圆周角教学设计及点评获奖版.docx

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圆周角教学设计及点评获奖版

24.1.4圆周角（第一课时）

教学设计

课题

24.1.4圆周角（第一课时）——人教版教材九年级上册

姓名

杨维鸽

学校

青海师范大学附属中学

教学内容

圆周角的概念，圆周角定理及其推论

教学内容解析

从知识角度看：

本节课有三方面学习内容:

一是圆周角的概念；二是圆周角定理及推论的证明；三是圆周角定理及其推论的应用。

它是继圆及其相关概念、圆心角定理、垂径定理后的又一重要内容。

深入理解圆周角概念、定理及推论为后续学习圆内接多边形、圆内相关量的计算、证明等奠定了坚实的基础。

因此本课时的教学重点是灵活运用圆周角定理及其推论。

从数学思想方法来看：

圆周角定理的探究，采用了数学问题的一般研究模式“操作实验--猜想——验证——证明”，充分感受知识的生成过程。

定理内容探索体现了“特殊到一般”的思考路径，定理的证明突出了分类讨论的思想方法，从“特殊到一般”进行证明，将“一般情况化为特殊情况”论证以及“化未知为已知”的化归思想。

渗透数学抽象、逻辑推论、直观想象的数学素养。

教学目标

根据课程标准要求，结合对教学内容的分析，融三维目标为一体，本课时的教学目标确定为：

1、通过在圆中画一条弧所对的角，观察角的顶点位置变化，类比圆心角，归纳出圆周角的概念，利用正例与反例区别圆周角概念的本质属性，从而会认、会找、会画一条弧所对的圆周角，进一步体会类比的思想方法。

2、通过画图、观察、测量、猜想、演示、等过程探究一条弧所对的圆周角与圆心角之间的位置关系与数量关系，通过分类讨论、类比、化归等思想方法证明圆周角定理，发展学生的合作交流、逻辑推理能力，

3、通过观察猜想，合作探究等活动，让学生养成独立思考、团结合作的习惯。

教学目标解析

能在具体的图形中正确判断哪些角是圆周角，且正确识别一条弧所对的圆周角；知道圆周角定理及其推论的内容，能够在圆中识别直径所对的圆周角，在具体问题中根据需要能够构造直径所对的圆周角；能够运用圆周角定理及其推论解决简单的问题。

培养学生的直观想象、数学建模的素养。

能通过画图、分析从中抽象、概括圆周角的概念，经历画图、观察、度量、猜想、演示验证、归纳等方式发现一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角之间的数量关系以及同弧所对的圆周角之间的数量关系，能根据圆心与圆周角一边的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理时分类讨论的必要性，理解证明圆周角定理时可以化一般情况（圆心在圆周角内部和圆心在圆周角外部）为特殊情况（圆心在圆周角一边上）的思想方法。

渗透数学抽象、逻辑推理的核心素养

通过操作交流、观察猜想、合作探究等活动，既关注了知识理解程度，又关注知识的理解方式和策略，发展学生的逻辑思维能力，不断提升思维品质。

教学重点

灵活运用圆周角定理及其推论

学生学情分析

学习本节课内容时，学生已经学习了三角形、平行四边形等基本几何图形的判定和性质，同时在本章中学生也已经学习了一些与圆有关的性质，知道了圆既是轴对称图形又是中心对称图形，结合圆的对称性的性质得到了垂径定理及其推论，了解圆心角的概念，探究了圆中弧、弦、圆心角之间的关系。

说明学生们已经具备了一定的对于概念的抽象与概括的能力，具备了一定的探究问题、分析问题、解决问题的基本逻辑推理能力，能够掌握简单的几何命题证明，但对于概念的生成缺乏更深刻的探究与认知，对于命题的证明为什么要要分类讨论以及在证明过程中将一般情况化为特殊情况的化归思想有疑问

教学难点

圆周角定理的证明

教学方法

本节课通过探究式、小组合作式、教师引导的方式推进教学。

采用已有的圆心角知识创设问题情境，让学生通过观察、测量、猜想、演示、证明等方法独立思考或合作探究，自主发现圆周角定理，让学生经历完全归纳、类比、化归等数学思想，在独立思考的基础上进行合作交流，从而引发学生的数学思维，引导学生主动学习、主动思考、主动探究的学习习惯。

教学策略分析

建构主义认为，教师的教围绕从学生的学

因此本节课通过复习圆心角的概念及圆心角有关性质入手，让学生从已有认知水平上去理解学习与圆有关的另一类重要的角----圆周角的必要性，类比圆心角概念的生成过程，抽象并概括出圆周角的概念，同时结合具体例题，呈现与圆周角有关的正例与反例，揭示概念的本质属性。

经过观察—抽象—探索—概括—演示—验证—逻辑推理等过程，实现

概念向性质的自然延续。

突出圆周角定理及其推论的探究过程，注重学生逻辑思维能力的训练。

通过几何画板演示，可以将抽象问题具体化，便于学生的理解。

如一条弧所对的圆周角有无数多个，圆周角与圆心角之间的数量关系，让学生了解现代信息技术是解决问题的有力工具，激发学生对于数学学习的积极性。

提高学生的直观想象素养.

预期达成效果分析

通过本节课的学习：

经过观察—抽象—探索—概括—演示—验证—逻辑推理等过程，实现概念向性质的自然延续。

从而达到：

1、学生会认圆周角，能正确画出圆周角，找出一条弧所对的圆心角与圆周角，从圆心角的大小确定圆周角的大小，反之也可以。

2、会分析圆周角与圆心角之间的位置关系，并准确画出图形

3、能得到圆周角与圆心角之间的数量关系，经过探究后能给出定理的证明，能根据圆周角定理，进一步探究出圆周角定理的推论。

4、在圆中会进行简单的计算及证明。

5、了解分类讨论、类比、化归等数学思想。

教具准备

圆规、直尺、PPT幻灯片、几何画板等多媒体设备

教学过程

教学内容

师生互动

设计意图

第一环节：

创设情境，引入新课

思考：

某工厂制造了一批半圆形工件，工人师傅手上只有一把直角曲尺，为了检查工件是否合格，工人师傅将直角曲尺的直角顶点放在如图所示的位置上，便能检查出那个工件合格。

你知道为什么吗？

第二环节：

合作交流探究新知

（一）圆周角的概念

师：

如图1所示，∠AOB是圆心角，谁能说出圆心角的概念？

生：

顶点在圆心上的叫做圆心角

师：

它所对的弧是哪条弧？

生：

弧AB

师：

在⊙O中，弧AB所对的角的顶点除了在圆心处之外，还可以在哪些位置？

生：

圆内、圆上、圆外（如图2所示）

师：

这些都是与圆有关的角，其中最特殊的是顶点在圆上的角。

我们把它叫做圆周角。

师：

今天我们先来研究特殊情况----圆周角

观察圆周角的顶点与边的特点，试着给出圆周角的概念。

生：

顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角

及时反馈----练一练1：

判断下列图形中的角是不是圆周角？

并说明理由。

生：

思考后回答，只有第3个是圆周角，其它都不是

（二）圆周角定理的探究与证明

如图所示，可以发现∠BAC与∠BOC对着同一条弧，那它们之间存在什么关系呢？

我们来研究一下。

活动一：

请同学们在自己准备的⊙O中，用红笔任意画出一条弧BC，再画出这条弧所对的圆周角和圆心角。

1、你可以画出多少个圆周角？

多少个圆心角？

2、通过观察这些圆周角与圆心角，从位置关系上看，你们有什么发现？

3、再量一量它们的度数，从数量关系上看，你有什么发现？

小组成员之间讨论交流，组长将讨论结果记录下来，派代表

分享小组的成果。

生：

位置关系可以归纳为三种，如下图所示：

数量关系可以猜想为：

（1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

（2）同弧所对的圆周角相等

师：

通过几何画板演示，验证了归纳和猜想的正确性，但是对于特殊情况下得出的猜想（命题），在数学上需要进行严密的逻辑证明。

师：

那我们先从证明那个猜想入手呢？

应该先证明第一个猜想，再用第一个的结论证明第二个猜想

师：

证明命题的基本步骤是什么？

生：

找题设和结论---画出图形---写出已知和求证---证明

师：

请同学们找出此命题的题设和结论。

生：

题设：

在圆中，已知一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角

结论：

这条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半

师：

画出一条弧所对的圆心角与圆周角，会有几种情况？

生：

3种

师：

因此这个命题的证明需要分类讨论。

已知：

如下图所示，在⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，所对的圆心角是∠BOC.

求证：

∠BAC=∠BOC

同学们想想，我们先从哪一个图开始证明呢？

生：

第一个，因为第一个最特殊

师：

我们先从图4开始证明，当圆心O在∠BAC的一边上时，

生：

学生独立思考后，给出方法

证明：

∵OA=OC

∴∠C=∠BAC

∵∠BOC=∠BAC+∠C

∴∠BAC=∠BOC.

活动二：

小组合作讨论，如何在图5、图6证明“一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”呢？

学生先思考，若无法解决，教师进行引导

师：

图4主要运用三角形外角和定理进行的证明，图5、图6可以通过添加辅助线，构造三角形，类比图4的证明方法，实现转化。

生：

可以，做辅助线，连接AO并延长交⊙O于点D，如图所示：

小组内进行分析探究，学生口述证明过程，课后独立完成书写证明过程：

综上所述：

在⊙O中，始终有∠BAC=∠BOC（或∠BOC=2∠BAC）因此，我们得到了定理:

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，这就是圆周角定理

（三）圆周角定理的推论

现在，我们来证明第二个猜想：

（2）同弧所对的圆周角相等

如下图所示，在⊙O中，弧BC所对的圆周角分别为∠C，∠D，∠E，证明∠C=∠D=∠E，

生：

利用圆周角定理可得：

∠C=∠BOC，∠D=∠BOC，

∠E=∠BOC∴∠C=∠D=∠E

因此，同弧所对的圆周角相等

思考：

如图所示，在⊙O中，,那么∠BAC和∠CAD有什么关系?

生：

通过此题我们可以的得到“等弧所对的圆周角相等”

师：

综上所述，我们得到推论：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等

思考：

如图所示，在⊙O中，线段AB是⊙O的直径，点C

是圆上任意一点（不与A、B两点重合），那么∠ACB就是直

径AB（或半圆）所对的圆周角，思考

∠ACB是什么样的角？

生：

直角

师：

教师点拨，学生分析，口述证明过程。

师：

谁用文字来叙述一下这个结论？

生：

直径所对的圆周角等于

师：

我们得到推论：

半圆或直径所对的圆周角等于直角（），反之，圆周角所对的弦是直径

第三环节：

例题解析应用新知

例：

如图所示，在⊙O中，如图所示，在⊙O中，线段AB是⊙O的直径，

（1）∠C=_____

（2）若BC=3,AC=4,则AB=_____

（3）若∠A=40°，则∠B=_____，

变式:

例题的已知条件不变，在圆周上任取一点D,连接AD，CD

（4）若∠A=40°∠B=_____,∠D=_____,

（5）直径AB为10cm，弦BC为6cm，CD

平分∠ACB，求AC，AD的长。

课前思考：

某工厂制造了一批半圆形工件，工人师傅手上只有一把直角曲尺，为了检查工件是否合格，工人师傅将直角曲尺的直角顶点放在如图所示的位置上，便能检查出那个工件合格。

你知道为什么吗？

第四环节：

学习小结

1、本节课你收获了哪些知识？

（1）圆周角的定义：

顶点在圆上，并且两条边都与圆相交，这样的角叫做圆周角。

（2）圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

（3）圆周角定理的推论：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等

半圆或直径所对的圆周角等于直角，反之，90度的圆周角所对的弦是直径

2、请你选择下面一个或几个关键词谈本节课的体会：

方法、思想、收获、喜悦、困惑、成功……

通过画图、测量、猜想、验证、证明的过程，学习了分类讨

论、完全归纳法，化一般为特殊的化归思想等

第五环节：

作业布置

必做题：

教科书89页：

3题、5题

选做题：

能力培养测试73页，7题、8题、9题

第六环节：

课后反思

《圆周角》这节分为两个课时进行教学，第一课时是了解圆周