管理运筹学课后答案.docx
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管理运筹学课后答案
2.2将下列线性规划模型化为标准形式并列出初始单纯形表。
（1）
解：
（1）令，则得到标准型为（其中M为一个任意大的正数）
初始单纯形表如表2-1所示：
表2-1
cj
-2
2
4
-4
0
0
-M
-M
CB
XB
b
x2
x4
x5
x6
x7
0
x4
19
3
2
2
-2
1
0
0
0
19/3
-M
x6
14
[4]
3
4
-4
0
-1
1
0
14/4
-M
x7
26
5
2
4
-4
0
0
0
1
26/5
-z
-2+9M
2+5M
4+8M
-4-8M
0
-M
0
0
2.3用单纯形法求解下列线性规划问题。
（1）
（2）
解：
（1）最优解为。
（2）最优解为。
2.4分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划问题。
（1）
（2）
解：
（1）最优解为。
（2）最优解为。
2.6已知线性规划问题
其对偶问题最优解为。
试用对偶理论找出原问题最优解。
解：
先写出它的对偶问题
将代入约束条件可知，第2、3、4个约束为严格不等式，因此，由互补松弛性得。
又因为，所以原问题的两个约束条件应取等式，因此有
Þ
故原问题最优解为。
2.12现有线性规划问题
①
②
先用单纯形法求出最优解，然后分析在下列各种条件下，最优解分别有什么变化？
（1）约束条件①的右端项系数由20变为30；
（2）约束条件②的右端项系数由90变为70；
（3）目标函数中的系数由13变为8；
（4）的系数列向量由变为；
（5）将原约束条件②改变为；
（6）增加一个约束条件。
解：
在上述LP问题的第①、②个约束条件中分别加入松弛变量x4,x5得
列出此问题的初始单纯形表并进行迭代运算，过程如表2-11所示。
由表2-11中的计算结果可知，LP问题的最优解X*=（0,20,0,0,10）T，z*=5*20=100。
（1）约束条件①的右端项系数由20变为30，则有
列出单纯形表，并利用对偶单纯形法求解，过程如表2-12所示。
表2-11
cj
-5
5
13
0
0
θi
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x4
20
-1
1
[3]
1
0
20/3
0
x5
90
12
4
10
0
1
9
cj-zj
-5
5
13
0
0
13
x3
20/3
-1/3
[1/3]
1
1/3
0
20
0
x5
70/3
46/3
2/3
0
-10/3
1
35
cj-zj
-2/3
2/3
0
-13/3
0
5
x2
20
-1
1
3
1
0
0
x5
10
16
0
-2
-4
1
cj-zj
0
0
-2
-5
0
表2-12
cj
-5
5
13
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
5
x2
30
-1
1
3
1
0
0
X5
-30
16
0
[-2]
-4
1
cj-zj
0
0
-2
-5
0
5
x2
-15
23
1
0
[-5]
3/2
13
x3
15
-8
0
1
2
-1/2
cj-zj
-16
0
0
-1
-1
0
x4
3
-23/5
-1/5
0
1
-3/10
13
x3
9
6/5
2/5
1
0
1/10
cj-zj
-103/5
-1/5
0
0
-13/10
由表2-12中计算结果可知，LP问题的最优解变为。
（2）约束条件②的右端常数由90变为70，则有
列出单纯形表，并利用对偶单纯形法求解，结果如表2-13所示。
表2-13
cj
-5
5
13
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
5
x2
20
-1
1
3
1
0
0
X5
-10
16
0
[-2]
-4
1
cj-zj
0
0
-2
-5
0
5
x2
5
23
1
0
-5
3/2
13
x3
5
-8
0
1
2
-1/2
cj-zj
-16
0
0
-1
-1
由表2-13结果知，LP问题的最优解变为。
（3）目标函数中x3的系数由13变为8，由于x3是非基变量，其检验数变为
所以LP问题的最优解不变。
（4）x1的系数列向量由（-1,12）T变为（0,5）T，则x1在最终单纯形表中的系数列向量变为
从而x1在最终单纯形表中的检验数变为
所以LP问题的最优解保持不变。
（5）将原约束条件②改变为10x1+5x2+10x3≤100，则x1在最终单纯形表中系数列向量变为，检验数
x2在最终单纯形表中系数列向量变为，检验数。
又因的各分量均大于0，故LP问题的最优解不变。
（6）增加一个约束条件2x1+3x2+5x3≤50，则在此约束条件中加入松弛变量x6，并将此约束加入到最终单纯形表中，继续迭代，过程如表2-14所示。
由表2-14中计算结果可知，LP问题的最优解变为，。
表2-14
cj
-5
5
13
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
5
x2
20
-1
1
3
1
0
0
0
x5
10
16
0
-2
-4
1
0
0
x6
50
2
3
5
0
0
1
5
x2
20
-1
1
3
1
0
0
0
x5
10
16
0
-2
-4
1
0
0
x6
-10
5
0
[-4]
-3
0
1
cj-zj
0
0
-2
-5
0
0
5
x2
25/2
11/4
1
0
-5/4
0
3/4
0
x5
15
27/2
0
0
-5/2
1
-1/2
13
x3
5/2
-5/4
0
1
3/4
0
-1/4
cj-zj
-5/2
0
0
-7/2
0
-1/2
3.1分别用分支定界法和割平面法求解下列整数规划模型。
（1）
（2）
解：
（1）求解得到最优解。
（计算步骤略）
（2）仅写出利用割平面法求解的过程。
在原IP问题约束条件中加入松弛变量x3,x4，化为标准型，可得
不考虑整数条件，用单纯形法求解原问题的松弛问题，计算结果如表3-1所示。
表3-1
cj
1
1
0
0
i
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
0
x3
6
2
1
1
0
6
0
x4
20
4
[5]
0
1
4
cj-zj
1
1
0
0
0
x3
2
[6/5]
0
1
-1/5
5/3
1
x2
4
4/5
1
0
1/5
5
cj-zj
1/5
0
0
-1/5
1
x1
5/3
1
0
5/6
-1/6
1
x2
8/3
0
1
-2/3
1/3
cj-zj
0
0
-1/6
-1/30
因此，松弛问题的最优解为x1=5/3,x2=8/3,x3=0,x4=0;z=13/3。
由于x2不为整数，因此在最终单纯形表中根据x2所在的行作割平面
即
将它作为约束条件，引入松弛变量后加到最终单纯形表中，并采用对偶单纯形法继续迭代，计算过程如表3-2所示。
表3-2
cj
1
1
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
1
x1
5/3
1
0
5/6
-1/6
0
1
x2
8/3
0
1
-2/3
1/3
0
0
x5
-2
0
0
-1
[-1]
1
cj-zj
0
0
-1/6
-1/30
0
1
x1
2
1
0
1
0
-1/6
1
x2
2
0
1
-1
0
1/3
0
x4
2
0
0
1
1
-1
cj-zj
0
0
0
0
-1/6
由于的值均为整数，所以得到原问题的最优解为
3.4某厂新购4台不同类型机器，可以把它们安装在4个不同的地点。
由于对特定的机器而言，某些地方可能安装起来特别方便且合适，所以不同的机器安装在不同的地点费用是不同的。
估计的费用见表3-3，试制定使得总安装费用最小的安装方案。
表3-3（费用单位：
元）
地点
机器
1
2
3
4
机器总数
1
10
9
8
7
1
2
3
4
5
6
1
3
2
1
1
2
1
4
4
3
5
6
1
需要量
1
1
1
1
解：
设
cij—机器i安装在地点j所需的费用。
建立该问题的数学模型如下：
目标函数：
约束条件：
（1）每一部机器只分配在一个地点，即
（2）每一个地点只能有一台机器，即
（3）
工作指派问题可以看成是一类特殊的运输问题，每个供应点的供应量为1，每个需求点的需求量也为1。
因此，本题可以采用表上作业法进行计算，也可以利用匈牙利法进行计算。
计算得到的最佳安装方案为：
机器1安装在地点4、机器2安装在地点1、机器3安装在地点3、机器4安装在地点2，最小总安装费为14元。
3.9设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥。
假定等量的化肥在这些地区使用的效果相同。
各化肥厂年产量、各地区年需求量及从各化肥厂到各地区运送单位化肥的运价如表3-17所示。
试确定使总运费最少的化肥调拨方案。
表3-17
需求
产地
I
II
III
IV
产量（万吨）
A
16
13
22
17
50
B
14
13
19
15
60
C
19
20
23
--
50
最低需求（万吨）
最高需求（万吨）
30
50
70
70
0
30
10
不限
解：
这是一个产销不平衡的运输问题，总产量为160万t，四个地区的最低需求为110万t，最高需求为无限。
根据现有产量，第IV个地区每年最多能分配到60万t，这样最高需求就为210万t，大于产量。
为了求得平衡，在产销平衡表中增加一个假想的化肥厂D，其年产量为50万t。
由于各地区的需求量包含两部分，如地区I，其中30万t是最低需求，故不能由假想化肥厂D供给，令相应的单位运价为M（任意大的正数）；而另一部分20万t满足或不满足均可以，因此可以由假想化肥厂D供给，按前述，可令相应的单位运价为0。
对凡是需求分两种情况的地区，实际上可按照两个地区看待。
这样可以写出这个问题的产销平衡表（表3-18）和单位运价表（表3-19）。
并根据表上作业法，可以求得这个问题的
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