八年级三角形的奥数题及其答案docxWord格式文档下载.docx
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3
）正方形
ABCD内画一个半等角点
P，且满足α≠β。
（2
4
）四边形
ABCD
中画出一个半等角点
P，保留画图痕迹（不需写出画法）
.
（3
）若四边形
有两个半等角点
P1
、P2（如图（
2））
，证明线段
P1P2上任一点
也是它的半等角点
。
例题8：
已知：
点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC。
（1）如图1，若点O在BC上，求证：
AB＝AC；
（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：
（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？
请画图表示。
练习试题：
1．如图，在△ABC中，
ABC和
ACB的平分线相交于点
O，过点
O作EF∥BC交
AB
于E，交
AC于
F
，过点
O作OD
D．下列四个结论：
①
BOC
1
90°
+
A；
2
②以
E为圆心、
BE为半径的圆与以
为圆心、
CF为半径的圆外切；
③设ODm，AEAF
n，则△
mn
；
SAEF
④EF不能成为△ABC的中位线．
其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）
2．如图1，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，SDMC、SDAC和SDBC分别表示△DNC、
△DAC、△DBC的面积。
当
AB∥CD时，有SDMC
＝SDACSDBC
（1）
（1）如图2，若图1中AB与CD不平行时，
（1）式是否成立？
请说明理由。
（2）如图3，若图1中AB与CD相交于点O时，SDMC、SDAC和SDBC有何种相等关系？
试证明你的结论。
3．如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠
EBD＝62o，则∠AEB的度数是【
】
（A）124o
（B）122o
（C）120o
（D）118o
4．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°
的等腰三角形，M是AB延长线
上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN＝60°
.试探究MB、MN、CN之间的数量关系，并给
出证明.
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，
且PA＝8，PC＝6，则PB＝_____________
6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，BAD60，则EDC__________
7．
（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角
形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；
（2）如图8，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（
OAB和OCD不能重叠），求∠AEB的大小.
8．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，
B，C，E在同一条直线上，连结DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：
结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：
DCBE．
9．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形
的是__________________。
（把所有正确答案的序号都填写在横线上）
①∠BAD＝∠ACD②∠BAD＝∠CAD，③AB＋BD＝AC＋CD④AB－BD＝AC－CD
参考答案
例题1、证明：
△OAE≌△ODF，因为：
二边及夹角（对等角）相等，得：
AE=DF。
同理证得：
△OBE≌△OCF，△OAB≌△OCD，得：
EB=CF，AB=CD。
因为：
AE=DF，EB=CF，AB=CD三边相等。
所以：
例2F于点G延长EP交AB于M,延长FP交AD于N
∵P为正方形ABCD对角线BD上任一点∴PM=PF,PN=PE
又AMPN为矩形.
∴AN=PM=PF
∵∠EPF=∠BAC=90°
∴△PEF≌△ANP
∴∠NAP=∠PFE
又∠NPA=∠FPG（对顶角）
∠NAP+∠NPA=90°
∴∠PFE+∠FPG=90°
∴∠PGF=180°
-（∠PFE+∠FPG）=90°
∴AP⊥EF
例3∵BH＝AC，∠BDH＝∠ADC＝90°
，∠HBD＝∠CAD（这个知道的吧）∴△BDH≡△ADC
∴HD＝CD，BD=AD
∴△HDC与△ABD是等腰直角三角形
∴∠BCH＝∠ABD=45°
例4：
在CB的延长线上取点G，使BG＝DQ，连接AG∵正方形ABCD
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABG＝∠D＝90
∵BG＝DQ
∴△ABG≌△ADQ（SAS）
∴AQ＝AG，∠BAG＝∠DAQ
∵∠PAQ＝45
∴∠BAP+∠DAQ＝∠BAD-∠PAQ＝45
∴∠PAG＝∠BAP+∠BAG＝∠BAP+∠DAQ＝45
∴∠PAG＝∠PAQ
∵AP＝AP
∴△APQ≌△APG（SAS）
∴PQ＝PG
∵PG＝PB+BG＝PB+DQ
∴PB+DQ＝PQ
例5、
例6
例7
（1）根据题意可知，所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．因为在图形内部，所以不能是AC的端点，又由于α≠β，所以不是AC的中点．
（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求．（因为对称的两个图形完全重合）
（3）先连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠
BP1C∴∠AP1B+∠BP1C=180度．∴P1在AC上，同理，P2也在AC上，再利用ASA证明△DP1P2≌△BP1P2而，那么△P1DP2和△P1BP2关于P1P2对称，P是对称轴上的点，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即点P是四边形的半等角点．解答：
解：
（1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点，即给（4分）．
（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求（不写文字说明不扣分）给（3分）．
（说明：
画出的点
P大约是四边形ABCD的半等角点，而无对称的画图痕迹，给
分）
（3）连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意，∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，
∴∠AP1B+∠BP1C=180度．∴P1在AC上，
同理，P2也在AC上．（9分）在△DP1P2和△BP1P2中，
∠DP2P1=∠BP2P1，∠DP1P2=∠BP1P2，P1P2公共，
∴△DP1P2≌△BP1P2．（11分）
所以DP1=BP1，DP2=BP1，DP2=BP2，于是B、D关于AC对称．
设P是P1P2上任一点，连接PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，
所以点P是四边形的半等角点．
例8
证明：
（1）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，由题意知，OE=OF，OB=OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC
∴∠B=∠C，从而AB=AC。
（2）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，EF分别是垂足，由题意知，OE=OF。
在Rt△OEB和Rt△OFC中，∵OE=OF，OB=OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFE。
∴∠OBE=∠OCF，B=OC知∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACD，∴AB=AC。
（3）解：
不一定成立。
注：
当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC；
否则，AB≠AC，如示例图
练习1
3解：
∵等边△ABC、等边△CDE
∴AC=BC，CE=CD，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB=∠ECD=60
∵∠ACE=∠ACB-∠BCE，∠BCD=∠ECD-∠BCE
∴∠BCD=∠ACE
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴∠CBD=∠CAE
∵∠EBD＝62
∴∠CBD＝∠EBD-∠CBD＝62-∠CBE
∴∠CAE＝62-∠CBE
∴∠BAE＝∠BAC-∠CAE＝60-62+∠CBE＝-2+∠CBE∴∠ABE+∠BAE＝60-∠CBE-2+∠CBE＝58∴∠AEB＝180-（∠ABE+∠BAE）＝122
CN＋BM＝MN
延长AC至M1，使CM1＝BM，连结DM1
由已知条件知：
∠ABC＝∠ACB＝60°
，
∠DBC＝∠DCB＝30°
∴∠ABD＝∠ACD＝90°
∵BD＝CD∴Rt△BDM≌Rt△CDM1
∴∠MDB＝∠M1DC，而DM＝DM1
∴∠MDM1＝（120°
－∠MDB）＋∠M1DC＝120°
又∵∠MDN＝60∴∠M1DN＝∠MDN＝60°
∴△MDN≌△M1DN∴MN＝NM1＝NC＋CM1＝CN＋BM
即CN＋BM＝MN
5
（1）证明：
∵∠APB=∠BPC=∠CPA，三角之和是360o
∴∠APB=∠BPC=120o
∴∠PAB+∠PBA=180o-120o=60o
∠ABC=∠PBC+∠PBA=60o
∴∠PAB=∠PBC
∴⊿PAB∽⊿PBC【∠APB=∠BPC，∠PAB=∠PBC】
（2）解：
∵⊿PAB∽⊿PBC
∴PA/PB=PB/PC
推出PB2=PA·
PC=6×
8=48
PB=√48=4√3
6
设∠EDC=x,∠B=∠C=y
∠AED=∠EDC+∠C=x+y
又因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED=x+y
则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y
又因为∠ADC=∠B+∠BAD
所以2x+y=y+30
解得x=15
所以∠EDC的度数是15度
7
1）如图3，
∵△OCD和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，
∴OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°
∴∠4=∠5．
又∵∠4+∠5=∠2=60°
∴∠4=30°
同理∠6=30°
∵∠AEB=∠4+∠6，
∴∠AEB=60°
（2）如图4，
∵△OCD和△ABO都是等边三角形，
∴OD=OC，OB=OA，∠1=∠2=60°
又∵OD=OA，
∴OD=OB，OA=OC，
∴∠4=∠5，∠6=∠7．
∵∠DOB=∠1+∠3，
∠AOC=∠2+∠3，
∴∠DOB=∠AOC．
∵∠4+∠5+∠DOB=180°
，∠6+∠7+∠AOC=180°
∴2∠5=2∠6，
∴∠5=∠6．
又∵∠AEB=∠8-∠5，∠8=∠2+∠6，∴∠AEB=∠2+∠5-∠5=∠2，
8
①可以找出△BAE≌△CAD，条件是AB=AC，DA=EA，∠BAE=∠DAC=90°
+∠CAE．
②由①可得出∠DCA=∠ABC=45°
，则∠BCD=90°
，所以DC⊥BE．解答：
①∵△ABC，△DAE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°
∠BAE=∠DAC=90°
+∠CAE，
在△BAE和△DAC中
∴△BAE≌△CAD（SAS）．②由①得△BAE≌△CAD．
∴∠DCA=∠B=45°
∵∠BCA=45°
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°
∴DC⊥BE．
9
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