成都石室外语学校数学分式解答题中考真题汇编解析版.docx

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成都石室外语学校数学分式解答题中考真题汇编解析版

一、八年级数学分式解答题压轴题（难）

1．阅读下面材料并解答问题

材料：

将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．

解：

由分母为，可设，

则

∵对任意上述等式均成立，

∴且，∴，

∴

这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和

解答：

（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式

（2）求出的最小值．

【答案】

（1）3+；

（2）8

【解析】

【分析】

（1）直接把分子变形为3（x-1）+10解答即可；

（2）由分母为-x2+1，可设-x4-6x2+8=（-x2+1）（x2+a）+b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．

【详解】

解：

（1）=

=

=3+；

（2）由分母为，

可设，

则

．

∵对于任意的x，上述等式均成立，

∴

解得

∴

．

∴当x=0时，取得最小值8，即的最小值是8．​

【点睛】

本题主要考查分式的混合运算，解答本题的关键是理解阅读材料中的方法，并能加以正确应用．

2．一件工程，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成．

（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

（2）已知甲队每天的施工费用为8.6万元，乙队每天的施工费用为5.4万元，工程预算的施工费用为1000万元，若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？

若不够用，需追加预算多少万元？

【答案】

（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天、180天　

（2）工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元

【解析】

试题分析：

（1）首先表示出甲、乙两队需要的天数，进而利用由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成得出等式求出答案；

（2）首先求出两队合作需要的天数，进而求出答案．

试题解析：

解：

（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要x天．

根据题意，得，解得：

x=180．

经检验，x=180是原方程的根，∴=×180=120，答：

甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天和180天；

（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，则有，解得y=72．

需要施工费用：

72×（8.6+5.4）=1008（万元）．

∵1008＞1000，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元．

点睛：

此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．

3．阅读后解决问题：

在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：

如果关于x的分式方程的解为正数，那么a的取值范围是什么？

经过交流后，形成下面两种不同的答案：

小明说：

解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a﹣2．

因为解是正数，可得a﹣2＞0，所以a＞2．

小强说：

本题还要必须a≠3，所以a取值范围是a＞2且a≠3．

（1）小明与小强谁说的对，为什么？

（2）关于x的方程有整数解，求整数m的值．

【答案】

（1）小强的说法对，理由见解析；

（2）m=3，4，0．

【解析】

【分析】

（1）先根据解分式方程的步骤和解法解分式方程可得x=a﹣2,根据分式方程有解和解是正数可得:

x＞0且x≠1,即a﹣2＞0,a﹣2≠1,即可求解,

（2）先根据解分式方程的步骤和解法解分式方程可得（m﹣2）x=﹣2,当m≠2时,

解得:

x=﹣,根据分式方程有整数解可得:

m﹣2=±1,m﹣2=±2,继而求m的值.

【详解】

解:

（1）小强的说法对,理由如下:

解这个关于x的分式方程,得到方程的解为x=a﹣2,

因为解是正数,可得a﹣2＞0,即a＞2,

同时a﹣2≠1,即a≠3,

则a的范围是a＞2且a≠3,

（2）去分母得：

mx﹣1﹣1=2x﹣4,

整理得:

（m﹣2）x=﹣2,

当m≠2时,解得:

x=﹣,

由方程有整数解,得到m﹣2=±1,m﹣2=±2,

解得:

m=3,4,0.

【点睛】

本题主要考查分式方程解是正数和解是整数问题,解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的解法.

4．某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯本身也在行驶）.如果二人都做匀速运动,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍.又已知男孩走了27级到达顶部,女孩走了18级到达顶部（二人每步都只跨1级）.

（1）扶梯在外面的部分有多少级.

（2）如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯,台阶级数与扶梯级数相等,这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯,到一楼后再乘坐扶梯（不考虑扶梯与楼梯间的距离）.则男孩第一次追上女孩时,他走了多少台阶?

【答案】

（1）楼梯有54级

（2）198级

【解析】

【试题分析】

（1）设女孩速度为级/分,电梯速度为级/分,楼梯（扶梯）为级,则男孩速度为级/分,根据时间相等列方程，有：

①两式相除,得,解方程得即可.

因此楼梯有54级.

（2）设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯次,走过楼梯次,则这时女孩走过扶梯次,走过楼梯次.

将 代入方程组①,得,即男孩乘扶梯上楼的速度为级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为级/分.于是有

从而,即.

无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,中必有一个为正整数，且，经试验知只有符合要求.

这时，男孩第一次追上女孩所走过的级数是：

（级）.

【试题解析】

（1）设女孩速度为级/分,电梯速度为级/分,楼梯（扶梯）为级,则男孩速度为级/分,依题意有

①

把方程组①中的两式相除,得,解得.

因此楼梯有54级.

（2）设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯次,走过楼梯次,则这时女孩走过扶梯次,走过楼梯次.

将 代入方程组①,得,即男孩乘扶梯上楼的速度为级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为级/分.于是有

从而,即.

无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,中必有一个为正整数，且，经试验知只有符合要求.

这时，男孩第一次追上女孩所走过的级数是：

（级）.

5．观察下列等式：

＝1－，＝－，＝－.

将以上三个等式的两边分别相加，得：

＋＋＝1－＋－＋－＝1－＝.

（1）直接写出计算结果：

＋＋＋…＋＝________.

（2）仿照＝1－，＝－，＝－的形式，猜想并写出：

＝________.

（3）解方程：

.

【答案】；

【解析】

试题分析:

本题考查分式的运算规律,通过所给等式,可以将

（1）展开进行计算,

（1）＋＋＋…＋=,

=,

（2）因为=,

所以,,

（3）根据

（2）的结论将（3）中方程进行化简可得:

=,

=,

解得,

经检验,,是原分式方程的解.

解：

（1）　

（2）

（3）仿照

（2）中的结论，原方程可变形为

，

即，

解得x＝2.

经检验，x＝2是原分式方程的解．

6．某工程队接到任务通知，需要修建一段长1800米的道路，按原计划完成总任务的后，为了让道路尽快投入使用，工程队将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务．

（1）按原计划完成总任务的时，已修建道路多少米？

（2）求原计划每小时修建道路多少米？

【答案】

（1）已修建道路600米；

（2）原计划每小时抢修道路140米．

【解析】

【分析】

（1）全长1800，原计划已经完成，单位“1”已知用乘法，已修道路==600米

（2）本题可以采用直接设，设原计划每小时修路为x米，加快后每小时变为1.5x米，等量关系为：

原计划修路时间+提高后修路时间=总时间，列方程即可解出．

【详解】

解：

（1）已修建道路600米；

（2）设原计划每小时抢修道路x米，

根据题意得：

＝10

解得：

x＝140，

经检验：

x＝140是原方程的解．

答：

原计划每小时抢修道路140米．

【点睛】

方程的应用题是中考常考的类型题，设未知数一般有直接设和间接设两种，做题时找好等量关系尤为重要，分式方程解出后要检验增根的情况，排除不合适的解．

7．某建设工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：

乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成.

（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？

（2）已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元.为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：

该工程预算的施工费用是否够用？

若不够用，需要追加预算多少万元？

请说明理由.

【答案】

（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天

（2）工程预算的施工费用不够用，需追加预算万元

【解析】

【分析】

（1）求的是工效，时间较明显，一定是根据工作总量来列等量关系，等量关系为：

甲6天的工作总量+甲乙合作16天的工作总量=1；

（2）应先算出甲乙合作所需天数，再算所需费用，和19万进行比较．

【详解】

解：

（1）设甲队单独完成这项目需要x天，

则乙队单独完成这项工程需要2x天，

根据题意，得，

解得x＝30

经检验，x＝30是原方程的根，

则2x＝2×30＝60

答：

甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天．

（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，

则有，

解得y＝20

需要施工费用：

20×（0.67+0.33）＝20（万元）

∵20＞19，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元．

【点睛】

本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：

工作总量=工作效率×工作时间．

8．某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元．

（1）该商店第一次购进水果多少千克；

（2）假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？

注：

每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和．

【答案】

（1）该商店第一次购进水果100千克；

（2）每千克水果的标价至少是15元．

【解析】

【分析】

（1）首先根据题意，设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，然后根据：

（1000÷第一次购进水果的重量+2）×第二次购进的水果的重量=2400，列出方程，求出该商店第一次购进水果多少千克即可．

（2）首先根据题意，设每千克水果的标价是x元，然后根据：

（两次购进的水果的重量﹣20）×x+20×0.5x≥两次购进水果需要的钱数+950，列出不等式，求出每千克水果的标价是多少即可．

【详解】

解：

（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，

（+2）×2x=2400

整理，可得：

2000+4x=2400，解得x=100．

经检验，x=100是原方程的解．

答：

该商店第一次购进水果100千克．

（2）设每千克水果的标价是x元，则（100+100×2﹣20）×x+20×0.5x≥1000+2400+950

整理，可得：

290x≥4350，解得x≥15，∴每千克水果的标价至少是15元．

答：

每千克水果的标价至少是15元．

【点睛】

此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，要熟练掌握，注意建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．

9．“节能环保