圆锥曲线典型例题文档格式.docx
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，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程;
（2）设用=人乔，丙=心丽，证明：
人+几2为常数.
4、椭圆的中心是原点0,它的短轴长为2迈,相应于焦点F（c,0）（c＞0）的准线$（准线方“耳*a桃半「为半轴交于杯H=2|M.^A^
线与椭圆相交于点P、Qo
（1）
（2）
求椭圆方程；
求椭圆的离心率；
（3）
若丽・O0=O,求直线PQ的方程。
•'
・'
・•I・•・•
5.已知力（一2,0）.B（2.0）,点C点〃依次满足IACI=2,AD=—（A3+AC）・
2
（1）求点〃的轨迹方程；
（2）过点月作直线/交以才、〃为焦点的椭圆于•"
、W两点，线段丿側的中点到y轴的
4距离为且直线/与点〃的轨迹相切，求该椭圆的方程.
6、若椭圆二+匚二
crX
=1@＞〃＞0）过点（-3,2）,离心率为』3,00的圆心为原点，直径
为椭圆的短轴，。
\1的方程为（兀一8）2+0—6）2=4,过0M上任一点p作。
0的切线PA、
PB,切点为A、B.（I）求椭圆的方程；
（II）若直线PA与0M的另一交点为Q,当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；
（III）求页•西的最大值与最小值.
7、已知乩〃分别是椭圆二+L=1的左右两个焦点，0为坐标原点，点戶（一1，二）在a2b22
椭圆上，线段削与y轴的交点"
为线段丹的中点。
（1）求椭圆的标准方程；
8、已知曲线G尤尸1,过C上一点儿（x八儿）作一斜率为心=——的直线交曲线C耳+2
于另一点A心（占…儿小），点列儿（〃=1,2,3,…）的横坐标构成数列{xn}9其中
（1）求心与心亠的关系式；
（2）求证：
｛—丄+；
｝是等比数列；
心-23
（3）求证：
（一1）幼+（—1）2七+（-1）33+・+（-1）吸〃vlGwN,nnl）。
9、已知点F（-l,0）和直线/：
x=-2，动点M到点F的距离与到直线/的距离之比为f•
（I）求动点M的轨迹方程；
（II）设过点F的直线交动点M的轨迹于A、B两点，并且线段AB的中点在直线
x+y=0上，求直线AB的方程.
10、设椭圆C：
4+^-=lG/>
0）的左右焦点分别为匚E,A是椭圆C上的一点，且cr2
巫•丽=0,坐标原点O到直线A巧的距离为-\OF｛\.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设0是椭圆C上的一点，过点Q的直线/交X轴于点F（-l,0）,交y轴于点M,若
=求玄线/的斜率.
11、已知动圆过定点A（1,O）,且与直线x=—l相切.
（1）求动圆的圆心轨迹C的方程；
（2）是否存在直线/,使/过点8（0,1）,并与轨迹C交于两点，
（
且满足丽=0若存在，求出直线/的方程；
若不存在，说明理由.
12.设化分别是椭圆—+y2=1的左、右焦点.
4
（I）若P是该椭圆上的一个动点，求碎I•血的最大值和最小值；
（II）设过定点M（0,2）的直线/与椭圆交于不同的两点A、B,求直线/的斜率k的取值范围.
祥细答案
1、解：
（1）当e=时，“=1,c=-,
22
b2=a2-c2=\--=丄，b丄点3（0丄），F（—迺,0）,C（l,0）2分
44222
设0P的方程为（兀一m）2+（y—n）2=r
由OP过点F,B.C得
/.nr+（—-ft）2=r2①
（m+f），+/『=i'
2②
（1—+ir=广（3）5分
由①®
③联立解得加=?
虫，”=1-2的,r2=5了分
444
.••所求的0P的方程为（X—2二5）2+（〉,一匕空）2=丄8分
（2）T0P过点F・B,C三点，.•.圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上,
FC的垂直平分线方程为X——④9分
VBC的中点为（丄上）,kBC=-b
•••BC的垂直平分线方程为y-£
=丄匕一丄）——⑤10分
2b2
由④⑤得％=匕，），=土工，即加=匕£
=冬二£
11分
22b22b
1—cb~—c
在直线x+y=0上，:
.—^―+—=0=>
（1+/?
）（Z?
—c）=0
••T+b>
0:
.b=c^b2=l-c2得沪=一
•••椭圆的方程为
]••«
•»
«
■»
丿?
2.
/b1
F（c,0）,c=J/一I,,2分
由IFBA2,得7（c-V2）2+（0-V2）2=2,
即（c—JJ）2+2=4,解得c=2近。
4分
解：
（1）依题意，设椭圆方程为二+二=l（a>
〃>
0）,则其右焦点坐标为
又•:
b=2.:
.a1=c2+/?
2=12,即椭圆方程为—+—=L……5分
（2）由\AM\=\AN\知点A在线段MN的垂直平分线上,
y=kx-2
由\x2y2.消去y得，+3伙兀一2）2=12
1124
即（l+3k»
-12心=0（♦）7分由kHO,得方程（*）的4=（一12上）2=144/>
0,即方程（*）有两个不相等的实数根。
8分
设M（%,,）'
”（兀2，〉‘2），线段MN的中点P（“，儿），
.I儿）=二，即P（亠，二）•……］。
分
\+3k21+3&
2\+3k2\+3k2
_2,_22
・・・&
H0,•••直线AP的斜率为k严一=-2-2（1+3「）,……］］分
6k
\+3k2
•:
2+2+6&
'
=6，解得：
k=-,即tancr=-,13分
33
又OSgvk,故a=—.或a=—,
66
存在直线/满足题意，其倾斜角a=-9或a=—.……14分
3、解：
（1）由已知，-=——,a2+b2=\6.2分
a3
解得：
/=12上2=4,4分
V2V2
所以椭圆E的方程是：
—+—=1.5分
124
⑵解法1：
设人（壬,儿）,3（兀2，儿）
由题意得：
直线厶的方程为：
y=l-x.直线人的方程为：
y=--x97分
aa
则直线/的方程为：
y=-（x-c）,其中点F的坐标为（c,0）；
8分
b
ry=-xfx=—
由」〉"
得：
丿C，则点P（—9分
I“/、abcc
Iy=-（x-c）ly=-
由PA=A}AF得：
x,-—=^（c-xj，则：
人=——
cc（c-X]）
•>
12分
同理由g丽得二击
解法2：
过P作x轴的垂线川，过人B分别作加的垂线，垂足分别为…6分
直线A的方程为：
y=-x.直线人的方程为：
v=--x,a-a
y=-（x-c）.其中点F的坐标为（c,O）；
b
ra
x=—
C•则直线m为椭圆E的右准线;
ab
^y=-
14分
2分
故人+人=o为常数.
4、解：
（1）由已知得b=近、c=2（-一c）,解得：
云=4卫2=6c
所求椭圆方程为—+—=14分
（2）因a=y/b,c=2,得e=—=-y=-7分
ay/b3
（3）因点A（—,0）BPA（3,0）,设直线PQ方程为y=k（x^3）8分
（4）
则由方程组2：
爲消去用（I曲宀沁+27宀6=。
因OP^OQ=0,得xrv2+>
^^2=0,
又》=«
2（召-3）（®
-3）=鸟2牛2-3/（西+兀2）+9&
2,代入上式得
5、解:
（/）设G〃点的坐标分别为C（x^y0）9〃（兀»
则AC=（x0+2,y0）,
代入I犹1=J（x°
+2）2+元=2中，整理得x2+y2=\,即为所求点〃的轨迹方程.
（刃易知克线/与x轴不垂克，设直线/的方程为y=k（x+2）①.
又设椭圆方程为二+」一=1（/>
4）②.
//_4
咧线5-昨与画宀心相切我掛"
解畛斗
将①代入②整理得，（a2k2+cr-4）x2+4a2k2x+4a2k2-a4+4/=0（3）
将&
2=1代入上式，整理得（/_3），+/x_』/+4/=0,
34
设川（孔*2）,则州+不=-一，
cC_3
由题意有，_=2x土（/>
3），求得/=&
经检验，此时③的判别式△>
（）・
cr—35
故所求的椭圆方程为P务“
（II）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8,6）时，弦PQ最大因为直线PA的斜率一定存在，设直线PA的方程为：
y-6=k（x-8）
又因为PA与圆0相切，所以圆心（0,0）到直线PA的距离为、斤6
卅"
讪S或“罟
所以直线PA的方程为：
x—3y+10=0或13兀一9），一50=0
（III）设ZAOP=a则ZAOP=ZBOP.ZAOB=2a
则cosZAOB=2cos2a-1=2（21）?
一1=_1
OPOP二
•••1"
爲=1°
+2=210円丽=10-2=8
.•刀•辰硕•洒cosW^-K）
7、解：
（1）•••点M是线段PB的中点：
.OM是△PAB的中位线
4分
c=1
.*•<
丄+—=1解得/=2,b2=\.c2=17分
tr2b，
a2=b2+c2
V-
椭圆的标准方程为+y~二18分
（2）V点C在椭圆上，A.〃是椭圆的两个焦点
•••AC+BC=2臼=2>
/2,AB=2c=
因为易=M,而绚=—L2=—2H0,
7州一23
因此数列{一^+丄}是等
心-23
（3）由
（2）可知：
atl=（-2）"
，则©
=2+——1一，
（切匕
（―m—1）〃・2+r
2—（-1）屠
9分
当n为偶数时有：
（一1）”“兀-+（—1）“£
=
112心+r
H
2心+丄2n--（2心+丄）（2“_]）
333311分
于是
①在门为偶数时有:
・•・+丄V1
r
（_1）旺+（-1）2x2+---+（-1）,!
xwv*+右+占+占+
12分
②在/;
为奇数时.前n-l项为偶数项，于是有:
（_1）旺+（_1）2七+・・+（_1）一口心+（_1）"
兀
l+（-l）\vn=l-
心1（2+
T）=—i+—<
1
（-2）"
-
-2,l+-
—
-13分
综合①
②可知
原不等式
得
证
9、解：
（I）设动点M的坐标为（a\y）,由于动点M到点F的距离与到直线/的距离
之比为丰
拽J（x+l）'
+y2_Q
lx+212
化简得：
宁+）7,这就是动点m的轨迹方程.
（II）设直线AB的方程为y=k（x+\）伙HO）,
代入^-+/=1,整理得（\+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0.
•.•直线AB过椭圆的左焦点F,.•.方程有两个不等实根，
41（2
记人（心”）小（大2*2），AB中点P（x（pyo）,则X]+x2=-2
乙K十1
12k2k
忑=尹+花）=-齐，沪心+1*齐’
•••线段AB的中点P在直线x+y=0上，
2k2
2/+1
+2?
+1
当直线AB与x轴垂直时，线段AB的中点F不在直线x+y=O上,
•••直线AB的方程是y=0或x—2y+l=0.14分
10、解：
（I）由题设知斥（―—2,0）迅（_2,0）,其中a>
y/2
由于qE•亦=0，则有A唐丄砧，所以点A的坐标为（冷_2,±
?
）……・・2分a
x
故AFX所在直线方程为y=±
（—==+-）3分
a\]a2—2a
所以坐标原点。
到直线越的距离为悟
Z\OF,I=yja2—2,所以一¥
—=—\ja2—2解得：
a=2.5分
a~3
所求椭圆的方程为卩『1•………7分
（II）由题意可知直线/的斜率存在，设直线斜率为£
直线/的方程为y=R（x+l）,则有M（0,灯9分
设OGwJ,由于0、F、M三点共线，且|M2|=2|er|
Y=—2
根据题意得（召」一幻=±
2（齐+1」）解得彳1，或＜
>
i=T
卜=-斤
（_2f（_b\2（—|）2（石丿
又0在椭圆C上，故+=1或一^_+丄厂=1解得k=o,k=±
综上，直线/的斜率为°
或±
4.14分
11、解：
（1）设M为动圆圆心，由题意知：
IMA\=M到定直线x=-l的距离，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中4（1,0）为焦点，x=—1为准线，•••动圆的圆心M的轨迹C的方程为：
b=4x5分
（2）由題意可设直线/的方程为x=k（y-\）伙HO）,
由]X~k^~^得）,2_4灯,+4^=0y=4%
7分
△=16戸一16«
0=>
£
1或k<
且>
i+〉‘2=4k,yxy2=4k9分
由OPOQ=0=>
x,x2+y}y2=011分
=>
«
2（乃一i）（儿一i）+x儿=°
=>
伙'
+1）X>
‘2一《'
（1+儿）+疋=o
^>
4/:
（^2+l）-^2-4/:
+A:
2=0=>
/;
=^或k=0（舍去）13分
又k=7vO,所以直线/存在，其方程为：
x+4y-4=014分
12、解：
（I）解法一：
易知a=2,b=\,c=*，所以斥（—JJ,O）,耳（J5,0）1分,
设P（x,y）,则所.巫=（—JJ—x,-），）,（JJ—x,—y）=F+b_33分
因为xw[—2,2],故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，•有最小值-2-5分
当x=±
2,即点P为椭圆长轴端点时，所・P可有最大值17分
解法二：
易知a=2、b=\、c=羽,所以斤（―Jl0）迅（x/5,0）1分,
设P（x,y）,则
所•两=阿•阴•cosZFf耳=|两H呵•
牙+>
/J）+y2+（^-
+y2-12=x2+y2-3
3分（以下同解法一）
（II）显然直线x=0不满足題设条件
8分,
可设直线l:
y=kx+2.A^y2）y2）,
联立＜
y=kx+2/
.，消去y,整理得：
疋
2=1
X
——+）广=
由△=（4約2_4伙2+丄）X3=4八一3>
0得：
k>
叵或k<
一止
422
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