42与圆有关的位置关系.docx

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42与圆有关的位置关系

与圆有关的位置关系

重点、难点：

1、重点：

⑴点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的判断；

⑵三角形外接圆、三角形内切圆的性质特征，以及它们的联系与区别；

⑶圆的切线的性质及识别.

2、难点：

⑴掌握圆的切线的判定方法及性质特征；

⑵理解圆与圆的位置关系的形成过程；

⑶充分认识基本图形在证、解题中的作用，正确恰当地根据基本规律来添加辅助线.

知识梳理：

（一）点与圆的位置关系

1、点与圆的位置关系

如图，设⊙O的半径为r，①若点A在⊙O内，则OA＜r；反过来，若OA＜r，则点A在⊙O内．②若点B在⊙O上，则OB=r；反过来，若OB=r，则点B在⊙O上．③若点C在⊙O外，则OC＞r；反过来，若OC＞r，则点C在⊙O外．（圆心只是用来确定圆的位置，圆心不是圆的一个部分，圆心在圆内．）

2、过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆．如上图示，过三点Ａ、Ｂ、Ｃ所作的圆Ｏ的圆心在线段ＡＢ、ＢＣ的垂直平分线的交点处．如果A、B、C三点在一条直线上，不能画出经过这三点的圆．因为AB、BC的垂直平分线互相平行，没有交点，所以过同一直线上的三点不能画圆

（二）直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系的特征与识别

直线与圆的位置关系

相离

相切

相交

图示

直线与圆的公共点个数

0

1

2

圆心到直线的距离d和半径r的关系

d＞r

d=r

d＜r

公共点名称

无

切点

交点

直线名称

无

切线

割线

（三）切线

1、切线的判定和性质

切线的判定定理：

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径

注意：

要识别直线是否为圆的切线，常用以下两种方法：

①到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．如果直线和圆的公共点没有确定，则过圆心，作已知直线的垂线段，再证这条垂线段等于半径，即“作垂线证半径”．

②经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．即已知直线与圆有一个公共点时，连结这点和圆心再证直线与这条半径垂直，简称：

“连半径证垂直”；

切线的性质定理也有两个推论：

①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

2、切线长与切线长定理

圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．下图中PA、PB的长就是点P到⊙O的切线长．

由前面的知识可知，过圆上一点可以引一条直线与圆相切，所以有：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．

即：

如上图，因为PA、PB是⊙O的切线，所以PA＝PB，∠APO＝∠BPO．

3、三角形与圆

经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点．

（四）圆与圆的位置关系

如果设两圆的半径为、，两圆的圆心距为d，则圆与圆的位置关系与数量关系如下表

【典型例题】

例1、如图，已知⊙O的半径为r＝10，圆心O到直线l的距离OD＝6，在直线上有A、B、C三点，且AD＝6，BD＝8，CD＝5．问A、B、C三点对于⊙O的位置关系各是怎样?

分析：

只要计算出这些点到圆心的距离，看其是大于、等于还是小于圆的半径，就可以相应得出点在圆外、圆上、圆内的位置关系来．

解：

连结OA，在Rt△AOD中，

＜10，即OA＜r，则点A在⊙O内；

同理，，即OB=r，则点B在⊙O上；

＞10，即OC＞r，则点C在 ⊙O外．

例2、在平面直角坐标系中，以A（1，2）为圆心的圆的半径满足下列条件时，分别求出其半径的取值范围：

⑴与坐标轴只有唯一交点；⑵与坐标轴只有两个交点；⑶与坐标轴只有三个交点；⑷与坐标轴有四个交点．

分析：

因为点A到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，所以与坐标轴只有唯一交点，就是与y轴相切而与x轴相离；与坐标轴只有两个交点，就是与y轴相交而与x轴相离；与坐标轴只有三个交点，就是与y轴相交而与x轴相切；与坐标轴有四个交点，就是与x轴、y轴都相交．

解：

⑴r＝1；⑵1＜r＜2；⑶r＝2或r＝；⑷r＞2且r≠．

例3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC=3，若以C为圆心画⊙C，当⊙C的半径r为多少时?

⊙C与线段AB的交点分别为0个、1个、2个．

分析：

首先要审清题意，不能误以为⊙C与直线AB的交点分别为0个、1个、2个．⑴⊙C与线段AB的交点分别为0个，有两种情况：

⊙C与直线AB相离或点A在⊙C内而点B也在⊙C内；⑵⊙C与线段AB的交点分别为1个，有两种情况：

⊙C与直线AB相切或点B在⊙C内而点A在⊙C外；⑶⊙C与线段AB的交点分别为2个，有两种情况：

线段AB与⊙C相交或点A在⊙C外而点B和线段AB上其它一点在⊙C上．

解：

先求点C到AB的距离d，利用Rt△ABC的面积的两种求法来求出CD的长，

因为　AB＝

而S△ABC＝AB·CD＝AC·BC

所以　5CD＝3×4，　CD＝＝2.4

所以当⊙C的半径r满足r﹤2.4或r﹥4时，⊙C与线段AB的交点分别为0个；当⊙C的半径r满足r=2.4或3﹤r﹤4时，⊙C与线段AB的交点分别为1个；当⊙C的半径r满足2.4﹤r≤3时，⊙C与线段AB的交点分别为2个．

例4、如图，C是⊙O的直径延长线上一点，D是⊙O上一点，且AD＝CD，∠C＝30°，DC是⊙O的切线吗?

为什么?

分析：

要说明一条直线是圆的切线，需要有两个条件：

⑴经过半径的外端，⑵垂直于这条半径．此题中已知点Ｄ在圆上，则只须说明该直线垂直于过这一点的半径；由D是⊙O上一点，因此连结OD，判断OD与DC是否垂直即可．

解：

DC是⊙O的切线

理由如下：

连结OD

　　因为　AD＝CD

　　所以　∠A＝∠C

　　因为　OA＝OD，∠C＝30°

　　所以　∠ODA＝∠A＝∠C＝30°

　　因为　∠DOC＝∠A＋∠ODA＝60°

　　所以　∠ODC＝90°

　　所以　DC是⊙O的切线．

例5、已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB是⊙O的直径，且AB＝AD+BC，试说明：

CD是⊙O的切线．

分析：

要说明一条直线是圆的切线，有两种方法，此题因为不知CD是否过⊙O上的点，所以要说明CD是⊙O的切线，只好说明圆心O到直线CD的距离等于⊙O的半径．

证明：

过O作OE⊥CD，垂足为E，

则OE∥AD∥BC．

又AO＝BO，所以DE＝CE．

所以OE是梯形ABCD的中位线，

所以．

又因为AB＝AD+BC，所以．

即圆心O到直线CD的距离OE等于⊙O的半径，所以CD是⊙O的切线．

例6、下列结论正确的是（）．

A、垂直于圆的半径的直线是圆的切线

B、经过半径外端的直线是圆的切线

C、直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线

D、到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线

分析：

因为经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，需要有两个条件：

（1）经过半径的外端，

（2）垂直于这条半径，所以A、B都不对；又因为到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线，这是一个点到直线的距离，所以C也不对，只有D是正确的．故选D

例7、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，AB＝12，BC＝14，CA＝18，求AE、BF、CD的长．

分析：

三角形的三边及内切圆构成了切线长定理的基本图形，此题可利用构造方程组来解几何题．

解：

设AE＝x，BF＝y，CD＝z．由切线长定理知，AE＝AD，BF＝BE，CD＝CF，

所以解得

答：

AE＝8，BF＝4，CD＝10．

例8、两圆半径是R和r（R＞r），圆心距是d，且R2＋d2－r2=2dR，则两圆的位置关系为（）

A、相交B、内切C、外切D、内切或外切

分析：

根据R2＋d2－r2=2dR这一已知条件，来推出圆心距d与两圆的半径R和r之间的大小关系，从而得出两圆的位置关系．

因为R2＋d2－r2=2dR所以R2－2dR＋d2=r2即（R－d）2=r2，r=±（R－d）

所以d=R－r或d=R＋r，故选D

例9、如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，D是线段BC上一点，E是直线AD和△ABC外接圆的交点．

⑴试说明AB2＝AD·AE．

⑵当D为BC延长线上一点时，第

（1）题中的结论成立吗?

若成立，试说明；若不成立，请说明理由．

分析：

⑴因为点E也在⊙O上，利用“在同圆或等圆中，如果两弦相等，则其所对的两弧相等，此时两弧所对的圆周角相等”和相似三角形的性质可解此题．

⑵很多图形条件变动后，结论却不变，此题一样，此为中考热点．

解：

⑴连结BE，因为AB＝AC，所以＝，

所以∠ABD＝∠E，又∠1＝∠1，

所以△ABD∽△AEB，

所以即AB2＝AD·AE．

⑵图形变化后，结论仍成立．

连结BE，因为AB＝AC，所以＝，

所以∠ABD＝∠AEB，又∠BAE＝∠BAE，

所以△ABD∽△AEB，所以

即AB2＝AD·AE．

例10、如图，⊙I是△ABC的内切圆，AB＝9，BC＝8，CA＝10，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE为⊙I的切线，求△ADE的周长．

分析：

利用从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等这一定理来解答此题．注意弄清图形中的一些相等的线段．

解：

设DE、AB、BC、CA分别与⊙I相切于点F、H、G、K．

则DF＝DH，BH＝BG，CG＝CK，EK＝EF，

所以△ADE的周长＝AH＋AK＝AB＋CA－BC＝11．

例11、如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AC切⊙O1于点A，交⊙O2于点C；BD切⊙O2于点B，交⊙O1于点D，连结AB、AD、BC．

⑴试说明：

AB2＝AD·BC

⑵若∠C＝∠D，问四边形ADBC是什么四边形?

请加以说明．

分析：

要说明AB2＝AD·BC，只要说明，即说明△ABD∽△BCA，所以只要找∠2＝∠D，∠1＝∠C．由于第一问中得到了△ABD∽△BCA，建立了角相等的对应关系，因此在说明ADBC的归属时，只须利用“两组对角分别相等的四边形为平行四边形”即可．

解：

⑴因为　AC切⊙O1于点A

　　所以　∠2＝∠D

　　因为　BD切⊙O2于点B

　　所以　∠1＝∠C

　　所以△ABD∽△BCA

　　所以　

　　所以　AB2＝AD·BC

　　⑵若∠C＝∠D，则四边形ADBC是平行四边形

理由如下：

因为　△ABD∽△BCA

　　所以　∠3＝∠4

　　又因为　∠C＝∠D

　　所以　∠2＝∠1

所以　∠DBC＝∠DAC

所以　四边形ADBC是平行四边形

说明：

弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，这是一个相当有用的判别两个角相等关系的定理，其关系可以通过作出直径，可用同角的余角相等来证明，平时做题时我们可以直接运用．

【模拟试题】（答题时间：

40分钟）

1、已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP=6时，点A与⊙O的位置关系为（）

A、点在圆内B、点在圆上C、点在圆外D、不能确定

2、⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为，则点P与⊙O的位置关系是（）

A、点P在⊙O内B、点P在⊙O上C、点P在⊙O外D、不确定

3、已知，如图，等边△ABC的边长为2cm，下列以A为圆心的各圆中，半径是3cm的圆是（）

4、I为△ABC的内心，如果∠ABC+∠ACB=100°，那么∠BIC等于（）

A、80°