数字九宫格.docx

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数字九宫格

数字九宫格问题

于春泉

（一）从数字键盘谈起

图1

图1所示，是常见的通信或计算机等设备所用的数字键盘。

我们截取其中左图虚线框内的部分进行探究，如图-2所示。

框内自然排列的数字是连续自然数1～9。

（1）观察、思考、计算、推理：

探究数字排列的规律：

图2

①键盘数字总和：

；

②第二行、第二列及两条对角线上数字之和都是15；

③第一行与第三行数字之和等于第二行数字之和的2倍；

④第一列与第三列数字之和等于第二列数字之和的2倍；

⑤由左向右数字依次增1，由上向下数字依次增3；

⑥凡中心对称的两数之和都相等；等等。

图3

（2）变换：

反射和旋转

①将中心对称数字1与9、3与7作反射变换，如图3所示；

②以5为中心，将周边数字沿顺时针方向转一位，如图4。

数字排列规律发生了变化，图4中数字排列的基本特征是：

每行、每列及两条对角线上的三数字之和（称为幻和）都相等

图4

。

这种数字九宫格，我们也称之为幻方或魔术矩阵。

幻方通过旋转、反射等变换移位手段，我们还可得到其他多种变式，如图5、6、7等。

图5

图6

图7

（二）一道小学一年级数学题

题目如图8所示。

图8

（1）一年级小学生解此题，需要大胆的猜想尝试、正确的计算和简单的推理。

学生要具有排列数序（数的顺序和大小）、简单数的分解组合、一百以内的加减计算及观察和探究数的简单排列规律的能力。

每条直线上的三个数相加时，图形中央的数用的次数最多（四次）。

我们先猜想正中间的位置应填什么数。

把题目给定的九个数由大到小排成一列：

21、22、23、24、25、26、27、28、29，我们发现数字25恰在中央。

于是，我们就尝试把25填在图形中央位置。

如图9所示。

图9

因为每条直线上三个数和的都等于75，那么，通过中间位置的四条直线两端的两数之和应是。

这样，我们便可以按数的分解方法依次在每条直线上的另外两个圈里去凑“和是50”的另外两个数。

显然，通过观察、计算（），我们可把除去25以外的其余8个数分为四组，如图10所示。

图10

现在，我们采取所谓试误法（又谓之尝试-错误法）。

先假定把某一组数字填写在某个位置，再计算验证是否满足题设条件。

若成功，则固定下来；否则，再尝试填写其他位置，直至成功。

比如，先假定把22和28、24和26，这两组数字填在两条对角线两端，并验证两条对角线上三数之和是否都等于75，如图11的左图所示；

再把29和21分别填在第二列上位和下位并验算第一、第三行和第二列上三数之和是否都等于75，如图11的中图；

最后，尝试填写余下的一组（27和23），并验算使其满足题目要求。

如图11的右图所示。

本题可有许多答案，如图12所示，等等。

图11

图12

（2）桃花岛黄蓉解数字九宫格问题

口诀：

九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。

先把九个数由小到大排序，序号编为一、二、三、……、九，再按口诀分组排列便是。

如图13所示。

这里，重要的步骤是：

排序、编号、分组和按口诀尝试填写。

例如，给定一组数：

21、22、23、24、25、26、27、28、29，只要按22、24为肩，26、28为足，27居左、23居右，29置顶、21置底，25居中排列即可，如图14所示。

我们灵活使用口诀，也可得许多变式，如图15等。

图13

图14

图15

（3）小学高年级或初中学生解数字九宫格问题

1题目：

把数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入九宫格，使每行、每列及两条对角线上的三个数字之和都等于相等。

小学高年级或初中学生的数学知识日臻丰富、计算能力和推理判断能力也大大增强。

求解数字九宫格题目的知识依据更充分，思维程序更清晰，方法、手段也会更加有效和灵活。

解：

先进行一些计算，确定九宫格中央应该填写那个数字及其余数字应如何分组。

填入九宫格的九个数字之和是：

那么，每行、每列或每条对角线上三数字之和都是：

。

设填入九宫格中央位置的数字是则有（可参考图16分析：

假定数字填满后，我们计算四条红线上数字的总和，中央位置的数字要用四次，周围的数字均用一次；而若计算九宫格三行或三列的数字总和（，中央位置的数字和周围的数字都用一次。

）

解得

图16

即九宫格中央位置应填写数字5，而图16中四条红线两端的数字之和应是：

。

据此，我们可把其余数字分为四组，如图17：

图17

再利用整数的奇偶性，做出一些判断，看看对填写在九宫格周边各个网格内的数字之奇偶性有何限制和约束。

我们已经知道，每行、每列及对角线上的三个数字之和15是奇数。

在四组数字中，1和9、3和7两组是奇数，2和8、4和6两组是偶数。

现借用图18来做些分析。

图18

若A（H）位填上奇数，则B（G）、C（F）位必须同为奇数或同为偶数。

否则，A、B、C三数字之和不可能为奇数15（对于整数，奇数+奇数是偶数，奇数+偶数是奇数）。

因只有两组奇数数字，B（G）、C（F）不可能再同为奇数。

若B（G）、C（F）同为偶数，则余下的另一组奇数只有填在D（E）位。

那么，A、D、F三数便有两个奇数（A、D）和一个偶数（F）,三数之和便不可能是奇数。

由此推定，A（H）位不可能填奇数。

同理可以推定B（G）位不能填偶数，C（F）位不能填奇数。

图19

有了这些计算和判断，我们先把两对偶数组（2和4、8和6）填写到A（H）、C（F）位，再尝试填写两对奇数组便很容易了。

如图19所示。

初中学生可以利用行、列的移位、反射及旋转等变换手段得到图20所示八种变式。

而高中学生则可以利用排列组合知识来说明存在这八种变式的理由（）。

图20

当然，若每行、每列及两对角线的三个数字之和是偶数，就需要依据整数的奇偶性来重新判断了。

结论是：

A（H）、C（F）位只能填奇数，B（G）、D（E）位只能填偶数。

②初中一年级数学题：

填幻方。

图21

图22

图23

图22

解：

先将数组由大到小依次排序，并取中位数0，填写在九宫格中央（当然，读者也可通过计算获取填写在九宫格中央的数字）。

再把其余八个数字分为四组，如图21：

因同一横行、同一竖列、同一斜对角线三个数之和0是偶数，所以先把两对偶数组（-4和4、-2和2）中行左右端和中列上下端，再把两奇数组（-3和3、-1和1）尝试填写在两条对角线两端，便可得到答案。

如图22所示。

图23列出八种排列方式以供探究参考。

图23

上述两题中给定的填写幻方数字都是连续整数。

我们把四组数据分为两对偶数组和两对奇数组，并用整数的奇偶性做出一些判断，从而减少了猜想尝试的次数。

下面的题目又具有一些新的特征。

③用数字1、3、5、7、9、11、13、15、17填幻方。

解：

设幻方中央数字是

由此可知，幻方的每行、每列、两条对角线两端的数字之和是：

所以除数字9之外，其余八个数可做如图24所示的分组：

图24

这四组数字全为奇数。

如何再组合中行、中列组合对角线数组？

我们将四组数据两两组合，可有如图25所示三种组合形式。

因幻方的每行、每列及两条对角线两端数字之和应是18，所以只有第Ⅱ②组数字可以填写在两条对角线两端。

这样，我们选Ⅱ②组数据分别填写在两条对角线两端，Ⅱ①组数据分别尝试填写在中行或中列，便可有八种填写方式，如图26所示。

图25

图26

回顾前几题的解题过程可知，先选中九宫格中央数据并将其余数据依序分组后，再按1、3和2、4编为两个组合，然后选其一组合填写至九宫格两条对角线两端并用另一组合进行尝试填写，可减少尝试次数，提高解题速度。

数形结合也是重要的解题策略。

下面的解题过程，应用了给定数据在数轴上的分布特征。

④北师大版初中数学七年级（上）《联系拓广》题

解：

如图27所示，我们先将给定数字绘制在数轴上。

选定数字0填写九宫格中央，依据其余数字关于原点的对称性，可分为四组（以数据点颜色区别），并使每组的两个数字之和为0：

图27

然后，观察数字在数轴上的分布特征，进行尝试判断哪组数据能填写在九宫格对角线两端。

比如，若把数组-8和8填写到对角线两端（如图27右一位之九宫格）。

观察数轴可以看出，数字8与原点右方任何给定数据相加，都不能在原点左方找到相对应的给定数据，使之满足三数字之和等于0。

最终结果发现，只有-6和6、-2和2两组数据填入两条对角线两端，才能满足题意。

再利用旋转或移位等变换，可得八种填写方案。

如图28所示。

图28

（三）试题选解

数字九宫格有许多变式（比如，每行、每列及对角线上三数字之和部分相等或全部不等，即所谓反幻方等等），常常用于试题。

解此类问题，需要认真审视题目要求，仔细观察九宫格的数字排列特征，努力探究其排列规律，并运用已有知识进行猜想、判断和推理。

（1）把9到17九个数字填到九宫格中，使横、竖、斜向三个数相加的和都相等。

解：

将数字排序：

9、10、11、12、13、14、15、16、17；

9个数字总和：

解得

数字可分为四组，如图24：

图24

横行、竖列、斜向对角线上三数之和39是奇数。

可将偶数组填写到九宫格对角线方位，奇数组填写到中行和中列，并通过计算，使其满足题意便可得解。

图25所示，为其中一解。

图25

（2）用-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，这九个数字填九宫格，使横、竖、斜对角的三个数相加之和都为6。

解：

图26

故应是数字2居中位。

横、竖、斜向两端的数字之和应是。

因而，其余数字可分为-2和6、-1和5、0和4及1和3四组。

因为横、竖、斜向的数字之和6是偶数，九宫格的左上位、右上位只能填写奇数，中上位只能填写偶数。

据此，可填写如图26所示的一种答案。

（4）题组（选自网络）

本题组的几个数字九宫格，都有各自独特的数字排列特征，具体问题具体分析是解题关键。

这些题目，都是考查九宫格的横行数字排列规律和特征。

每横行数字之间可能具有和、差、积、商或其他数学关系等。

确定这些关系，需要观察、计算、判断和推理。

图27

图28

图27

（5）在3×3的九宫格内，用1，2，3，……，9等9个数字填入九宫格内，使得每行数字组成的十进制数平方根为整数。

解：

图27是11---31的平方表。

九宫格内每行组成的十进制数是3位数，而且数字不能重复。

从表中数据可看出，平方数的末位数是1、4、9、5、6、0；显然，末位是0的数不符题意；121、144、225、441、484、676等三位数包含相同的数字，也应排除；169、196、256、625、361、576、961只能选其一，选361

图28

图28

；289、529、729只能选其一，选529；余下的324，因包含2不能再选；最后再选784即可。

所以，答案如图28所示。

当然，也可以先把1、4、9填写到九宫格第三列，再把十位、百位上包含1、4、9的三位平方数121、144、169、196、441、484、841、961等数排除，再排除个位不是1、4、9的三位数225、256、576、625、676，便只剩下289、324、361、529、729、784六个数了。

而289、529、729只能且必须选其一，324也随之排除，余下的只有361、784是必选项了。

显然，此题答案所示数字九宫格每行、每列及两条对角线上三数字之和并不相等，下一题目也是研究这种所谓反幻方问题。

（6）用数字1、2、3、4、5、6、7、8、9填写九宫格，使每行、每列及两条对角线上三数字之和都不相等或部分相等。