高三数学人教版A版数学理高考一轮复习教案28 函数与方程 Word版含答案.docx
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高三数学人教版A版数学理高考一轮复习教案28函数与方程Word版含答案
第八节 函数与方程
函数的零点与方程的根
（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
知识点一 函数的零点
1．函数的零点
（1）定义
对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．
（2）函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系．
方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．
（3）函数零点的判定（零点存在性定理）
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象
与x轴的交点
（x1,0），（x2,0）
（x1,0）
无交点
零点个数
2
1
0
易误提醒
1．函数y＝f（x）的零点即方程f（x）＝0的实根，易误为函数点．
2．由函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f（a）·f（b）＜0，如图所示．
所以f（a）·f（b）＜0是y＝f（x）在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
必记结论 有关函数零点的结论
（1）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．
（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
（3）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
[自测练习]
1．函数y＝|log2x|－x的零点个数是（ ）
A．0 B．1
C．2D．4
解析：
令y＝|log2x|－x＝0，即|log2x|＝x，在同一坐标系下作出y＝|log2x|和y＝x的图象（图略），易知两图象有2个交点，即函数有2个零点．
答案：
C
2．（2016·东城期末）函数f（x）＝ex＋x－2的零点所在的区间是（ ）
A.B.
C．（1,2）D．（2,3）
解析：
∵f′（x）＝ex＋＞0，∴f（x）在R上单调递增，又f＝－＜－＜0，f
（1）＝e－＞0，∴零点在区间上．
答案：
B
知识点二 二分法
二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．
必备方法 用二分法求函数零点的方法
用二分法求零点近似值的口诀为：
定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？
精确度上来判断．
[自测练习]
3．根据下面表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为（ ）
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.（1,2）B．（0,1）
C．（－1,0）D．（2,3）
解析：
本题考查二分法的应用．令f（x）＝ex－x－2，则由表中数据可得f
（1）＝2.72－3＜0，f
（2）＝7.39－4＞0，所以函数f（x）的一个零点在（1,2）上，即原方程的一个根在区间（1,2）上．
答案：
A、
考点一 判定函数零点所在区间|
1．已知函数f（x）＝－log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ）
A．（0,1） B．（1,2）
C．（2,4）D．（4，＋∞）
解析：
因为f
（1）＝6－log21＝6>0，f
（2）＝3－log22＝2>0，f（4）＝－log24＝－<0，所以函数f（x）的零点所在区间为（2,4）．
答案 C
2．（2015·上海二模）若函数f（x）＝ax＋1在区间（－1,1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，＋∞）B．（－∞，1）
C．（－∞，－1）∪（1，＋∞）D．（－1,1）
解析：
由题意知f（－1）f
（1）＜0，即（1－a）（1＋a）＜0，解得a＜－1或a＞1.
答案：
C
3．（2015·温州十校联考）设f（x）＝lnx＋x－2，则函数f（x）的零点所在的区间为（ ）
A．（0,1）B．（1,2）
C．（2,3）D．（3,4）
解析：
法一：
∵f
（1）＝ln1＋1－2＝－1＜0，f
（2）＝ln2＞0，
∴f
（1）·f
（2）＜0，
∵函数f（x）＝lnx＋x－2的图象是连续的，
∴函数f（x）的零点所在的区间是（1,2）．
法二：
函数f（x）的零点所在的区间转化为函数g（x）＝lnx，h（x）＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，
可知f（x）的零点所在的区间为（1,2）．
答案：
B
确定函数f（x）的零点所在区间的两种常用方法
（1）利用函数零点的存在性定理：
首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点．
（2）数形结合法：
通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
考点二 判断函数零点个数|
（1）（2015·高考天津卷）已知函数f（x）＝函数g（x）＝3－f（2－x），则函数y＝f（x）－g（x）的零点个数为（ ）
A．2 B．3
C．4D．5
[解析] 分别画出函数f（x），g（x）的草图，观察发现有2个交点，故选A.
[答案] A
（2）已知符号函数sgn（x）＝则函数f（x）＝sgn（lnx）－ln2x的零点个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
[解析] 本题考查新定义创新能力、函数零点的个数．①当lnx＞0，即x＞1时，f（x）＝1－ln2x，令1－ln2x＝0，得x＝e，即此时有一个零点；②当lnx＝0，即x＝1时，f（x）＝－ln2x，令－ln2x＝0，得x＝1，此时也有一个零点；③当lnx＜0，即0＜x＜1时，f（x）＝－1－ln2x，令－1－ln2x＝0，无解，即当0＜x＜1时，函数f（x）＝sgn（lnx）－ln2x没有零点．综上，函数f（x）＝sgn（lnx）－ln2x的零点个数为2.故选B.
[答案] B
函数零点个数的三种判断方法
（1）直接求零点：
令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：
利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：
画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
1．（2015·辽宁三校联考）已知函数f（x）＝2x＋x，g（x）＝log3x＋x，h（x）＝x－的零点依次为a，b，c，则（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜a
C．c＜a＜bD．b＜a＜c
解析：
在同一坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－的图象，如图，观察它们与直线y＝－x的交点情况可知a＜b＜c.
答案：
A
考点三 函数零点的应用|
（2015·高考北京卷）设函数f（x）＝
（1）若a＝1，则f（x）的最小值为________；
（2）若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
[解析]
（1）若a＝1，则f（x）＝
作出函数f（x）的图象如图所示．由图可得f（x）的最小值为－1.
（2）当a≥1时，要使f（x）恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2，所以a≥2；当a＜1时，要使f（x）恰有2个零点，需满足，解得≤a＜1.
综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞）．
[答案]
（1）－1
（2）[，1）∪[2，＋∞）
已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围的三种常用的方法：
（1）直接法：
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分离参数法：
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
（3）数形结合法：
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
2．已知f（x）＝|x2－1|＋x2＋kx，若关于x的方程f（x）＝0在（0,2）上有两个不相等的实根，则k的取值范围是（ ）
A．（－1,0）
B.
C.∪（－1，＋∞）
D.
解析：
本题考查函数零点及函数与方程的关系．当x∈（0,1]时，f（x）＝1－x2＋x2＋kx＝kx＋1，此时方程f（x）＝0有一个零点－；当x∈（1,2）时，f（x）＝g（x）＝x2－1＋x2＋kx＝2x2＋kx－1.∵g（x）＝2x2＋kx－1＝0必有一正根、一负根，∴正根一定位于区间（1,2）上，即解得－＜k＜－1，故选D.
答案：
D
7.转化法求解二次方程根的分布问题
【典例】 （2015·烟台莱州一中月考）若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于2，一根小于1，则m的取值范围是________．
[思路点拨] 由条件知，构造f（x）＝x2－2mx＋4问题转化为二次函数f（x）的零点问题，数形结合写出条件可求解．
[解析] 令函数f（x）＝x2－2mx＋4，由题意可知即所以即m＞.
[答案] （，＋∞）
[方法点评] 二次方程实数根的分布问题主要是构造二次函数之后，数形结合，从判别式Δ，对称轴与区间关系及区间端点值符号三个方面得出条件，解决时要注意逐一方面进行验证．
[跟踪练习] 方程x2－2ax＋4＝0的一根在（0,1）内，另一个根在（6,8）内，则实数a的取值范围是________．
解析：
设f（x）＝x2－2ax＋4，则解得＜a＜.
答案：
A组 考点能力演练
1．f（x）是R上的偶函数，f（x＋2）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x2，则函数y＝f（x）－|log5x|的零点个数为（ ）
A．4 B．5
C．8D．10
解析：
由零点的定义可得f（x）＝|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点．
答案：
B
2．（2015·长沙模拟）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间（ ）
A．（a，b）和（b，c）内
B．（－∞，a）和（a，b）内
C．（b，c）和（c，＋∞）内
D．（－∞，a）和（c，＋∞）内
解析：
本题考查零点的存在性定理．依题意得f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f（b）＝（b－c）（b－a）＜0，f（c）＝（c－b）（c－a）＞0，因此由零点的存在性定理知f（x）的零点位于区间（a，b）和（b，c）内，故选A.
答案：
A
3．设函数f（x）＝ex＋2x－4，g（x）＝lnx＋2x2－5，若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，则（ ）
A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）
C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0
解析：
依题意，f（0）＝－3＜0，f
（1）＝e
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