数学建模A题系泊系统设计完整版.docx

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数学建模A题系泊系统设计完整版

HENsystemofficeroom【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

数学建模A题系泊系统设计

系泊系统的设计

摘要

本题要求观测近海观测网的组成，建立模型对其中系泊系统进行设计，在不同风速和水流的情况下确定锚链，重物球，钢管及浮标等的状态，从而使通讯设备的工作效果最佳。

求解的具体流程如下：

针对问题一，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。

对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，从而求出结果。

针对问题二，需要调节重物球的质量，使通讯设备在时能够正常工作。

为了确定重物球的质量，首先将实际风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，与题目中已知数据进行比较。

在钢桶倾斜角度达到临界角度时，计算锚链与海床的夹角并于题中数据进行比较，计算重物球的质量。

在浮标完全没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，从而确定满足条件的重物球的质量范围。

针对问题三，要求在不同条件下，求出系泊系统中各物体的状态。

以型号I锚链为例，当水流方向与风速方向相同时，系统条件最差，分析在不同水深条件下的系泊系统设计。

由题中已知条件确定系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力分析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设计。

关键词：

悬链线多目标非线性规划

一、问题重述

近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。

某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。

系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。

锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。

钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。

要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。

水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。

钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。

钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。

若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。

钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。

为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。

系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。

问题1某型传输节点选用II型电焊锚链，选用的重物球的质量为1200kg。

现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为×103kg/m3的海域。

若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。

请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。

问题3由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。

布放点的海水速度最大可达到s、风速最大可达到36m/s。

请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

二、模型假设

1.不考虑流体对锚链的作用，忽略锚链本身的伸长，锚链沿长度均匀分布；

2.假设风是二维的，只存在平行于水平面的风速，不存在垂直方向上的分量；

三、符号说明

符号

含义

浮标的浮力

钢管的浮力

钢桶的浮力

重物球的浮力

近海风荷载

浮标近海水流力

钢桶近海水流力

重物球近海水流力

浮标重力

钢管重力

钢桶重力

重物球重力

锚链重力

浮标游动区域

h

浮标吃水深度

四、问题分析

问题一分析

问题一对于系泊系统的受力物体进行分析，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。

对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，从而求出结果。

问题二分析

问题二需要调节重物球的质量，使通讯设备在时能够正常工作。

为了确定重物球的质量，首先将实际风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，并与已知数据进行比较。

在钢桶倾斜角度达到临界角度时，计算锚链与海床的夹角并与题目要求进行比较，计算重物球的质量。

在浮标完全没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，综合确定满足条件的重物球的质量范围。

4.3问题三分析

问题三要求在不同条件下，求出系泊系统中各物体的状态。

以型号I锚链为例，当水流方向与风速方向相同时，系统条件最差，分析在不同水深条件下的系泊系统设计。

由题中已知条件确定系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力分析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设计。

五、模型建立与求解

问题一模型

问题分析

问题一,系泊系统整体受力平衡，浮标受到恒定风力时，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。

对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，最后利用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度,从而求出结果。

模型建立

Step1.系泊系统受力分析

对于浮标，它受到水的浮力，自身重力，风载荷及第一根钢管对浮标的力。

此题中海水静止，故所有近海水流力为0。

将钢管对浮标的力在分别水平方向和竖直方向上进行分解，具体受力如图所示，由浮标所受的力平衡得到：

图浮标受力分析图

式中，、分别为钢管对浮标的力再水平方向和竖直方向的分立。

对于钢管，将第一节钢管对浮标的力设为，后续第节钢管对第k节钢管的力为，将钢管的力进行分解，钢管的受力情况如图所示，因此：

图钢管受力分析图

式中，为钢管收到的浮力，由于钢管体积较小，在水中钢管的浮力与重力相比很小，可忽略不计；，分别为第k跟钢管对前一根钢管在水平方向和竖直方向的分力。

对于钢桶，它受到第四根钢管的力，水的浮力，自身重力以及锚链的拉力和重物球的拉力，具体受力如图所示，则：

图钢桶受力分析图

式中，和分别表示锚链的拉力在水平方向和竖直方向上的分力。

对于系泊系统，由浮标、钢管和钢桶得水平受力分析可得：

其中，S为物体在风向法平面的投影面积，v为风速。

由竖直方向受力分析得：

设浮标的吃水深度为h，则：

其中，为海水密度，题中为；为重力加速度，本题取；为浮标底面积半径，本题中为；为浮标质量，为；为每节钢管的质量，为；为重物球的质量，本题中为，为钢桶底面半径，为钢桶的长度，钢管长度与钢桶相等。

将重物球当作铁球处理，则重物球的密度为，由题中已知条件可知，可以递推出：

Step2.悬链线模型

对于锚链，假设其质量分布均匀，可以将锚链作为悬链线处理，从而做出以下分析,由静力学平衡条件可知，在坐标系中，锚链水平分立和垂直分力的代数和为0，可以得到：

图锚链受力分析图

式中，表示锚链对钢桶的拉力，、分别表示锚链的水平分力与竖直分力，表示锚链的重力，为锚链任一点与水平方向的夹角。

因此，可推导出：

表示锚链单位长度的质量，即线密度；为锚链在水中未触碰海底的长度。

由曲线几何关系和力学关系及悬链线模型可求得，导线任一点的斜率为：

式中,x、y分别表示锚链在水平方向和竖直方向的投影长度。

对两式分别进行积分，并用临界点数据（）来确定积分常数，则可得，

进一步可求得方程：

其中

Step3.力矩分析平衡

对于钢管，由于钢管的力矩平衡，可以得到：

其中，表示分别表示第k根钢管的倾斜角度，为水流对钢管的力，则：

即为：

式中，分别是钢管的倾斜角度（k取1，2，3，4），根据题中的数值，可以得到以下公式：

代入数值后可求出钢管相应的倾斜角度。

对于钢桶，由钢桶的力矩平衡，可以得到：

其中，表示分别表示钢桶的倾斜角度，于是：

带入数值得：

式中，是钢桶的倾斜角度，由题中给出的数据可以计算出钢桶的倾斜角度。

模型求解

求解不同风速条件下系泊系统的状态，需要先求出系统的临界条件，即锚链与海床相切时的风速，然后将此临界风速与题目中所给风速进行比较，判断锚链的状态，最终求出不同风速下系泊系统的状态。

Step1.临界条件

当系统处于临界状态时，锚链与海床底部相切，此时，锚链全部抬起且对锚无拉力，。

取锚链以上的部分进行受力分析，设锚链以上部分竖直高度为，由受力分析模型得：

由模型中的公式可以得到，此式是关于临界风速的表达式。

设锚链的竖直高度为y，可以得到：

由题中已知条件可知，水深为,则：

取锚以上部分进行分析，由系统受力平衡可得，锚以上部分重力与浮力相等，由此可得：

将题中各数值代入公式，编程可求得。

Step2.风速为时

由于风速小于临界速度的值，所以当风速为时，锚链与海底接触。

此时，竖直方向上的受力，可以得到：

由悬链线模型可以得到，

解得：

因此：

由题中已知条件可知，水深为,则：

由锚链与海底深度的关系，编程求得浮标吃水深度h=。

浮标的游动区域由锚链在水平方向的投影长度，以及钢管和钢桶在水方向的投影长度能共同决定，设浮标游动区域为则可以得到：

由锚链在水平方向的投影长度及钢管、钢桶的倾斜角度可以求得，浮标游动区域大小。

由钢管与钢桶的受力分析可以求得，四节钢管与钢桶的倾斜角度分别如表所示。

表12m/s时钢管及钢桶倾斜角度

物体

倾斜角度

第一节钢管

第二节钢管

第三节钢管

第四节钢管

钢桶

Step3.风速为时

由于风速大于临界速度的值，所以当风速为时，锚链完全倾斜。

此时，锚链倾斜的长度。

由临界条件中锚以上部分重力与浮力相等，即：

代入数值得：

可求得的值。

由浮标，钢桶，钢管水平受力分析可得：

由悬链线模型可得：

由题中已知条件可知，水深为,则：

由锚链与海底深度的关系，编程求得浮标吃水深度h=。

浮标的游动区域由锚链在水平方向的投影长度，以及钢管和钢桶在水方向的投影长度能共同决定，设浮标游动区域为则可以得到：

由锚链在水平方向的投影长度及钢管、钢桶的倾斜角度可以求得，浮标游动区域大小you=。

钢管与钢桶的受力分析可以求得，四节钢管与钢桶的倾斜角度分别如表所示。

表24m/s时钢管及钢桶倾斜角度

物体

倾斜角度

第一节钢管

第二节钢管

第三节钢管

第四节钢管

钢桶

问题二模型

问题分析

问题二需要调节重物球的质量，使通讯设备在时能够正常工作。

为了确定重物球的质量，首先将实际风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，与题目中已知数据进行比较。

在钢桶倾斜角度达到临界角度时，计算锚链与海床的夹角并于题中数据进行比较，计算重物球的质量。

在浮标完全没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，从而确定满足条件的重物球的质量范围。

模型建立

Step1.受力分析与数据

由于风速大于临界速度的值，所以当风速为时，锚链完全倾斜，锚链倾斜的长度。

此时，钢管和钢桶的倾斜角度，锚链形状，浮标的吃水深度以及游动区域都可以通过问题一中的模型计算。

此题中海水静止，故所有近海水流力为0。

Step2.重物球质量求解模型

（1）钢桶倾斜角度为临界角度时

当