第一章 空间向量与立体几何基础必刷卷高二数学上学期单元测试人教A版选择性必修第一册.docx
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第一章空间向量与立体几何基础必刷卷高二数学上学期单元测试人教A版选择性必修第一册
高二数学上学期同步课堂单元测试
（人教A版2019选择性必修第一册）
第一章空间向量与立体几何基础必刷卷
一､选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．向量互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（）
A．B．为实数0
C．与方向相同D．
【答案】D
【分析】
根据相反向量的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，向量互为相反向量，可得，且方向相反，所以C不正确，
可得，所以A不正确；
可得，所以B不正确；
又由，所以.
故选：
D.
2．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用正方体几何性质计算出数量积为零的选项，根据长方体的性质证明数量积一定不为零的选项.
【详解】
当长方体为正方体时，根据正方体的性质可知：
，
所以、、.
根据长方体的性质可知：
，所以与不垂直，即一定不为.
故选：
C
3．若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（）.
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】D
【分析】
由于是空间的一个基底，则可得，，不共面，然后根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可
【详解】
因为是空间的一个基底，所以，，不共面.
对于A，B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；
对于D：
，，满足，
所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基底.
故选：
D.
4．已知，，为原点，则与的夹角是（）.
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】
由空间向量夹角的坐标公式即可求解
【详解】
∵，且，，∴.
∵，∴.∴.
故选:
B
5．已知，，若，则的值为（）
A．B．C．6D．8
【答案】D
【分析】
由，可得，则有，从而可求出的值，
【详解】
解：
因为，所以，
因为，，
所以，解得，
故选：
D
6．设是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（）
A．圆B．直线C．平面D．线段
【答案】C
【分析】
根据法向量的定义可判断出点所构成的图形.
【详解】
是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件，
所以，构成的图形是经过点，且以为法向量的平面.
故选：
C.
7．若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
的必要条件是，一一验证的值．
【详解】
对于A.，不可能使；
对于B.，不可能使；
对于C.，不可能使；
对于D.，有可能使．
故选：
D
8．设直线、的方向向量分别为，，若，则实数等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由，可得出，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.
【详解】
因为，所以，则，解得，
故选：
B.
9．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为（）
A．B．C．或D．
【答案】C
【分析】
由二面角的大小与二面角的两个半平面的法向量夹角的关系，求出法向量的夹角即可得解.
【详解】
因，所以.
因二面角的大小与二面角的两个半平面的法向量夹角相等或者互补，
所以两平面所成的二面角为或.
故选：
C
10．以下四个命题中正确的是（）
A．基底中可以有零向量
B．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底
C．△ABC为直角三角形的充要条件是
D．空间向量的基底只能有一组
【答案】B
【分析】
利用零向量与任意两个非零向量都共面判断A,利用基底的性质判断BD,利用直角不确定判断C
【详解】
因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；
△ABC为直角三角形并不一定是可能是也可能是,故C不正确；
空间基底可以有无数多组，故D不正确.
故选：
B
11．如果直线l的方向向量是（－2，0，1），且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是（2，0，4），那么（）
A．l⊥αB．l∥α
C．l⊂αD．l与α斜交
【答案】B
【分析】
根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合线面平面的判定定理进行求解即可.
【详解】
因为，所以，
又因为直线l上有一点P不在平面α内,
所以l⊄α，所以l∥α.
故选：
B
12．若O为坐标原点，＝（1,1，－2），＝（3,2,8），＝（0,1,0），则线段AB的中点P到点C的距离为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
先求出的坐标，再利用三角形减法法则求的坐标，再求||即得解.
【详解】
由题意＝（＋）＝，＝－＝，||＝.
故答案为D
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知||＝3，||＝4，，，〈〉＝135°，，则λ＝________．
【答案】－
【分析】
由题得＝0，利用数量积的运算律化简即得解.
【详解】
由得＝0，
∴＋（1＋λ）＋λ＝0，
∴18＋（λ＋1）×3×4cos135°＋16λ＝0，
即4λ＋6＝0，
∴λ＝－.
故答案为：
－
14．若，则直线与平面的位置关系为____．
【答案】平面或平面
【分析】
由题设，结合共面向量定理即有向量与向量、共面，再由空间向量的可平移性即可知直线与平面的位置关系
【详解】
由及共面向量定理
可知：
向量与向量、共面
即直线可能在平面内，也可能和平面平行
故答案为：
平面或平面
15．已知为单位正交基底，且，则向量的坐标是_________.
【答案】
【分析】
由直接计算，化简后可得其坐标
【详解】
解：
由，得
，
则.
故答案为：
16．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则两直线所成角的余弦值为________．
【答案】
【分析】
根据空间向量的夹角公式代入计算即可.
【详解】
，所以两直线所成角的余弦值为.
故答案为：
三、解答题：
本题共5小题，每小题12分，共60分.
17．如图，正方体中，是的中点，求与平面所成角的正弦值.
【答案】.
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则
.设平面的法向量为，
令，则，
.
故与平面所成角的正弦值为.
18．如图所示,已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.
（1）求DP与CC′所成角的大小.
（2）求DP与平面AA′D′D所成角的大小.
【答案】
（1）45°.
（2）30°.
【分析】
（1）以D为原点,DA,DC,DD′分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系，连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H.设=（m,m,1）（m>0）,由<,>=60°,利用坐标运算可得m，进而可得cos<,>，从而得解；
（2）平面AA′D′D的一个法向量是=（0,1,0）,由cos<,>即可得解.
【详解】
（1）如图所示,
以D为原点,DA,DC,DD′分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系,
设DA=1.则=（1,0,0）,=（0,0,1）.连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H.
设=（m,m,1）（m>0）,
由已知<,>=60°,由=||||cos<,>,可得2m=.解得m=,
所以=.
因为cos<,>=
所以<,>=45°,即DP与CC′所成的角为45°.
（2）平面AA′D′D的一个法向量是=（0,1,0）,
因为cos<,>=
所以<,>=60°,可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
19．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．
【答案】＝（1，－1，1），＝（1，－1，2），＝（－1，1，－2）．
【分析】
以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，利用空间向量坐标表示公式进行求解即可.
【详解】
由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示．
则B（0，1，0），A（1，0，0），A1（1，0，2），N（1，0，1），
∴＝（1，－1，1），＝（1，－1，2），＝（－1，1，－2）．
20．如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.
（1）－
（2）＋＋
【答案】，，图象见解析
【分析】
（1）将向量平移到同一个平面，再利用平行四边形法则即可计算出结果.
（2）直接利用平行四边形法则计算出＋＝，再利用三角形法则，即可计算出结果.
【详解】
（1）－＝－＝＋＝.
（2）＋＋＝（＋）＋＝＋＝.向量、如图所示.
21．实数λ和空间向量的乘积的意义是什么？
向量的数乘运算满足哪些运算律？
【答案】答案见解析
【分析】
利用空间向量的数乘运算的几何意义以及空间向量的数乘运算满足的运算律写出答案即可.
【详解】
时，和方向相同；
时，和方向相反；
的长度是的长度的倍.
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：
①分配律：
，
②结合律：
.
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