梁的弯曲变形与刚度Word文件下载.docx

1、如图 7-42 所示。所以，在梁的设计中，当一些因素确定后， 可根据情况调整其它一些因素以达到提高梁的刚度 的目的，具体方法如下：抗弯刚度 梁长图742影响梁变形的因（1）调整载荷的位置，方向和形式目的是降低梁的弯矩，这与提高梁的强度的方 法相同。（2）调整约束位置，加强约束或增加约束 梁的变形通常与梁的跨度的高次方成正比，因 此，减小梁的跨度是降低变形的有效途径。，如图 7-43 （a）所示，工程中常采用调整梁的约束位置或 增加约束来减小梁的跨度（图7-43 （ b）,（c）,还可以加强梁的约束减小梁的最大挠度（图 743（d） ） o（a） （b）（c） （d）图743 提高梁的刚度的措施

2、（3）提高梁的抗弯刚度选用弹性模量大的材料可提高梁的刚度，但采 用此种方法是不经济的，即弹性模量大的材料价格 较高。选择合理的截面形状可提高梁的刚度，如采用 工字形，箱形或空心截面等，增加截面对中性轴的 惯性矩，既提高梁的强度也增加梁的刚度。但必须 指出：小范围内改变梁截面的惯性矩，对全梁的刚 度影响很小，因为梁的变形是梁的各段变形累积而 成，但此种情况对梁的强度影响很大。7.8梁的简单超静定问题 如果梁弯曲时，仅由平衡方程无法求出梁的支 反力，或由截面法无法求出梁的内力，则这种问题 称为梁的超静定问题，相应的梁称为超静定梁。如 果平衡方程比未知数（可以是支反力，内力或梁的 几何尺寸）少一个，

3、则称为一次超静定问题或简单 超静定问题；少n个则称为n次超静定问题，相应的 梁称为一次超静定梁或n次超静定梁。典型的超静 定梁如图7-44各图所示。A c F 一 AB图744梁的简单超静定问题显然，梁的超静定问题关键是求岀梁的支反力 或内力，从而就可以按照前述过程计算梁的应力 和强度或者计算梁的变形和刚度。7.1简单超静定梁问题的解法超静定梁的典型特征是约束过度，这种过度约 束有可能是外部的（图7-44 （a） -（d）,也有 可能是内部的（图7-44 （e） （f） ） o过度的约束 称为多余约束，如图7-45所示，一次超静定梁通 常有一个多余约束，而n次超静定梁通常有n个多余 约束。多余

4、约束A B 1、（a） 一次超静定梁（b）二次超静定梁（c）三次超静定梁图7-45超静定梁的多余约梁的超静定问题的解法与拉压及扭转超静定问题的解法类似，即：（a）列出梁的整体（或部 分）平衡方程，判别梁是否是超静定梁以及其超静 定次数。（b）在多余约束处列出梁的变形协调方 程。（c）在多余约束处列出梁的物理方程。（d） 将物理方程代入协调方程得到补充方程，即可求解 多余约束处的反力（或内力）。一旦梁的内力求出 后，即可按梁的正常过程计算梁的应力和变形，从 而可解决超静定梁的强度和刚度问题。很多时候梁是否超静定梁以及其超静定次数可 直观判断。而梁在多余约束处的反力往往只需要变 形协调方程和物理方

5、程即可求解，因此，实际求解 梁的简单超静定问题时，具体方法就是在多余约束 处应用叠加法。其步骤如下：1确定简单超静定梁的某个约束为多余约束（图7-46 （a）,解除该约束代以未知反力（图7-46 （b） ） o解除多余约束后的静定梁称为 静定基（图 7-46 （c） ） o2,简单超静定梁现简化为梁上实际载荷和多余约 束处的未知反力共同作用下的静定梁（图7-46（b） ） o根据叠加法，该静定梁可分解为两个梁 的叠加：一是实际载荷作用在静定基上的情况，也 就是原超静定梁直接去掉多余约束后得到的梁，假设其在多余约束处产生的挠度或转角为F（图7-46 （d） ） o二是多余约束处的未知反力 作用在

6、静定基上的情况，假设其在多余约束处产生 的挠度或转角为酿（图746 （e） ） o由叠加法可 算出图746 （b）所示的梁在多余约束处的挠度或 转角为riFo3如果简单超静定梁在多余约束处存在的实际挠 度或转角为田（图746 （f）,则由叠加法，应有 变形协调条件： Sx 併二（7-11）直接求解该方程，即可得到多余约束处的反 力。4利用梁的整体平衡方程可求出梁的其它支反 力，从而可计算梁的内力，应力或变形，也可计算 梁的强度和刚度问题。静定基IBXj（d）（f女氽约束图746简单超静定梁的解法必须注意，挠度或转角 等有两种可能的方向，若某个方向的挠度或转角规定为正的话， 则其反方向的挠度或转

7、角就为负。另外，如图7-47 所示，根据叠加法，未知反力作用在静定基上在多 余约束处产生的挠度或转角 f可以写成标准的形式，为：f rix）,其中“是单位力作用在静定基上 在多余约束处产生的挠度或转角。所以，式（7 11 ）可写为：门 11X 1 /F -1（7-12）上式称为简单超静定梁的正则方程，是求解各种 简单超静定问题的基本方程。图7-47未知反力产生的挠度或转角q（a 多余约束a b A 遷（b）第-种简化方式占B八、图748静定基的不同选择还必须注意，静定基的选择并不是唯一的，即超 静定梁可简化为不同形式的静定梁的叠加。静定基 的选择不一样时，相应的变形协调方程也不一样。如图7-4

8、所示的超静定梁,其静定基就有两种不同的选择，一种选择为悬臂梁，是将右边支座看成是 多余约束；另一种选择为简支梁，是将左边支座的转动约束看成是多余约束。通常静定基选择的原则是越简单越好。例7-22如图7-49 （ a）所示，己知梁的抗弯截面系数为W,抗弯刚度为EI,许用应力为二,梁长为L,载荷集度为q。（ 1）作梁的剪力图和弯矩图并求梁的许可载荷。 （2）求梁的最大挠度所在的位置。（3）为提高梁的承载能力，可将右边支座提高少许，求支座提高的最佳值以及此种情况下梁的许可载荷，梁的承载能力提高了多少？图7-49例7-22图M解：（1）作梁的剪力图和弯矩图并求梁的许可载荷7-49 （b）所示。多余约束

9、处的实际挠度为零，即訂=0,所以有:空一 =03EI 8EI（向上）考虑梁的整体平衡可求11固定端处的反力为:实际载荷在多余约束处产生的挠度为:IFRaqL48EI輕（向上）mA也（逆时针）未知约束反力在多余约束处产生的挠度 为：RL31 x3EI梁的剪力图和弯矩图如图 750所示。A3ql85L 3EI V8qL1280.6L 9qL2图750例7-22梁的剪力图和弯矩qL2.3Er图7-51例7-22支座提高后梁的剪力图和弯矩梁在距离固定端0.6L处有一极值弯矩,max9qL2128而梁的最大弯矩在固定端为乎所以，由梁的强度条件有:则梁的许可载荷为： 0】一Lq飞二（2）梁的最大挠度所在的

10、位置假设最大挠度的位置离固定端的距离为X,则将梁从该处截断，考虑左边部分梁，其受力情况如图7-51（c）所示。由右段梁的平衡，有:Fs=q （詈M叮十因最大挠度所在处的转角为零，所以由叠加法左边梁在白由端的转角为:九6臼qx2EIMAoEl代入上式整理后得（o, 1）区间的解为:15 330.5& 所以梁的最大挠席在X0.58L处，靠近极值弯16矩处。（3 ）支座提高的最佳值以及此种情况下梁的许可载荷。由图754 （d）所示，此时多余约束处有实际挠度于是根据和（1）中相同的分析有:_ IFRL3 qL4支座处的支反力为：R = 3EI 3qLL3梁在固定端的支反力为：Ra = qL R5qL

11、3EI :8 P（向上）mA也3&r （逆时针）梁的剪力图和弯力矩图如图图中的极值弯矩为：M max2-mA当M max二I7U时梁的承载能力最大，所以有:5qL 3EI I?）2=2mA2（人令：t5qL 3E2则上式化为:t -4qLt 2丄（qL）再令:-4取小根，有:qL5qL 3EI8 所以支座提高的最佳值为：qL（2、_2）8 3EI此种情况下梁的最大弯矩为:Mmax 号一辛二（| 2）qL2ax由梁的强度条件有： max32）2nJ二2L于是梁的许可载荷为：q=2 二W （3 - 2A2）L2两种情况下许可载荷的比值为:仃2q （3-2 2） 8丄，22用554可见梁的承载能力提

12、高了约 46%。例723如图7-52（a）所示中间狡梁，左边梁的抗弯刚度为处 2EI,右边梁的抗弯刚度为EI,求梁在中间餃 的挠度。R RR （图 7-52（b）（a图752例723将梁从中间狡处拆开，左梁和右梁间的作 用力假设为得：R根据叠加法，左梁在中间钱处的挠度为：8（2EI ）右梁在中间較处的挠度为:3（2EI ） 16EI 6EI8EI 3EI（向下）黑LRbqaRa3qb4Rb两梁的变形协调条件为：W二W2所以有：16EI6EI其中梁中点的挠度财九 8qa RbWc= W（= Wz特别地当a二b时，=1，有：R二M1 g 2 L 8EI 123qa（负号表示与图几57中假设的方向相

13、反）Wc （向下）。12EI例7-24如图7-53 （ a）所示结构，各梁的抗弯刚度为及 El , CD杆为刚性杆，求悬臂梁固定端的支反力以梁的最大挠度。R （图 7-53由于CD杆为刚性杆，所以其对上梁和下梁的作用力是作用力和反作用力，假设该力为 （b）。而且C, D两点的竖向位移是相同的。二 5q（2a）4R（2a）35qa4 Ra3由廉加法，上梁在C点的挠度为:Wc384 El48 El24 El 6EI下梁在D点的挠度为：wDwc所以有：茹解得：12下梁固定端的支反力为： Rg（向上）M5qa?（逆时针）5qa4下梁的最大挠度在D点，为：n1 1 IV1F和2F分别是实际载荷作用在静定基上时在 1号和2号多余约束处所产生的位移。特别要注意，多余约束反力 人和）（