历届经典全国自主招生考试数学类试题集锦带答案解析.docx
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历届经典全国自主招生考试数学类试题集锦带答案解析
历届经典全国自主招生考试--数学类试题集锦（带答案、解析）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2013湖南，理1）复数z＝i·（1＋i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：
B
解析：
z＝i＋i2＝－1＋i，对应点为（－1,1），故在第二象限，选B．
2．（2013湖南，理2）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）．
A．抽签法B．随机数法
C．系统抽样法D．分层抽样法
答案：
D
解析：
看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异，应当分层抽取，故宜采用分层抽样．
3．（2013湖南，理3）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于（ ）．
A．B．C．D．
答案：
D
解析：
由2asinB＝b得2sinAsinB＝sinB，故sinA＝，故A＝或.又△ABC为锐角三角形，故A＝.
4．（2013湖南，理4）若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是（ ）．
A．B．0C．D．
答案：
C
解析：
约束条件表示的可行域为如图阴影部分．
令x＋2y＝d，即，
由线性规划知识可得最优点为，所以dmax＝.
5．（2013湖南，理5）函数f（x）＝2lnx的图象与函数g（x）＝x2－4x＋5的图象的交点个数为（ ）．
A．3B．2C．1D．0
答案：
B
解析：
设f（x）与g（x）图象的交点坐标为（x，y），
则y＝2lnx，y＝x2－4x＋5，联立得2lnx＝x2－4x＋5，令h（x）＝x2－4x＋5－2lnx（x＞0），
由h′（x）＝2x－4－＝0得x1＝，x2＝（舍）．
当h′（x）＜0时，即x∈（0,）时，h（x）单调递减；
当h′（x）＞0，即x∈（，＋∞）时，h（x）单调递增．
又∵h
（1）＝2＞0，h
（2）＝1－2ln2＜0，h（4）＝5－2ln4＞0，
∴h（x）与x轴必有两个交点，故答案为B．
6．（2013湖南，理6）已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是（ ）．
A．[，]B．[，]
C．[1，]D．[1，]
答案：
A
解析：
由题意，不妨令a＝（0,1），b＝（1,0），c＝（x，y），由|c－a－b|＝1得（x－1）2＋（y－1）2＝1，|c|＝可看做（x，y）到原点的距离，而点（x，y）在以（1,1）为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点（x，y）在位置P时到原点的距离最近，在位置P′时最远，而PO＝，P′O＝，故选A．
7．（2013湖南，理7）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）．
A．1B．C．D．
答案：
C
解析：
根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为cosθ，如图所示．
故正视图的面积为S＝cosθ（0≤θ≤），
∴1≤S≤，
而，故面积不可能等于.
8．（2013湖南，理8）在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ）．
A．2B．1C．D．
答案：
D
解析：
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示．
则A（0,0），B（4,0），C（0,4）．
设△ABC的重心为D，则D点坐标为.
设P点坐标为（m,0），则P点关于y轴的对称点P1为（－m,0），因为直线BC方程为x＋y－4＝0，所以P点关于BC的对称点P2为（4,4－m），根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，
∴，
即，
解得，m＝或m＝0.
当m＝0时，P点与A点重合，故舍去．
∴m＝.
二、填空题：
本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．
（一）选做题（请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
9．（2013湖南，理9）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：
（t为参数）过椭圆C：
（φ为参数）的右顶点，则常数a的值为__________．
答案：
3
解析：
由题意知在直角坐标系下，直线l的方程为y＝x－a，椭圆的方程为，所以其右顶点为（3,0）．由题意知0＝3－a，解得a＝3.
10．（2013湖南，理10）已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为__________．
答案：
12
解析：
由柯西不等式得（12＋12＋12）（a2＋4b2＋9c2）≥（a＋2b＋3c）2，
即a2＋4b2＋9c2≥12，当a＝2b＝3c＝2时等号成立，所以a2＋4b2＋9c2的最小值为12.
11．（2013湖南，理11）如图，在半径为的O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为__________．
答案：
解析：
如图所示，取CD中点E，连结OE，OC．
由圆内相交弦定理知PD·PC＝PA·PB，
所以PC＝4，CD＝5，则CE＝，OC＝.
所以O到CD距离为OE＝.
（二）必做题（12～16题）
12．（2013湖南，理12）若x2dx＝9，则常数T的值为__________．
答案：
3
解析：
∵＝x2，
∴x2dx＝x3＝T3－0＝9，∴T＝3.
13．（2013湖南，理13）执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为__________．
答案：
9
解析：
输入a＝1，b＝2，不满足a＞8，故a＝3；
a＝3不满足a＞8，故a＝5；
a＝5不满足a＞8，故a＝7；
a＝7不满足a＞8，故a＝9，满足a＞8，终止循环．输出a＝9.
14．（2013湖南，理14）设F1，F2是双曲线C：
（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为__________．
答案：
解析：
不妨设|PF1|＞|PF2|，由可得
∵2a＜2c，∴∠PF1F2＝30°，
∴cos30°＝，
整理得，c2＋3a2－ac＝0，即e2－e＋3＝0，∴.
15．（2013湖南，理15）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝（－1）nan－，n∈N*，则
（1）a3＝__________；
（2）S1＋S2＋…＋S100＝__________.
答案：
（1）
（2）
16．（2013湖南，理16）设函数f（x）＝ax＋bx－cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0.
（1）记集合M＝{（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为__________；
（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）
①x∈（－∞，1），f（x）＞0；
②x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则x∈（1,2），使f（x）＝0.
答案：
（1）{x|0＜x≤1}
（2）①②③
三、解答题：
本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2013湖南，理17）（本小题满分12分）已知函数，g（x）＝2.
（1）若α是第一象限角，且f（α）＝，求g（α）的值；
（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．
解：
＝sinx－cosx＋cosx＋sinx
＝sinx，
g（x）＝2＝1－cosx.
（1）由f（α）＝得sinα＝.
又α是第一象限角，所以cosα＞0.
从而g（α）＝1－cosα＝1－
＝.
（2）f（x）≥g（x）等价于sinx≥1－cosx，即sinx＋cosx≥1.
于是.
从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.
故使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合为
.
18．（2013湖南，理18）（本小题满分12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：
kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
（2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
解：
（1）所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为.
（2）先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．
因为P（Y＝51）＝P（X＝1），P（Y＝48）＝P（X＝2），P（Y＝45）＝P（X＝3），P（Y＝42）＝P（X＝4），
所以只需求出P（X＝k）（k＝1,2,3,4）即可．
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k＝1,2,3,4），则
n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.
由P（X＝k）＝得
P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝.
故所求的分布列为
Y
51
48
45
42
P
所求的数学期望为
E（Y）＝51×＋48×＋45×＋42×＝＝46.
19．（2013湖南，理19）（本小题满分12分）如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
（1）证明：
AC⊥B1D；
（2）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
解法1：
（1）如图，因为BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以AC⊥BB1.
又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D．
而B1D平面BB1D，所以AC⊥B1D．
（2）因为B1C1∥AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角（记为θ）．
如图，连结A1D，因为棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，所以A1B1⊥平面ADD1A1.
从而A1B1⊥AD1.
又AD＝AA1＝3，所以四边形ADD1A1是正方形，于是A1D⊥AD1.
故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D．
由
（1）知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ.
在直角梯形ABCD中，因为AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB．从而Rt△ABC∽Rt△DAB，
故.即AB＝.
连结AB1，易知△AB1D是直角三角形，
且B1D2＝BB12＋BD2＝BB12＋AB2＋AD2＝21，
即B1D＝.
在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝，即cos（90°－θ）＝.
从而sinθ＝.
即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
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