∴函数y=f(x)在(a,b)上至多有一个零点.
[探究共研型]
放缩法证明不等式
探究1 若将放大(或缩小),常用哪些方法?
【提示】 将分子或分母放大(缩小):
<(k>1),>,<(k>1),>(k>1)等.
探究2 在整式放缩中,常用到哪些性质?
【提示】 在整式的放缩中,常用到不等式的性质.绝对值不等式、平均值不等式等.如a+b≥2(a,b为正数),a2+b2≥2ab,|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|等.
已知an=2n2,n为正整数,求证:
对一切正整数n,有++…+<.
【精彩点拨】 针对不等式的特点,对其通项进行放缩、列项.
【自主解答】 ∵当n≥2时,an=2n2>2n(n-1),
∴=<=·=,
∴++…+<1+
=1+
=1+=-<,
即++…+<.
放大或缩小时注意要适当,必须目标明确,合情合理,恰到好处,且不可放缩过大或过小,谨慎地添或减是放缩法的基本策略.
[再练一题]
3.求证:
1+++…+<2-(n≥2,n∈为正整数).
【证明】 ∵k2>k(k-1),
∴<=-(k为正整数,且n≥2),
分别令k=2,3,…,n得
<=1-,<=-,…
<=-,
因此1+++…+
<1+++…+
=1+1-=2-,
故不等式1+++…+<2-(n≥2,n为正整数)成立.
[构建·体系]
1.实数a,b,c不全为0的等价条件为( )
A.a,b,c均不为0
B.a,b,c中至多有一个为0
C.a,b,c中至少有一个为0
D.a,b,c中至少有一个不为0
【解析】 实数a,b,c不全为0的含义即是a,b,c中至少有一个不为0,其否定则是a,b,c全为0,故选D.
【答案】 D
2.已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,用反证法求证a>0,b>0,c>0时的假设为( )
A.a<0,b<0,c<0B.a≤0,b>0,c>0
C.a,b,c不全是正数D.abc<0
【答案】 C
3.已知a,b,c,d都是正数,S=+++,则有( )
A.S<1B.S>1
C.S>2D.以上都不对
【解析】 S>(a+b+c+d)=1.
【答案】 B
4.已知a为正数,则,,从大到小的顺序为__________.
【导学号:
94910024】
【解析】 ∵+>+=2,
+<+=2,
∴2<+<2,
∴>>.
【答案】 >>
5.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R.
(1)若a+b≥0,求证:
f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);
(2)判断
(1)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论.
【证明】
(1)∵a+b≥0,
∴a≥-b.
由已知f(x)的单调性得:
f(a)≥f(-b).
又a+b≥0⇒b≥-a⇒f(b)≥f(-a).
两式相加即得:
f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
(2)命题
(1)的逆命题为:
若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.
逆命题成立.下面用反证法证之.
假设a+b<0,那么:
⇒f(a)+f(b)这与已知矛盾,故只有:
a+b≥0.逆命题得证.
我还有这些不足:
(1)
(2)
我的课下提升方案:
(1)
(2)
学业分层测评(八)
(建议用时:
45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,则( )
A.∠B= B.∠B<
C.∠B>D.∠B=
【解析】 假设∠B≥,则b最大,有b>a,b>c,
∴>,>.
∴+>,与题意中的+=矛盾.
∴∠B<.
【答案】 B
2.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )
①否定原结论的假设;②原命题的条件;
③公理、定理、定义等;④原结论.
A.①② B.①②④
C.①②③D.②③
【解析】 由反证法的推理原理可知,反证法必须把结论的相反情况作为条件应用于推理,同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等.
【答案】 C
3.用反证法证明命题“如果a>b,那么>”时,假设的内容是( )
A.=B.<
C.=且【解析】 应假设≤,即=或<.
【答案】 D
4.已知p=a+,q=-a2+4a(a>2),则( )
A.p>qB.pC.p≥qD.p≤q
【解析】 ∵p=(a-2)++2,
又a-2>0,
∴p≥2+2=4,而q=-(a-2)2+4,
根据a>2,可得q<4,∴p>q.
【答案】 A
5.设M=+++…+,则( )
A.M=1B.M<1
C.M>1D.M与1大小关系不定
【解析】 M=+++…+<==1.故选B.
【答案】 B
二、填空题
6.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,假设应为__________.
【解析】 “至少有一个不大于”的反面应是“都大于”.
【答案】 假设三内角都大于60°
7.若a>b>0,m>0,n>0,则,,,,按由小到大的顺序排列为________.
【解析】 由不等式a>b>0,m>0,n>0,知<<1,且<<1,
得>>1,
即1<<.
【答案】 <<<
8.设x>0,y>0,A=,B=+,则A,B的大小关系为__________.
【导学号:
94910025】
【解析】 B=+>+==A,即A【答案】 A
三、解答题
9.已知a>0,b>0,且a+b>2,
求证:
,中至少有一个小于2.
【证明】 假设,都不小于2,
则≥2,≥2.
∵a>0,b>0,
∴1+b≥2a,1+a≥2b,
∴2+a+b≥2(a+b),即2≥a+b,
这与a+b>2矛盾.
故假设不成立.即,中至少有一个小于2.
10.已知△ABC三边长是a,b,c,且m是正数,求证:
+>.
【证明】 设f(x)==1-(x>0,m>0).
易知函数f(x)(x>0)是增函数.
则f(a)+f(b)=+
>+
=
=f(a+b).
又在△ABC中,a+b>c>0,
∴f(a+b)>f(c)=,
∴+>.
[能