因式分解竞赛题含答案48919.docx

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因式分解竞赛题含答案48919

因式分解

一、导入：

有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石

头。

甲就笑乙：

“你为什么只挑一个啊？

”乙说：

“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。

”

甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头！

启示：

人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。

二、知识点回顾：

1运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如:

22

⑴a-b=（a+b）（a-b）;

099

（2）a±2ab+b=（a±b）;

（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）;

（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）.

下面再补充几个常用的公式：

（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2;

3.332.22

（6）a+b+c-3abc=（a+b+c）（a+b+c-ab-bc-ca）;

（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；

（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；

nnn-1n-2n-32n-2n-1r「

（9）a+b=（a+b）（a-ab+ab-…-ab+b），其中n为奇数.

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.

三、专题讲解

例1分解因式：

5n-1n3n-1n+2n-1n+4333

（1）-2xy+4xy-2xy；

（2）x-8y-z-6xyz;

解

（1）原式=-2xn-1yn（x4n-2x2ny2+y4）

=-2xn-1yn[（x2n）2-2x2ny2+（y2）2]

=-2xn-1yn（xn-y）2（xn+y）2.

⑵原式=x3+（-2y）3+（-z）3-3x（-2y）（-Z）

222

=（x-2y-z）（x+4y+z+2xy+xz-2yz）.

例2分解因式：

a3+b3+c3-3abc.

⑹.

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式

分析我们已经知道公式

33223

（a+b）=a+3ab+3ab+b

的正确性，现将此公式变形为

3.33

a+b=（a+b）-3ab（a+b）.

这个•式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导.

I”，33

解原式=（a+b）-3ab（a+b）+c-3abc

=:

（a+b）3+c3]-3ab（a+b+c）

22

=（a+b+c）[（a+b）-c（a+b）+c]-3ab（a+b+c）

222

=（a+b+c）（a+b+c-ab-bc-ca）.

说明公式（6）是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：

我们将公式（6）变形为

a+b+c-3abc

显然，当a+b+c=0时，贝Ua3+b3+c3=3abc;当a+b+c>0时，贝Ua3+b3+c3-3abc>0,即卩a3+b3+c3>3abc,

而且，当且仅当a=b=c时，等号成立.

如果令x=a3>0,y=b3>0,z=c3>0,则有

等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.

※※变式练习

1分解因式：

X15+X14+X13+…+x2+x+1.

分析这个多项式的特点是：

有16项，从最高次项X15开始，x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解.

解因为

161514132

x-1=（x-1）（x+x+x+…x+x+1）,

所以

说明在本题的分解过程中，用到先乘以（x-1），再除以（x-1）的技巧，这一技巧在等式变形中很常用.

2.拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或

将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵

消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为

拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.

例3分解因式：

x3-9x+8.

分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与

技巧.

解法1将常数项8拆成-1+9.

原式=x3-9x-1+9

/3

=（x-1）-9x+9

2

=（x-1）（x2+x+1）-9（x-1）

2

=（x-1）（x2+x-8）．

解法2将一次项-9x拆成-x-8x．

3原式=x-x-8x+8

3

=（x-x）+（-8x+8）

=x（x+1）（x-1）-8（x-1）

=（x-1）（x2+x-8）．

解法3将三次项x拆成9x-8x3．

33

原式=9x-8x-9x+8

33

=（9x3-9x）+（-8x+8）

2

=9x（x+1）（x-1）-8（x-1）（x2+x+1）

=（x-1）（x2+x-8）．

解法4添加两项-x2+x．

原式=x-9x+8

322=x-x+x-9x+8

2

=x2（x-1）+（x-8）（x-1）

2

=（x-1）（x2+x-8）．

说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主

要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．※※变式练习

1分解因式：

（1）x+x6+x3-3；

22

（2）（m-1）（n-1）+4mn；

4224

（3）（x+1）4+（x2-1）2+（x-1）4；

3322

（4）ab-ab+a+b+1．

解

（1）将-3拆成-1-1-1．

963原式=x+x+x-1-1-1

963

=（x9-1）+（x6-1）+（x3-1）

363333

=（x3-1）（x6+x3+1）+（x3-1）（x3+1）+（x3-1）

2222

=（mn+2mn+1）-（m-2mn+n）

22

=（mn+1）-（m-n）=（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）．

（3）将（x2-1）2拆成2（x2-1）2-（x2-1）【原式=（x+1）4+2（x2-1）2-（x2-1）2+（x-1）4

422422

=[（x+1）4+2（x+1）2（x-1）2+（x-1）4]-（x2-1）2

22222

=[（x+1）2+（x-1）2]2-（x2-1）2

222222

=（2x2+2）2-（x2-1）2=（3x2+1）（x2+3）．

（4）添加两项+ab-ab．

原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab

3322

=（ab-ab）+（a-ab）+（ab+b+1）

2

=ab（a+b）（a-b）+a（a-b）+（ab+b2+1）

2

=a（a-b）[b（a+b）+1]+（ab+b2+1）

=[a（a-b）+1]（ab+b2+1）

22

=（a2-ab+1）（b2+ab+1）．

说明（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab,而且添

加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到

拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．

3．换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

22

例4分解因式：

（x2+x+1）（x2+x+2）-12．

分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难•我们不妨将x2+x看作一个整体，并用

字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了.

解设x2+x=y，则

2

原式=（y+1）（y+2）-12=y2+3y-10

22

=（y-2）（y+5）=（x2+x-2）（x2+x+5）

2

=（x-1）（x+2）（x2+x+5）．

22

说明本题也可将x+x+1看作一个整体，比如今x+x+1=u,一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学

不妨试一试．

例5分解因式：

（x2+3x+2）（4x2+8x+3）-90．

分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．

解原式=（x+1）（x+2）（2x+1）（2x+3）-90

=[（x+1）（2x+3）][（x+2）（2x+1）]-90

22

=（2x2+5x+3）（2x2+5x+2）-90．

2

令y=2x+5x+2，则

2

原式=y（y+1）-90=y+y-90

=（y+10）（y-9）

22

=（2x2+5x+12）（2x2+5x-7）

=（2x2+5x+12）（2x+7）（x-1）．

说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元（y）的基础．

※※变式练习

1.分解因式：

222

（x2+4x+8）2+3x（x2+4x+8）+2x2．

解设x2+4x+8=y，则

22

原式=y2+3xy+2x2=（y+2x）（y+x）

22

=（x2+6x+8）（x2+5x+8）

2

=（x+2）（x+4）（x2+5x+8）．

说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．

1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也

可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

22

2x2-（5+7y）x-（22y2-35y+3），

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

2

即：

-22y+35y-3=（2y-3）（-11y+1）.

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以，原式=[x+（2y-3）][2x+（-11y+1）]=（x+2y-3）（2x-11y+1）．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

它表示的是下面三个关系式：

22

（x+2y）（2x-11y）=2x2-7xy-22y2；

（x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；

2

（2y-3）（-11y+1）=-22y2+35y-3．

这就是所谓的双十字相乘法.

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

（1）用十字相乘法