八年级下册数学举一反三系列专题13平行四边形章末重难点题型举一反三人教版解析版.docx

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八年级下册数学举一反三系列专题13平行四边形章末重难点题型举一反三人教版解析版

专题1.3平行四边形章末重难点题型

【人教版】

【直击考点】

【典例分析】

【考点1平行四边形的性质】

【方法点拨】解题的关键是掌握平行四边形的性质：

①边：

平行四边形的对边相等．②角：

平行四边形的对角相等．③对角线：

平行四边形的对角线互相平分．

【例1】（2019春•沙坪坝区期中）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，DC＝5，BC＝3，则EC的长是（　　）

A．1B．1.5C．2D．3

【分析】由平行四边形的性质知AD＝BC＝3，DC∥AB，据此得∠BAE＝∠AED，再由角平分线性质知∠BAE＝∠DAE，从而得∠AED＝∠DAE，据此知AD＝DE＝3，根据EC＝DC﹣DE可得答案．

【答案】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝3，

∴AD＝BC＝3，DC∥AB，

∴∠BAE＝∠AED，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠DAE，

∴∠AED＝∠DAE，

∴AD＝DE＝3，

∵DC＝5，

∴EC＝DC﹣DE＝5﹣3＝2，

故选：

C．

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质：

①边：

平行四边形的对边相等．②角：

平行四边形的对角相等．③对角线：

平行四边形的对角线互相平分．

【变式1-1】（2019春•巴南区期中）已知▱ABCD的周长为32cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大4cm，则AD的长是（　　）

A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm

【分析】▱ABCD的周长为32cm，则AB+BC＝16；△BOC和△AOB共边OB，且OC＝OA，则BC﹣AB＝4；从而得到BC的长，且AD＝BC；

【答案】解：

∵▱ABCD的周长为32cm，

∴AB+BC＝

∵△BOC和△AOB共边OB，且平行四边形平分对角线；

∴OB＝OB，OA＝OC；

又∵若△BOC的周长比△AOB的周长大4cm，

∴BC﹣AB＝4

联立

∴BC＝10，AB＝6

∴AD＝BC＝10

故选：

D．

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的相关知识点是解答本题的关键．

【变式1-2】（2019春•闽侯县期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点G，AD＝AE．若AD＝5，DE＝6，则AG的长是（　　）

A．6B．8C．10D．12

【分析】首先证明线段AG与线段DE互相垂直平分，利用勾股定理求出AH即可解决问题；

【答案】解：

如图，设AG交BD于H．

∵AD＝AE，AG平分∠BAD，

∴AG垂直平分DE，

∴DH＝EH＝3，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，

∴∠AGD＝∠GAB，

∵∠DAG＝∠GAB，

∴∠DAG＝∠DGA，

∴DA＝DG，

∵DE⊥AG，

∴AH＝GH，

在Rt△ADH中，AH＝＝＝4，

∴AG＝2AH＝8．

故选：

B．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题；

【变式1-3】（2019春•谢家集区期中）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD＞AB，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE．若平行四边形ABCD的周长为20，则△CDE的周长是（　　）

A．10B．11C．12D．13

【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，又AB+BC＝AD+CD＝20，继而可得△CDE的周长等于AD+CD．

【答案】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，

∵平行四边形ABCD的周长为20，

∴AD+CD＝10，

∵OE⊥AC，

∴AE＝CE，

∴△CDE的周长为：

CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝10．

故选：

A．

【点睛】此题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

【考点2平行四边形的判定条件】

【方法点拨】平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．

【例2】（2019春•鄂城区期中）下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的个数是（　　）

①AB∥CD，AD＝BC；②AB＝CD，AD＝BC；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④AB＝AD，CB＝CD

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．

【答案】解：

①AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形；

②AB＝CD，AD＝BC；能判定四边形ABCD为平行四边形；

③∠A＝∠B，∠C＝∠D；不能判定四边形ABCD为平行四边形；

④AB＝AD，CB＝CD；不能判定四边形ABCD为平行四边形；

能判定四边形ABCD为平行四边形的个数有1个，

故选：

A．

【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．

【变式2-1】（2019春•常熟市期中）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）

A．AB∥DC，AD＝BCB．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC

C．OA＝OC，OB＝ODD．AB＝DC，AD＝BC

【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．

【答案】解：

A、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；

B、根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；

C、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；

D、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；

故选：

A．

【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．

【变式2-2】（2019春•北京校级期中）已知四边形ABCD中，AC、BD交于点O，给出条件①AD∥BC且AB＝CD，②AB＝CD且OA＝OC，③∠DAB＝∠DCB且OA＝OC，④∠DAB＝∠DCB且OB＝OD，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

【分析】根据平行四边形的判定定理：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可．

【答案】解：

①AD∥BC且AB＝CD不能判定四边形ABCD是平行四边形；

②AB＝CD且OA＝OC不能判定四边形ABCD是平行四边形；

③∠DAB＝∠DCB且OA＝OC不能判定四边形ABCD是平行四边形；

④∠DAB＝∠DCB且OB＝OD不能判定四边形ABCD是平行四边形；

故选：

A．

【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．

【变式2-3】（2018•雁江区模拟）在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下六个说法中，正确的说法有（　　）

（1）如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

（2）如果再加上条件“AB＝CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

（3）如果再加上条件“∠DAB＝∠DCB”那么四边形ABCD一定是平行四边形；

（4）如果再加上“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

（5）如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

（6）如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．

A．3个B．4个C．5个D．6个

【分析】

（1）因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以①正确；

（2）因为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以②正确；

（3）此题易证此四边形的两组对边分别平行，所以③正确；

（5）此题可以通过证明三角形全等，证得AB＝CD，所以证得此四边形是平行四边形；正确；

（4）与（6）等腰梯形也符合要求，所以错误．

【答案】解：

（1）∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形；正确；

（2）∵AB∥CD，AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形；正确；

（3）∵AB∥CD，

∴∠A+∠D＝180°，

∵∠DAB＝∠DCB，

∴∠C+∠D＝180°，

∴AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形；正确；

（4）可能是等腰梯形，所以错误；

（5）∵AB∥CD，

∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO，

∵AO＝CO，

∴△AOB≌△COD，

∴AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形；正确；

（6）此题可以是等腰梯形；错误．

故选：

B．

【点睛】此题考查了平行四边形的判定．注意真命题需要证明，假命题只要举反例即可．解题时还要注意数形结合思想的应用．

【考点3平行四边形的判定及性质】

【例3】（2019春•越秀区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE，CF分别交BC，AD于点E，F，点M，N分别是AE，CF的中点，连接FM，EN

（1）求证：

BE＝DF；

（2）求证：

四边形FMEN是平行四边形．

【分析】

（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，证出∠BAE＝∠DCF，由ASA证明△BAE≌△DCF，即可得出结论；

（2）由全等三角形的性质得出得出AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，证出AE∥CF，由已知得出ME∥FN，ME＝FN，即可证出四边形MENF是平行四边形．

【答案】

（1）证明；∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，∠DAE＝∠AEB，∠DFC＝∠BCF，

∵∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，

∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠DCF＝∠DCB，

∴∠BAE＝∠DCF，

在△BAE和△DCF中，，

∴△BAE≌△DCF（ASA），

∴BE＝DF；

（2）证明：

∵△BAE≌△DCF，

∴AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，

∴∠AEB＝∠BCF，

∴AE∥CF，

∵点M、N分别为AE、CF的中点，

∴ME∥FN，ME＝FN，

∴四边形FMEN是平行四边形．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．