人教版九年级上册数学第二十三章《旋转》导学案有答案文档格式.docx

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三、合作展示

1．如图，

如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：

（1）旋转中心是

什么？

旋转角是什么？

（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？

2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都

是边长为1的正方形．

（1）这个图案可以看做是哪个“

基本图案”通过旋转得到的？

（2）请画出旋转中心和旋转角．

（3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？

四、反思小结

1.旋转的概念:

在平面内将一个图形绕着一个定点沿某个方向

转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.

2.平移与旋转的异同.

五、达标测试

一、选择题

1.下列图片中，哪些是由图片

（1）分别经过平移和旋转得到的（　　）

2.下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（　　）

A．

B．

C．

D．

3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°

．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（　　）

A．55°

B．60°

C．65°

D．80°

3题图4题图

4.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是（　　）

A．45°

B．60°

C．90°

D．120°

二、填空题

5.如图所示，△ABC绕点A逆时针旋转某一角度得到△ADE，若∠1=∠2=∠3=20°

，则旋转角为_______度．

5题图6题图7题图

6.如图是电脑CPU风扇的示意图．风扇共有9个叶片，每个叶片的面积约为8cm2．已知∠AOB=120°

，在风扇的转动过程中，叶片落在扇形AOB内部的面积为_______cm2．

7.如图，P是正△ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为PP′=_____，∠APB=______度．

8.如图，△ABC为等边三角形，△AP′B旋转后能与△APC重合，那么：

（1）指出旋转中心；

（2）求旋转角的度数；

（3）求∠PAP′的度数．

9.如图，正方形ABCD中，E在BC上，△DEC按顺时针方向转动一个角度后成△DGA．

（1）图中哪一个点是旋转中心？

（2）旋转了多少度？

（3）已知CD=4，CE=3，求GE长．

23.2.1中心对称

1.通过旋转作图认识两个图形关于某一点对称（或中心对称）的本质；

就是一个图形绕一点旋转180°

而成.

2.通过作图探索中心对称的两个图形的性质；

会利用中心对称的性质作出某一图形成中心对称的图形；

会确定对称中心的位置.

3.经历对日常生活中与中心对称有关的图形进行观察、分析、欣赏、动手操作、画图等过程，感受生活中的对称美.

中心对称的性质及应用.

确定对称中心的位置.

问题：

作出如图的两个图形绕点O旋转180

°

的图案，并回答下列的问题：

1．以O为旋转中心，旋转180°

后两个

图形是否重合？

2．各对称点绕O旋转180°

后，这三点是否在一条直线上？

如图所示的两个图案绕O旋转1

80°

都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合．

像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°

，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做．

这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

例1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°

，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．

（1）这两个图形是中心对称图形吗？

如果是对称中心是哪一点？

如果不是，请说明理由．

（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点．

分析：

（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，对称中心就是旋转中心．

（3）

旋转后的对应点，便是中心的对称点．

归纳：

1．中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过，而且被

所平分．

2．关于中心对称的两个图形是图形.

例2．如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．

中心对称就是旋转180°

，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°

，因此，我们连AO、BO、CO并延长，取与它们相等的线段即可得到.

例3：

画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形，并用适当文字简述画法．

例4.如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-2，-1），B（-3，-3），C（-1，-3）．

（1）出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；

（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．

学生自主学习，完成例题的学习.请各个小组上台演示解答过程.

谈谈自己对这节课的感受，

教师点评各个小组的表现.

1.你玩过扑克牌吗？

你仔细观察过每张扑克牌的图案吗？

下列扑克牌的图案中，是中心对称的一组是（　　）

A．红挑6与红挑4B．方块6与方块4

C．梅花6与梅花4D．黑挑6与黑挑4

2.如图△ABC与△AB′C′成中心对称，A为对称中心，若∠C=90°

，∠B=30°

，AC=1，则BB′的长为（　　）

A．4B．

C．

3.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC与E、F两点，则阴影部分的面积是（　　）

A．1B．2C．3D．4

2题图3题图4题图

4.如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上某个点成中心对称，则点B的对称点是（　　）

A．点EB．点FC．点GD．点H

5.已知O是ABCD的对称中心，E是AB的中心，请写出一个与OE有关的结论：

______________．（答案不唯一，参考举例）

6.如图，P为平行四边形ABCD的对称中心，以P为圆心作圆，过P的任意直线与圆相交于点M、N．则线段BM、DN的大小关系是_______.

6题图7题图

7.如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为________.

三、解答题

8.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，点A、B、C都是格点．

（1）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°

得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

（2）依次连结BC1、B1C，猜想四边形BC1B1C是什么特殊四边形？

并说明理由．

9.已知：

如图所示，△ABC为任意三角形，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°

得到△DEC．

（1）试猜想AE与BD有何关系？

说明理由；

（2）请给△ABC添加一个条件，使旋转得到的四边形ABDE为矩形，并说明理由．

23.2.2中心对称图形

1.经历观察图形的过程，建立中心对称图形的概念，会判断一个图形是不是中心对称图形.

2.通过动手操作，总结找中心对称图形对称中心的方法，发展归纳、总结的能力，积累问题的能力.

中心对称图形的概念及其他运用

中心对称图形性质的灵活运用

一、创设问题情境

本节课我们来学习一种具有特殊性质的图形，它们是一个图形经过旋转180°

后旋转形成的图形，到底它们是怎样的呢？

让我们一起来认识吧！

1

.作图题．

（1）作出线段AO关于O点的对称图形，如图所示．

（2）作出三角形AOB关于O点的对称图形，如图所示．

（1）题就是将线段AB绕它的中点旋转180°

，因为OA=OB，所以，就是线段AB绕它的中点旋

转180°

后与它重合．

上面的

（2）题，连结AD、BC，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，就成

平行四边形，如图所示．

∵AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD，∴A

B=CD.

也就是，ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°

后

与它本身重合．

因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°

，如果旋转后的图形能够与原来

的图形，那么这个图形叫做，这个点就是它的对称中心.

2．举出学过的哪些几何图形是中心对称图形

3.课前准备一些精美的中心对称图形，用图片给予展示.

4.在艺术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母，是中心对称图形吗？

如果是，请标出它们的对称中心．

5.如图，是一个4×

4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：

①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；

②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4．

1.通过本节课的学习你有什么收获？

把你的收获与全班同学分享.

2.你还有什么问题吗？

3.教师点评各小组的学习表现.

1.下面图形中，是中心对称图形的是（　　）

2.在正方形、等腰三角形、矩形、菱形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3.把等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，那么四边形ABDC（　　）

A．是中心对称图形，不是轴对称图形B．是轴对称图形，不是中心对称图形

C．既是中心对称图形，又是轴对称图形D．以上都不正确

4.下列四个汽车图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图标有______个．

5.如图，在4×

4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有_______种．

6.如图是10×

8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B、C三点在小正方形的顶点上，请在图①、②中各画一个凸四边形，使其满足以下要求：

7.如图，AC=BD，∠A=∠B，点E,F在AB上，且DE∥CF，试说明该图是中心对称图形.

8.阅读材料：

对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图：

尝试应用：

（1）将图1分成面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹）：

（2）用不同的方法把图2分成面积相等的两部分：

拓展延伸：

把图3分成面积相等的两部分.

23.2.3关于原点对称的点的坐标

1.能运用中心对称的知识猜想并验证关于原点对称的点的坐标的性质.

2.利用该对称性质在平面直角坐标系内关于原点对称的图形，形成观察、分析、探究用合作交流的学习习惯，体验事物的变化之间是有联系的.

平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系及其应用.

关于原点对称的点的坐标性质及其运用它解决实际问题．

在平面直角坐标系中，我们学习了关于x轴和关于y轴对称的点的坐标特点.那么关于原点对称的点坐标又有什么新特点呢?

让我们一起进入今天的学习吧!

如图23-74，在直角坐标系中，已知A（-3，1）、B（-4，0）、C（0，3）、D（2，2）、E（3，-3）、F（-2，-2），作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：

这些坐标与已知点的坐标有什么关系？

提示：

画法：

（1）连结

AO并延长AO,

（2）在射线AO上截取OA′=OA,

（3

）过A作AD′⊥x轴于D′点，过A′作A′D″⊥x轴于点D″,

∵△AD′O与△A′D″O全等,

∴AD′=A′D″，OA=OA′,

∴A′（3，-1）,

同理可得B、C、D

、E、F

这些点关于原点的中心对称点的坐标．

讨论：

关于原点作中心对称时，①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？

纵

坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？

②坐标与坐标之间符号又有什么特点？

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号，即点P（x，y）关于原点O的对称点P′（，）．

例1．如图，利用关于原点对称的

点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图形．

要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可.

例2：

在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）点A关于原点的对称点A′的坐标是_____，点B关于原点对称的点B′的坐标是______；

（2）求直线y=x+2关于原点对称的直线的解析式．

【分析】

（1）先根据直线的解析式求出点A与点B的坐标，再根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答；

（2）根据若两条直线关于原点对称，则这两条直线平行，即k值不变；

与y轴的交点关于原点对称，即b值互为相反数可以直接写出答案．

关于原点对称的点的坐标：

特征：

P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）.

作图：

作出关于原点对称的图形，先求出对称点的坐标再描点画图.

1.已知点P（－1，m2＋1）与点Q关于原点对称，则点Q一定在（）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

2.将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，其中一个顶点为A（-3，-1）．先将它绕原点O旋转180°

到乙位置，再将它向下平移2个单位长度到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对应点A′的坐标为

A．（3，-1）B．（1，1）C．（3，1）D．（-1，3）

3.以如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，如果以MN所在的直线为y轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使A点与B点关于原点对称，则这时C点的坐标可能是（　　）

A．（1，3）B．（2，-1）C．（2，1）D．（3，1）

4.平面直角坐标系中有A、B、C三点，A与B关于x轴对称，A与C关于原点对称，A的坐标是（-3，2），则△ABC的面积等于（　　）

A．24B．20C．16D．12

5.如图，已知点A（2，3）和直线y=x，

（1）点A关于直线y=x的对称点为点B，点A关于原点（0，0）的对称点为点C；

写出点B、C的坐标；

（2）若点D是点B关于原点（0，0）的对称点，判断四形ABCD的形状，并说明理由．

6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称．

（1）画出对称中心E，并写出点E、A、C的坐标；

（2）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P2（a+6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，并写出点A2、C2的坐标；

（3）判断△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系．（直接写出结果）

7.阅读理解：

我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的对称中心的坐标为（

，

）．

观察应用：

（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1（0，-1）、P2（2，3）的对称中心是点A，求点A的坐标；

（2）另取两点B（-1.6，2.1）、C（-1，0）．有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，….求点P3、P8的坐标．

达标测试答案

1.A

2.C解析：

选项A、不能通过平移得到，故错误；

选项B、是平移变换，不能通过旋转得到，故错误；

选项C、既符合平移变化，又能旋转得到，故正确；

选项D、是旋转变化，但不能通过平移得到，故错误．

3.B解析：

∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°

，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，∴AB1=

BC，BB1=B1C，AB=AB1，∴BB1=AB=AB1，∴△ABB1是等边三角形，∴∠BAB1=60°

，∴旋转的角度等于60°

．

4.C解析：

连接AC、BD，AC与BD的交点即为旋转中心O．根据旋转的性质知，点C与点D对应，则∠DOC就是旋转角．∵四边形ABCD是正方形．∴∠DOC=90°

5.40解析：

∵∠1=∠2=∠3=20°

，∴∠1+∠2=40°

=∠BAD，即旋转角是40度．

6.24解析：

由图可知叶片落在扇形AOB内部的面积是图形面积的

，因而叶片落在扇形AOB内部的面积为72×

=24cm2.

7.6，150解析：

连接PP′，∵PA=6，PB=8，PC=P′B=10，∵∠PAP′=60°

，∴P′A=PP′=PA=6，∴P′B=PC=10，∴∠P′PB=90°

，∴∠APB=90°

+60°

=150°

8.解：

（1）如图，∵△AP′B旋转后能与△APC重合，

∴旋转中心是点A；

（2）旋转角是∠BAC=60°

；

（3）由

（2）得：

∠P′AP=∠BAC=60°

9.解：

（1）旋转中心是点D；

（2）∵△DEC按顺时针方向转动一个角度后成△DGA，∴旋转角的度数等于∠ADC的度数，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°

，∴旋转了90°

（3）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°

，DC=AB=BC=4，∵CE=3，∴BE=4-3=1，∵△DEC按顺时针方向转动一个角度后成△DGA，∴△DEC≌△DGA，∴AG=CE=3，∴BG=3+4=7，在Rt△GBE中，GE=

=

=5

1.B

2.A解析：

∵在Rt△ABC中，∠B=30°

，AC=1，∴AB=2AC=2，∴BB′=2AB=4．

3.A解析：

∵四边形ABCD是正方形，∴∠EDB=∠OBF，DO=BO，在△EDO和△FBO中，∠EDO＝∠FBO,DO＝BO,∠FOB＝∠EOD,∴△DEO≌△BFO（ASA），∴S△DEO=S△BFO，阴影面积=三角形BOC面积=

×

2×

2=1．

4.D解析：

由于四边形ABCD与四边形EFGH都是菱形，且关于直线BD上某个点成中心对称，根据中心对称的定义可知，点B的对称点是H．

5.BC=2OE，OE∥BC解析：

O是ABCD的对称中心，E是AB的中心，则AE=BE，OA=OC．则与OE有关的结论：

BC=2OE，OE∥BC．

6.BM=DN解析：

连接BD，因为P为平行四边形ABCD的对称中心，则P是平行四边形两对角线的交点，即BD必过点P，且BP=DP，∵以P为圆心作圆，∴P又是圆的对称中心，∵过P的任意直线与圆相交于点M、N，∴PN=PM，∵∠DPN=∠BPM，∴△PDN≌△PBM（SAS），∴BM=DN．

7.12解析：

∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=

6×

8=24，∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=

24=12．

8.解：

（1）如图所示，△A1B1C1为所求作的三角形：

（2）四边形BC1B1C是平行四边形，连结BB1，CC1，∵点B与B1，点C与C1分别关于点O成中心对称，∴OB=OB1，OC=OC1，∴四边形BC1B1C是平行四边形．

（1）AE∥BD，且AE=BD．理由如下：

∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°

得到△DEC，∴△ABC≌△DEC，∴AB=DE，∠ABC=∠DEC，∴AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD，且AE=BD；

（2）AC=BC．理由如下：

∵AC=BC，∴根据旋转的性质推知AC=BC=CE=CD，∴AD=BE，又由

（1）知，四边形ABDE是平行四边形，

∴四边形ABDE为矩形．

1.C解析：

选项A、不是中心对称图形，错误；

选项B、不是中心对称图形，错误；

选项C、是中心对称图形，正确；

选项D、不是中心对称图形，错误．

中心对称图形有正方形、矩形、菱形；

轴对称图形有：

正方形、等腰梯形、矩形、菱形，既是中心对称又是轴对称的图形有正方形、矩形、菱形．

3.C解析：

∵等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，∴四边形ABDC是菱形，∵菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，∴四边形ABDC既是中心对称图形，又是轴对称图形．

4.1解析：

第一个图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；

第二个图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；

第三个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不合题意；

第四个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不合题意．

5.4解析：

如图所示：

这个格点正方形的作法共有4种．

6.解：

（1）如图所示：

四边形ABCD即为所求；

（2）如图所示：

四边形ABCD即为所求

7.连接CD交AB于点O，∵AC=BD，∠A=∠B，又∵∠AOC=∠BOD,∴△ACO≌△BDO（AAS）∴OA=OB,OC=OD，∴A,B和C,D分别关于点O对称.∵DE∥CF，∴∠ODE=∠OCF，又∵∠DOE=∠COF，OC=OD,∴△ODE≌△OCF（ASA）∴OE=OF，∴点E,F也关于点O对称，∴此图形是中心对称图形，对称中心是点O.

尝试应用

（1） 

（2）

1.D

∵点A（-3，-1）绕原点O旋转180°

到乙位置，∴A在乙位置时的坐标为（3，1），∵A在乙位置向下平移2个单位长度到丙位置，∴丙位置中的对应点A′的坐标为（3，-1）．

根据A点与B点关于原点对称，MN所在的直线为y轴，可以确定x轴和原点的位置．所以点C的坐标是（2，-1）．

4.