超静定梁现简化为梁上实际载荷和多余约束处的未知反力共同作用下的静定梁（图7-46
（b））o根据叠加法，该静定梁可分解为两个梁的叠加：
一是实际载荷作用在静定基上的情况，也就是原超静定梁直接去掉多余约束后得到的
梁，假设其在多余约束处产生的挠度或转角为‘F
（图7-46（d））o二是多余约束处的未知反力作用在静定基上的情况，假设其在多余约束处产生的挠度或转角为酿（图7・46（e））o由叠加法可算出图7・46（b）所示的梁在多余约束处的挠度或转角为・⑴r'
iFo
3如果简单超静定梁在多余约束处存在的实际挠度或转角为田（图7・46（f））,则由叠加法，应有变形协调条件：
•Sx併二
（7-11）
直接求解该方程，即可得到多余约束处的反力。
4利用梁的整体平衡方程可求出梁的其它支反力，从而可计算梁的内力，应力或变形，也可计算梁的强度和刚度问题。
静定基
—IB
Xj
（d）
（f
女氽约束
图7・46简单超静定梁的解法
必须注意，挠度或转角等有两种可能
的方向，若某个方向的挠度或转角规定为正的话，则其反方向的挠度或转角就为负。
另外，如图7-47所示，根据叠加法，未知反力作用在静定基上在多余约束处产生的挠度或转角f可以写成标准
的形式，为：
frix）,其中“是单位力作用在静定基上在多余约束处产生的挠度或转角。
所以，式（7・11）可写为：
门11X1"
/F~-1
（7-12）
上式称为简单超静定梁的正则方程，是求解各种简单超静定问题的基本方程。
图7-47未知反力产生的挠度或转角
q
（a多余约束
abA―遷—
（b）第-种简化方式
占B
八、、
图7・48静定基的不同选择
还必须注意，静定基的选择并不是唯一的，即超静定梁可简化为不同形式的静定梁的叠加。
静定基的选择不一样时，相应的变形协调方程也不一样。
如图7-4
所示的超静定梁,
其静定基就有两种不同
的选择，一种选择为悬臂梁，是将右边支座看成是多余约束；
另一种选择为简支梁，是将左边支座的
转动约束看成是多余约束。
通常静定基选择的原则
是越简单越好。
例7-22如图7-49（a）所示，己知梁的抗弯截面系数为W,抗弯刚度为EI,许用应力为［二］,梁长为L,
载荷集度为q。
（1）作梁的剪力图和弯矩图并求梁的许可载荷。
（2）求梁的最大挠度所在的位置。
（3）
为提高梁的承载能力，可将右边支座提高少许，求支座提高的最佳值以及此种情况下梁的许可载荷，梁的承载能力提高
了多少？
图7-49例7-22图
M
解：
（1）作梁的剪力图和弯矩图并求梁的许可载荷
7-49（b）所示。
多余约束处的实际挠度为零，即•訂=0,
所以有:
空一£
=0
3EI8EI
（向上）
考虑梁的整体平衡可求11｝固定端处的反力为:
实际载荷在多余约束处产生的挠度为:
IF
Ra
qL4
8EI
輕（向上）
mA
也（逆时针）
未知约束反力在多余约束处产生的挠度为：
RL3
1x・
3EI
梁的剪力图和弯矩图如图7・50所示。
A
3ql
8
5L3EIV
8qL
128
0.6L9qL2
图7・50例7-22梁的剪力图和弯矩
qL2.3E
r
图7-51例7-22支座提高后梁的剪力图和弯矩
梁在距离固定端0.6L处有一极值弯矩,
max
9qL2
128而梁的最大弯矩在固定端'
为
乎所以，由梁的强度条件有:
则梁的许可载荷为：
「0】一
Lq」飞二］
（2）梁的最大挠度所在的位置
假设最大挠度的位置离固定端的距离为
X,
则将梁从该处截断，考虑左边部分梁，其受力情况如图
7-51
（c）所示。
由右段梁的平衡，有:
Fs=q（「詈M「叮十
因最大挠度所在处的转角为零，
所以由叠加法左边梁在白由端的转角为:
九6臼qx
2EI
MAo
El
代入上式整理后得
（o,1）区间的解为:
15・「33
0.5&
所以梁的最大挠席在X0.58L处，靠近极值弯
16
矩处。
（3）支座提高的最佳值以及此种情况下梁的许可载荷。
由图7・54（d）所示，此时多余约束处有实际挠度
于是根据和
（1）中相同的分析有:
_IF
RL3qL4
支座处的支反力为：
R=3EI<
3qL
L3
梁在固定端的支反力为：
Ra=qL・R
5qL3EI:
8P
（向上）mA
也3&
r（逆时针）
梁的剪力图和弯力矩图如图
图中的极值弯矩为：
Mmax
2
-mA
当Mmax二I7U时梁的承载能力最大，所以有:
5qL3EII?
）2
=2mA2（
人
令：
t
5qL3E2
则上式化为:
t-4qLt2
丄
（qL）
再令:
-4
取小根，有:
qL
5qL3EI
8』
所以支座提高的最佳值为：
qL（2・、
・_2）
83EI
此种情况下梁的最大弯矩为:
Mmax号一辛二（|・・2）qL2
ax
由梁的强度条件有：
・max
32）2
nJ
二
2L
于是梁的许可载荷为：
［q‘］=
2[二]W（3-2A2）L2
两种情况下许可载荷的比值为:
「仃2
[q]（3-22）8
丄，22用55
4
可见梁的承载能力提高了约46%。
例7・23如图7-52（a）所示中间狡梁，左边梁的抗弯刚度为处2EI,右边梁的抗弯刚度为EI,求梁在中间餃的挠度。
RR
R（图7-52（b））
（a
图7・52例7・23
将梁从中间狡处拆开，左梁和右梁间的作用力假设为
得：
R
根据叠加法，左梁在中间钱处的挠度为：
8（2EI）
右梁在中间較处的挠度为:
3（2EI）16EI6EI
8EI3EI
（向下）
黑
LRb
qa
Ra3
qb4
Rb
两梁的变形协调条件为：
W［二W2所以有：
16EI
6EI
其中
梁中点的挠度财九8
qaRb
Wc=W（=Wz
特别地当a二b时，=1，有：
R二
M[1g2L8EI12
3qa
〒（负号表示与图几57中假设的方向相反）
Wc（向下）。
12EI
例7-24如图7-53（a）所示结构，各梁的抗弯刚度为及El,CD杆为刚性杆，求悬臂梁固定端的支反力以
梁的最大挠度。
R（图7-53
由于CD杆为刚性杆，所以其对上梁和下梁的作用力是作用力和反作用力，假设该力为（b））。
而且C,D两点的竖向位移是相同的。
二5q（2a）4
R（2a）3
5qa4Ra3
由廉加法，上梁在C点的挠度为:
Wc
384El
48El
24El6EI
下梁在D点的挠度为：
wD
wc
所以有：
茹解得：
12
下梁固定端的支反力为：
Rg
（向上）M
5qa?
（逆时针）
5qa4
下梁的最大挠度在D点，为：
n
11IV<
/\
36El
的重量为q,抗弯刚度为El,求梁自由端C点的挠度和转角
iiimu
Ma=Ob
Rba
图7-54
ft
b
例7-25解法1图
C
解法一：
假设梁在平台上的接触点为A点，梁脱离平台的距离为b,则梁段ABC可简化为图7-54（b）所示的悬臂梁。
B点的支反力及距离b为未知，但梁有固定端的弯矩为零和B点挠度为零两个条件，因此
梁仍然是一次超静定梁。
平衡条件：
Ma二RBb
q（ab）=o
RBb二
q（ab）
要计算B点的挠度，可将梁从B点右侧截开,
只考虑左边部分梁,
则其受力情况如图
7-54（d）所示，
由右边部分梁的平衡有
Fs=
qaM
=9八一
所以由叠加法，
B点的挠度为：
WBA
整理有：
qfb
aba
xRBb
）
2222
0rbaq（
3b2
于是：
q（
ab
解得：
b=2a
则：
2b
=（1
由图7-54（c）,应用蒂加法可计算梁自由端的挠度和转角如下。
32
2EI3EI
3b
3a、
）qa
挠度：
Wc血比
RBbRBb
转
角:
rd
珂
（13、.2）（2、2
（14）（3
ia]qa4（1
1）]；
、.2、qa4
12）El
q（a+b）
Rsb2EI
（-2）3”二1曲一（U）吐
4El6
12EI
（顺时针）
解法二：
梁段ABC还可简化为图7・55（b）所示外伸梁，该外伸梁左端截面的转角为零。
图所示梁可分解为图7-55（c）和图7・55（d）所示两梁的叠加
7-55（b）
A截面的转角：
VA-VAI.VA2=0
71Al
24El
（qa2/2）b
图7-55
（d）所示梁可采用逐段刚化法求解。
有:
qa?
于是有:
一掘更亡解得：
24El12EI
{HI
（d
a
图7-57例7・26解法
C点的挠度为:
Wc=WdWc2二WdWq2
Wc2
Wcl=QBia
qb3
Wc2坐
（qa2/2）b
、、2qa
所以：
（8
兰（向下）
C截面的转角为：
Cl
=6d
ci=Qbi=Q
A1
空
C2
（qa/2）b
、・、2qa（顺时针）
v2qa
2qa
—（顺时针）
例7・26如图7-56（a）所示!
体重w二450N
的运动员可以在长L=5m
的平衡木上任意移动,
平衡木的弹性模量为E=10GPa,其截面对中性轴的惯性矩为
I=2.8江IO?
mm4,
（1）求运动
F/2F/2
L/2
（e）
图7-56例7-26图
平衡木可简化为在任意位置受集中力作用且两端固定的力学模型，如图7-56（b）所示。
由于结构的约束既是对称的也是反对称的，所以结构可简化为一个对称梁和一个反对称梁的蒂加，如图
7-56（c）和图7-56（d）所示，由于反对称梁中点的挠度为零，所以图7・56（c）所示对称梁中点G的挠度就等于
原结构中点的挠度。
将该对称梁从中间点
G处截开，只考虑左边半部分梁，根据对称性，该半部分
（F/2）xM（L/2）
M二
Fx2（0沁冷）
□
于是，点的挠度为：
（F/2）x（丄
X）M（l_/2）
Ww\J
2EI2
宙
邑（丄・x）—
FX2L
4§
^3.4x）Sx冷）
4EI2
即：
Wg450
（103X）2
7[35103-4（103X）]
梁右端截面上的剪力为零，且转角&
为零。
4810102.810
=0.033x2（15一4x）mm（0ExE2.5m）
这即是平衡木中点的挠度，其中x的单位为米。
因:
dwG
dX
FX
（L-2x）=0
则当运动员移动到平衡木中点时其挠度最大，最大挠度为:
FL3450（5103）3
37二1.04mm
192El19210102.810
7・27如图7-57（a）所示正三角形刚架结构,
每边长a=100mm,材料的许用应力［二］=160MPa,梁截面
为正方形，其边长b=10mm,试求结构的许可载荷。
22
M（x）Fs（x）
F-2
图7-57例7-27图
由于对称性，以及A,B,C各结点均为刚性结点，只考虑
AOi段梁，其相当于一个悬臂梁，如图
7-57（b）所示，且在Oi点的转角为零。
由go点的转角朴二血皿
EI
Fa
根据强度条件有：
匚max
may
6%
8b3
梁中的弯矩函数为:
所以最大弯矩只可能在A截面或靠近Oj截面处，因:
MA-
故结构的许可载荷为：
业=41033100
16°
=2133N=2.133kN3a
例7・28如图7・58（a）所示矩形刚架结构，长为21,宽为2d,材料的弹性模量为E,刚架截面为矩
（b
形截面，其宽为b,高为h,不考虑轴力的影响，试求结构A,B两点以及C,D两点间的相对位移。
A'
C1
I
DI
B*
D1
图7-58例7-28图
根据结构的对称性，A,C截面的转角为零，结构的四分之一部分可简化为图7・58（b）所示的结构
继续将图7・58（b）所示结构简化为图7-58（c）所示的结构，结构为一次超静定问题，结构中C点的水平位移就是A,B两点间相对位移的一半，而C点的竖向位移是C,D两点间相对位移的一半。
采用叠加法以及逐段刚化法进行求解。
C点的转角:
（F/2）a2MaMl
2EIElEl
厂（F/2）a
Ml
Ma|
Fa3Fa3
C点的竖向位移：
El4EI
4EI
于是，A,B两点间的相对位移为：
飞・c「器罟
所以:
4（aI）
4（1
其中:
C点的水平位移:
（F/2）a3Ma2（14）Fa3
3EI―2EI_24
（1）EI
C,D两点间的相对位移：
厶cd=0
特别当F：
二1即I=a时，有:
5Fa3
24EI
=2【!
卩I—2a时，=ab
Fa3
而当I"
a时，厶
（2）*髙次超静定结构问题
其解法依然是在结构的多余约束处
高次超静定结构问题是指超静定次数大于或等于二的超静定结构问题,使用魯加法。
如图7-59（a）所示的梁就是一典型的二次超静定结构，将B点确定为1号多余约束，而C点确定为2
号多余约束，其相应的未知反力分别为和X2,超静定梁在1号和2号多余约束处的实际位移分别为和也2（图7-59（b））,则原超静定梁可分解为图7・59（c）,图7-59（d）和图7・59（e）三个梁的叠加，分别在1号和2号多余约束处写出梁变形的协调方程，于是有：
Xi
§
11Xi
22*c
图7・59高次超静定梁的解法
S11X1+我12X2S2lXl
（7-13）
+§
22X2
其中，系数S仆和：
2（是单位力作用在静定基（去掉多余约束后的静定结构）「号多余约束处时分别
的
在4号和2号多余约束处所产生的位移；
而系数：
“和・22是单位力作用在静定基的
2号多余约束处时分别
在「号和2号多余约束处所产生的位移；
在能量法一章可以证明，
12--21；
>
1F和'
2F分别是实际
载荷作用在静定基上时在1号和2号多余约束处所产生的位移。
特别要注意，多余约束反力人和）（
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