离散数学结构 第3章 命题逻辑的推理理论复习Word格式.docx
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B
在判断推理是否正确时，用②；
在P系统中构造证明时用③。
熟练掌握判断推理是否正确的三种方法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）。
牢记P系统中的各条推理规则。
对于给定的正确推理，要求在P系统中给出严谨的证明序列。
5.
会用附加前提证明法和归谬法。
3.1推理的形式结构
定义3.1设A1,A2,…,Ak和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,Ak和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2∧…∧Ak为假，或者当A1∧A2∧…∧Ak为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,Ak推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。
二、有效推理的等价定理
定理3.1命题公式A1,A2,…,Ak推B的推理正确当且仅当
（A1∧A2∧…∧Ak）→B
为重言式。
Ak为假，或者A1∧A2∧…∧Ak和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。
由此定理知，推理形式：
前提：
A1,A2,…,Ak
结论：
B
是有效的当且仅当（A1∧A2∧…∧Ak）→B为重言式。
（A1∧A2∧…∧Ak）→B称为上述推理的形式结构。
从而推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。
于是，推理正确
{A1,A2,…,Ak}
可记为
A1∧A2∧…∧Ak
其中
同
一样是一种元语言符号，用来表示蕴涵式为重言式。
而判断命题公式永真性有三个方法：
1．真值表法
2．等值演算法
3．主析取范式法
三、重言蕴涵式
由上一个小节可以看出：
形如A→B的重言式在推理中十分重要。
若A→B为重言式，则称B为A的推论，记为A
B，下面是几个重要的重言蕴涵式及其名称
1．A
（A∨B）
附加律
2.（A∧B）
A
化简律
3.（A→B）∧A
B
假言推理
4.（A→B）∧┐B
┐A
拒取式
5.（A∨B）∧┐B
析取三段论
6.（A→B）∧（B→C）
（A→C）
假言三段论
7.（A
B）∧（B
C）
（A
C）
等价三段论
8.（A→B）∧（C→D）∧（A∨C）
（B∨D）
构造性二难
（A→B）∧（┐A→B）∧（A∨┐A）
B
构造性二难（特殊形式）
9.（A→B）∧（C→D）∧（┐B∨┐D）
（┐A∨┐C）
破坏性二难
这几个蕴涵式在下节中将起重要的作用。
3.2自然推理系统P
一、形式推理系统
我们将前述推理用更严谨的形式推理系统描述出来。
定义3.2一个形式系统I由下面四个部分组成：
（1）非空的字符表集，记作A（I）。
（2）A（I）中符号构造的合式公式集，记作E（I）。
（3）E（I）中一些特殊的公式组成的公理集，记作AX（I）。
（4）推理规则集，记作R（I）。
可以将I记为<
A（I）,E（I）,AX（I）,R（I）>
.其中<
A（I）,E（I）>
是I的形式语言系统，<
AX（I）,R（I）>
为I的形式演算系统。
形式系统一般分为两类。
一类是自然推理系统，它的特点是从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，得到的最后命题公式是推理的结论（有时称为有效的结论，它可能是重言式，也可能不是）。
另一类是公理推理系统，它只能从若干给定的公理出发，应用系统中推理规则进行推理演算，得到的结论是系统中的重言式，称为系统中的定理。
二、自然推理系统P
P是一个自然推理系统，因而没有公理。
故P只有三个部分。
定义3.3自然推理系统P定义如下：
1．字母表
（1）命题变项符号：
p，q，r，…,pi，qi，ri，…
（2）联结词符号：
┐,∧,∨,→,
（3）括号和逗号：
（,），，
2．合式公式同定义1.6
3．推理规则
（1）前提引入规则：
在证明的任何步骤上都可以引入前提。
（2）结论引入规则：
在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为后继证明的前提。
（3）置换规则：
在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中的又一个公式。
由九条推理定律和结论引入规则还可以导出以下各条推理定律。
（4）假言推理规则（或称分离规则）：
若证明的公式序列中已出现过A→B和A，则由假言推理定律（A→B）∧A
B可知，B是A→B和A的有效结论。
由结论引入规则可知，可将B引入到命题序列中来。
用图式表示为如下形式：
以下各条推理定律直接以图式给出，不再加以说明。
（5）附加规则：
（6）化简规则：
（7）拒取式规则：
（8）假言三段论规则：
（9）析取三段论规则：
（10）构造性二难推理：
（11）破坏性二难推理规则：
（12）合取引入规则：
本条规则说明，若证明的公式序列中已出现A和B，则可将A∧B引入序列中。
这就完成了P的定义。
三、P中的证明
P中的证明就是由一组P中公式作为前提，利用P中的规则，推出结论。
当然此结论也为P中公式。
例在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
（1）前提：
p∨q,q→r,p→s,┐s
r∧（p∨q）
（2）前提：
┐p∨q,r∨┐q,r→s
p→s
解
（1）证明：
①p→s
前提引入
②┐s
③┐p
①②拒取式
④p∨q
前提引入
⑤q
③④析取三段论
⑥q→r
⑦r
⑤⑥假言推理
⑧r∧（p∨q）⑦④合取
此证明的序列长为8，最后一步为推理的结论，所以推理正确，r∧（p∨q）是有效结论。
（2）证明：
①┐p∨q
②p→q
①置换
③r∨┐q
④q→r
③置换
⑤p→r
②④假言三段论
⑥r→s
⑦p→s
⑤⑥假言三段论
从最后一步可知推理正确，p→s是有效结论。
可以在自然推理系统P中构造数学和日常生活中的一些推理，所得结论都是有效的，即当各前提的合取式为真时，结论必为真。
例在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
若数a是实数，则它不是有理数就是无理数；
若a不能表示成分数，则它不是有理数；
a是实数且它不能表示成分数。
所以a是无理数。
解首先将简单命题符号化：
设p：
a是实数。
q：
a是有理数。
r：
a是无理数。
s：
a能表示成分数。
p→（q∨r）,┐s→┐q,p∧┐s
r
证明：
①p∧┐s
②p
①化简
③┐s
④p→（q∨r）前提引入
⑤q∨r
②④假言推理
⑥┐s→┐q
前提引入
⑦┐q
③⑥假言推理
⑧r
⑤⑦析取三段论
P中证明的两个常用技巧：
1．附加前提证明法
2．归谬法
四、附加前提法
有时推理的形式结构具有如下形式
（A1∧A2∧…∧Ak）→（A→B）
（3.5）
（3.5）式中结论也为蕴涵式。
此时可将结论中的前件也作为推理的前提，使结论只为B。
即，将（3.5）化为下述形式
（A1∧A2∧…∧Ak∧A）→B
（3.6）
其正确性证明如下：
（A1∧A2∧…∧Ak）→（A→B））
┐（A1∧A2∧…∧Ak）∨（┐A∨B）
┐（A1∧A2∧…∧Ak∨┐A）∨B
┐（A1∧A2∧…∧Ak∧A）∨B
（A1∧A2∧…∧Ak∧A）→B
因为（3.5）式与（3.6）式是等值的，因而若能证明（3.6）式是正确的，则（3.5）式也是正确的。
用形式结构（3.6）式证明，将A称为附加前提，并称此证明法为附加前提证明法。
例在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影；
小赵不去看电影或小张去看电影；
小王去看电影。
所以，当小赵去看电影时，小李也去看电影。
解将简单命题符号化：
设p:
小张去看电影。
q:
r:
小李去看电影。
s:
小赵去看电影。
（p∧q）→r,┐s∨p,q
s→r
用附加前提证明法。
①s
附加前提引入
②┐s∨p
③p
①②析取三段论
④（p∧q）→r前提引入
⑥p∧q
③⑤合取
④⑥假言推理
思考：
不用附加前提证明法构造例3.5的证明。
五、归谬法
在构造形式结构为
（A1∧A2∧…∧Ak）→B
的推理证明中，如果将┐B作为前提能推出矛盾来，比如说得出（A∧┐A），则说明推理正确。
其原因如下：
┐（A1∧A2∧…∧Ak）∨B
┐（A1∧A2∧…∧Ak∧┐B）
若（A1∧A2∧…∧Ak∧┐B）为矛盾式，正说明（A1∧A2∧…∧Ak）→B为重言式，即（A1∧A2∧…∧Ak）
B,
故推理正确。
如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队将取胜；
或者A队未取胜，或者A队获得联赛第一名；
A队没有获得联赛的第一名；
小张守第一垒。
因此，小李没有向B队投球。
解先将简单命题符号化。
小李向B队投球。
A队取胜。
A队获得联赛第一名。
（p∧q）→r,┐r∨s,┐s,p
┐q
用归谬法
①q
结论的否定引入
②┐r∨s
③┐s
④┐r
②③析取三段论
⑤（p∧q）→r前提引人
⑥┐（p∧q）
④⑤拒取式
⑦┐p∨┐q
⑥置换
⑧p
⑨┐q
⑦⑧析取三段论
⑩q∧┐q
①⑨合取
由于最后一步q∧┐q
0，即（（（p∧q）→r）∧（┐r∨s）∧┐s∧p）∧q
0，所以推理正确。
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