高二数学 84双曲线的几何性质第一课时大纲人教版必修Word格式.docx

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本课时教案后面的预习内容及预习提纲（记作§

8.4.1A）

多媒体课件一个：

先作出中心在原点、焦点在x轴上的双曲线，其次，随着内容的讨论至顶点时，标出A1、A2、B1、B2点，第三，讨论到实轴、虚轴概念时，让线段A1A2、B1B2闪动，第四，到渐近线时，按要求作出矩形，作出对角线，并随着x的增大（缩小）延长渐近线、双曲线，让学生观察曲线逐步接近直线.

●教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］前面我们学习了椭圆的简单性质：

范围、对称性、顶点、离心率，请同学们回忆一下，对于椭圆（a＞b＞0）其几何性质的具体内容及其研究方法.

［生］椭圆的范围是|x|≤a,|y|≤b（教师板书）

［师］讨论方法是什么？

［生］因两个非负数的和等于1，那么由方程可知，每一个大于1，即小于或等于1，据此得到椭圆的范围.

［师］请接着谈一下其他性质.

［生］对称性：

椭圆关于x轴、y轴、原点都对称，原点是椭圆的中心.

顶点：

椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点，其顶点坐标是（±

a,0）,（0,±

b）

离心率：

e=（e∈（0,1））

（学生回答，教师板书）

［师］在椭圆顶点的研究中，我们给出了长轴、短轴的概念，明确了长轴长、短轴长，以及a、b、c的几何意义，谁来补充一下？

［生］椭圆在同一条对称轴上的两个顶点间的线段，较长的是椭圆的长轴，较短的是椭圆的短轴，长轴长是2a,短轴长是2b，a是长半轴的长，b是短半轴的长，c是半焦距.

［师］很好！

离心率对椭圆的扁圆情况有怎样的影响呢？

［生］0＜e＜1，当e越接近1时，c越接近于a,b=越小，椭圆就越扁；

当e越接近于0时，c越小，b=越接近于a，椭圆就越接近于圆.

［师］好！

椭圆的对称性、离心率、顶点三种性质的讨论方法是什么呢？

［生］讨论椭圆的对称性时，用-y代y，方程不变，则椭圆关于x轴对称；

用-x代x，方程不变，则椭圆关于y轴对称；

同时用-y代y，-x代x，方程不变，则椭圆关于原点对称.

讨论离心率时，由离心率的定义，得到了离心率的范围.

讨论顶点时，由顶点的定义及椭圆的对称轴是坐标轴，令x=0，得顶点的纵坐标，令y=0得顶点的横坐标，据此可写出顶点的坐标.

同学们对椭圆的简单几何性质，掌握得基本熟练.下面，我们用类比的方法来研究双曲线的简单几何性质.（板书课题）

Ⅱ.讲授新课

［师］上节课下课时，老师请同学们依照研究椭圆的简单几何性质的方法和步骤去试推双曲线的简单几何性质，完成了这个作业的同学请举手.

［生］举手

请放下，哪位同学对照椭圆的简单几何性质的顺序，来谈一下双曲线（a＞0,b＞0）的几何性质，并谈谈这个性质的讨论方法.

［生甲］范围，|x|≥a,

即x≥a,x≤-a

讨论方法是由标准方程可知与一个非负数的差等于1，所以≥1，由此推得x的范围.y除受到式子本身的制约外，没有任何限制，说明双曲线位于x≥a与x≤-a的区域内.

［师］好，请另一位同学接着说.

［生乙］对称性，双曲线关于坐标轴、原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，即双曲线的中心.

讨论方法是以-y代y，方程不变，所以双曲线关于x轴对称；

以-x代x，方程不变，所以双曲线关于y轴对称；

同时以-y代y，以-x代x，方程不变，所以双曲线关于原点对称.

［生丙］顶点，只有两个，即（±

a,0）.

讨论方法是令y=0,得x=±

a,因此双曲线和它的一条对称轴——x轴有两个交点

A1（-a,0）,A2（a,0）,所以双曲线的顶点是（±

令x=0时，解得y2=-b2,无实数解，说明双曲线与它的另一条对称轴——y轴没有交点，故双曲线顶点只有两个.

［师］请注意：

双曲线（a＞0,b＞0）与y轴没有交点，但我们也把B1（0，-b）,B2（0，b）画在y轴上.（打出多媒体课件）

线段A1A2叫做双曲线的实轴，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，实轴的长为2a,虚轴的长为2b，a是实半轴的长，b是虚半轴的长，焦点始终在实轴上.下面，请一位同学来谈一下离心率.

［生丁］双曲线的焦距与实轴长的比e=叫做双曲线的离心率.e=且e∈（1,+∞），这是因为c＞a＞0.

［师］离心率对双曲线张口的大小有什么影响？

为搞清这个问题，我们先来看双曲线特有的另外一个性质——渐近线.

经过A2、A1作y轴的平行线x=±

a,经过B2、B1作x轴的平行线y=±

b，这四条直线围成一个矩形（打出多媒体课件），矩形的两条对角线所在的直线的方程是——（教师可拉长语气，等待学生作答）y=±

x，从图中可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.我们观察到的这个结论可靠不可靠呢？

下面，我们来进行证明.

先取双曲线在第一象限的部分进行证明，这一部分的方程可写成

y=（x＞a）

设M（x,y）是它上面的点，N（x,y）是直线y=x上与M有相同横坐标的点，则y=x

∵y==

∴|MN|=Y-y=

∴|MN|=

∴|MN|=

设|MQ|是点M到直线y=x的距离，则|MQ|＜|MN|，当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于0，|MQ|也接近于0，就是说，双曲线在第一象限部分从射线ON的下方逐渐接近于ON.

在其他象限内，也可以证明类似的情况.

我们把两条直线y=±

x叫做双曲线的渐近线.

在方程中，如果a=b，那么双曲线的方程为x2-y2=a2,它的实轴和虚轴的长都等于2a,这时四条直线x=±

a,y=±

a围成正方形.渐近线方程为y=±

x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角，实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.

利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图，具体做法：

画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后再过这两个点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分.最后根据双曲线的对称性画出完整的双曲线.

有了双曲线的渐近线，我们再来讨论离心率对双曲线张口大小的影响，就方便了.

由等式c2-a2=b2可得

由上式可以看出，e越大，也越大，即渐近线y=±

x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，由此可知，双曲线的离心率越大，它的张口就越大.

Ⅲ.例题分析

［例1］求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长是多少？

虚半轴长呢？

焦点坐标、离心率、渐近线方程各是什么？

［师］要解决这个问题，首先需要怎样做？

［生］将所给的方程化成标准方程.

［师］好，下面请同学们完成此题.

（学生在下面做，请一位同学在黑板上板书）

（教师在巡视时可提出问题：

化成标准方程后，可以看出焦点在哪个轴上呢？

或者双曲线的实轴在哪个坐标轴上？

写出焦点坐标、渐近线方程时一定要注意！

）

（学生解答之后，教师讲解，也许渐近线方程会出错，要告诉学生怎样正确地写出渐近线方程）

［师］根据双曲线的标准方程写出渐近线方程的方法有两种：

1.画出以实轴长、虚轴长为邻边的矩形，写出其对角线方程，特别要注意对角线的斜率的确定.

2.将双曲线标准方程等号右边的1改为0，即得双曲线的渐近线方程，再据此推出y=kx的形式.

另外需要注意的是：

若已知双曲线的标准方程则可以写出其渐近线方程，但若已知双曲线的渐近线方程，则不能仅据此确定a、b的值，只能确定a、b的关系，这点与离心率是类同的.

Ⅳ.课堂练习

课本P113练习1、5

1.求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程：

（1）x2-8y2=32

（2）9x2-y2=81

（3）x2-y2=-4

（4）

答案：

（1）2a=8,2b=4;

顶点坐标为（4，0），（-4，0）；

焦点坐标为（6,0）,（-6,0）;

e=;

渐近线方程为y=±

x.

（2）2a=6,2b=18;

顶点坐标（3，0），（-3，0）；

焦点坐标（3，0），（-3，0）；

3x.

（3）2a=4,2b=4;

顶点坐标是（0，2），（0，-2）；

焦点坐标为（0，2），（0，-2）；

离心率e=;

渐近线方程为x=±

y.

（4）2a=10,2b=14;

顶点坐标是（0，5），（0，-5）；

焦点坐标为（0，），（0，-）；

5.当渐近线的方程为y=±

x时，双曲线的标准方程一定是吗？

如果不一定，举出一个反例.

不一定是

反例：

双曲线的准线方程为：

y=±

Ⅴ.课时小结

本节课我们讨论了双曲线的简单几何性质、范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.为了加深理解和掌握，大家可以与椭圆对照，比较异同点，准确把握，同时，请同学们写出焦点在y轴上的标准方程表示的双曲线的范围、对称性、顶点、实半轴长、虚半轴长、离心率、渐近线方程.

Ⅵ.课后作业

（一）课本P113习题8.41、5、6

（二）1.预习内容：

课本P111例2、例3

2.预习提纲：

（1）解有实际意义的题目关键是什么？

（2）不清楚双曲线焦点位置时，其标准方程有几种形式？

是怎样的？

（3）双曲线的比值定义是什么？

（4）怎样的直线叫做双曲线的准线？

（5）对于确定的双曲线，它有几条准线？

（6）中心在原点、焦点在y轴上的双曲线，它的准线方程是怎样的？

●板书设计

8.4.1双曲线的简单几何性质

椭圆的标准方程

（a＞b＞0）

范围

对称性

顶点

离心率

双曲线的标准方程

（a＞0,b＞0）

渐近线

例1

练习

小结

2019-2020年高二数学8.5抛物线及其标准方程（第一课时）大纲人教版必修

2课时

从容说课

抛物线是继椭圆、双曲线之后的第三种圆锥曲线，与前两者不同的是学生在初中己学过“二次函数的图象是抛物线”，在物理上也研究过“抛物线是抛体的运动轨迹”，这些足以说明抛物线在实际生活中应用的广泛性，在这节内容里我们将更深入地研究抛物线的定义及其标准方程。

通过类比的思想，可根据椭圆与双曲线的第二定义顺利得出抛物线及其焦点与准线的定义，接下来用同样的思想建立恰当的坐标系求出抛物线的标准方程，一共有四种（开口向上、向下、向左或向右），值得一提的是标准方程中的“P”P的几何意义以及焦点坐标、准线方程与P的关系都是本节重点.学生应掌握如何根据标准方程求P、焦点坐标与准线方程，或根据后三者求标准方程，特别是对于一些有关距离的最值问题，学生必须灵活运用抛物线定义给予解决，让其从中体会基础知识与基本技能的重要.

8.5.1抛物线及其标准方程

（一）

1.抛物线的定义.

2.抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线.

1.掌握抛物线的定义及其标准方程.

2.掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系.

1.训练学生化简方程的运算能力.

2.培养学生数形结合、分类讨论的思想.

3.根据圆锥曲线的统一定义，可以对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育.

1.抛物线的定义及焦点与准线.

2.抛物线的四种标准方程形式，以及p的意义.

1.抛物线的四种图形及标准方程的推导

2．抛物线定义及焦点、准线等知识的灵活运用.

启发引导式

通过回忆椭圆与双曲线的第二定义可引入抛物线的定义，从而推出抛物线的四种标准方程.

投影片两张

第一张：

抛物线的四种形式（记作§

8.5.1A）

第二张：

例题与课时小结（记作§

8.5.1B）

［师］我们知道，到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹，当常数在（0，1）内变化时，轨迹是椭圆；

当常数大于1时，轨迹是双曲线；

那么当常数等于1时轨迹是什么曲线呢？

这就是今天我们要学习的第三种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程.

板书课题“抛物线及其标准方程

（1）”.

［师］现在，同学们思考两个问题：

1.对抛物线大家已有了哪些认识？

［生］在物理学中，抛物线被认为是抛体运动的轨迹；

在数学中，抛物线是二次函数的图象.

［师］2.二次函数中抛物线的图象特征是什么？

［生］在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴平行于y轴，开口向上或开口向下两种情形

［师］如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了.今天我们突破函数研究中的限制，从一般意义上来研究抛物线.

［师］如图所示，把一根直尺固定在图上直线l的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长（即点A到直线l的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F，用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线.请同学们说出这条曲线有什么特征？

［生］这条曲线上任意一点P到F的距离与它到直线l的距离相等.再把图板绕点F旋转90°

，曲线即为初中见过的抛物线.

［师］现在我们一起归纳抛物线的定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.下面根据抛物线的定义来求其方程，大家先想想一般求曲线方程的步骤.

［生］首先建立适当的坐标系，然后在曲线上任取一点坐标设为（x,y），再根据题意找出x与y的关系即为所求方程.

［师］现在大家自己求抛物线方程，根据抛物线定义，知道F是定点，l是定直线，从而F到l的距离为定值，设为p，则p是大于0的数.

以下是学生的几种不同求法：

解法一：

以l为y轴，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系（如右图所示），则定点F（p,0）

设动点M（x,y），由抛物线定义得：

化简得：

y2=2px-p2（p＞0）

解法二：

以定点F为原点，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系（如右图所示），则定点F（0，0），l的方程为x=-p.

=|x+p|

y2=2px+p2（p＞0）

解法三：

取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示，则有F（,0）,l的方程为x=-.

化简得

y2=2px（p＞0）

［师］通过比较可以看出，第三种解法的答案不仅具有较简的形式，而且方程中一次项的系数是焦点到准线距离的2倍.我们把这个方程叫做抛物线的标准方程，它表示抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是（,0），准线方程是x=-.现在大家开始做课本P118上的练习第1题.

学生们经过一番运算，得出当坐标系变为以过焦点且垂直于直线l的直线作为y轴，原点和抛物线都不变时，抛物线方程为x2=2py.

［师］一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，如下表所示：

（打出投影片§

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程

（,0）

x=-

y2=-2px（p＞0）

（-,0）

x=

x2=2py（p＞0）

（0,）

y=-

x2=-2py（p＞0）

（0,-）

y=

［师］下面结合表格，看下列例题：

（打开§

1.已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程.

2.已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程.

分析：

1.先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程.

2.先根据焦点位置确定抛物线类型，设出标准方程，求出p，再写出标准方程.

解：

1.∵抛物线方程为y2=6x

∴p=3

则焦点坐标是（，0）

准线方程是x=-

2.∵焦点在y轴的负半轴上，且=2

∴p=4

则所求抛物线的标准方程是

x2=-8y

Ⅲ.课堂练习

请学生板演

（1）根据下列条件写出抛物线的标准方程：

①焦点是F（0,3），

②准线方程是x=-，

③焦点到准线的距离是2.

①∵焦点是F（0，3）

∴抛物线开口向上，且=3

则p=6

∴所求抛物线方程是

x2=12y

②∵准线方程是x=-

∴抛物线开口向右，且=

则p=

∴所求抛物线方程是y2=x

③∵焦点到准线的距离是2,

∴p=2

y2=4x、y2=-4x、x2=4y、x2=-4y

（2）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

①y2=20x,

②x2+8y=0,

③2y2+5x=0.

①∵抛物线方程为y2=20x,

∴p=10

则焦点坐标是F（5,0）

准线方程是x=-5

②∵抛物线方程是x2+8y=0,即x2=-8y

则焦点坐标是F（0，-2）

准线方程是y=2

③∵抛物线方程是2y2+5x=0，即y2=-x

∴p=

则焦点坐标是F（-,0）

准线方程是x=.

Ⅳ.课时小结

由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式都只含有一个参数p，因此只要给出确定p的一个条件就可以求出抛物线的标准方程.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就惟一确定.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P119习题8.52、4

（二）预习内容：

该小节剩下的两道例题.

抛物线定义

标准方程推导

例题

练习题

课时小结