春季讲义天津中考专题动态几何之定值问题教师版Word文档格式.docx
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1）中的
（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（结论是否仍然成立？
若成立，请给予证明；
若不成立，请说明理由.
（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的
数量关系？
请直接写出你的猜想.
例2:
（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH.
（1）求证：
/APB=/BPH;
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？
并证明你的结论；
（3）设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？
若存在,
（4）
求出这个最小值；
若不存在，请说明理由.
【考点】翻折变换（折叠问题）
，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理,次函数的最值。
【分析】
（1）根据翻折变换的性质得出/PBC=/BPH，进而利用平行线的性质得出/APB=/PBC即可得
出答案。
（2）先由AAS证明△ABPQBP，从而由HL得出△BCH◎△BQH，即可得CH=QH。
因此，
△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。
（3）利用已知得出△EFM◎△BPA，从而利用在Rt△APE中，（4-BE）2+x2=BE2，禾U用二次函数的最值求出即可。
例3:
（2012福建泉州12分）已知：
A、B、C不在同一直线上.
（1）若点A、B、C均在半径为R的OO上，
i）如图一，当/A=45°
时，R=1，求/BOC的度数和BC的长度;
BC
ii）如图二，当/A为锐角时，求证sin/A=-
2R
（2）.若定长线段BC的两个端点分别在/MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三,
P、A
当/MAN=60,BC=2时，分别作BP丄AM,CP丄AN，交点为点P，试探索：
在整个滑动过程中,
两点的距离是否保持不变？
请说明理由
【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形中线性质。
（1）i）根据圆周角定理得出/BOC=2/A=90°
，再利用勾股定理得出BC的长;
BCBC
ii）作直径CE,则/E=/A,CE=2R，利用sin/A=sin/E=——：
——，得出即可。
BE2R
（2）首先证明点A、B、P、C都在OK上，再利用sin/A=BC，得出AP=BC=43（定值）即
2Rsin60°
3
可。
二、面积（和差）为定值问题：
（2012湖北十堰3分）如图，O是正△ABC内一点，OA=3,OB=4,OC=5，将线段BO以点B为旋
转中心逆时针旋转60°
得到线段BO,下列结论：
①△BOA可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°
得到；
②
点O与O'
的距离为4;
③/AOB=150
；
④S四边形a°
bo=6+3込；
⑤Saoc—年•其中正确的结论是【
【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。
（2012广西玉林、防城港12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是
（0,4）,现有两动点P、Q,点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O,C）以每秒2个单位长度的速度，
匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点
D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=25.
（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；
（2）连接AQ并延长交X轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F连接EF，则厶AEF的面积S是否随t的变化而变化？
若变化，求出S与t的函数关系式；
若不变化，求出S的值.
（3）在
（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？
【考点】动点和翻折问题，矩形的性质，勾股定理，翻折对称的性质，相似三角形的判定和性质，梯形的性质，解一元二次方程。
（1）由勾股定理可求PC而得点C的坐标，根据矩形的性质可得点D的坐标。
点P到达终点所需时间为8^2=4秒，点Q到达终点所需时间为4+1=4秒，由题意可知，t的取值范围为：
0Vtv4。
（2）根据相似三角形和翻折对称的性质，求出S关于t的函数关系式，由于关系式为常数，所以
△AEF的面积S不变化，S=32。
（3）根据梯形的性质，应用相似三角形即可求解。
（2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合•在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG,过点A作CG的平行线交线段GH于点P,连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中
0<
xw2.5
⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y=3时相应x的值；
⑵记△DGP的面积为S!
^CDG的面积为$.试说明S2是常数;
⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.
【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由tan.CGD=tan.PAG可解出x的值。
（2）利用
（1）得出的y与x的关系式表示出Si、S2,然后作差即可。
（3）延长PD交AC于点Q,然后判断厶DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值,在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度。
三、其它定值问题：
（2012山东淄博4分）如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法
折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半•这样的图形有【】
（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个
【考点】正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定,
直角三角形斜边上中线的性质，三角形内角和定理。
（2012四川绵阳14分）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数
21
y=ax+—x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（-3，0），M（0，-1）。
已知AM=BC。
6
（1）求二次函数的解析式；
（2）证明：
在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；
（3）在
（2）的条件下，设直线I过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N。
11
1若直线I丄BD，如图1所示，试求—一的值；
BPBQ
2
若I为满足条件的任意直线。
如图2所示，①中的结论还成立吗？
若成立，证明你的猜想；
若不成立，
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形、菱形的判定和性质，平行线间的比例线段关系，相似三角形的判定和性质，分式化简。
（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式。
（2）首先求出D点的坐标，可得
AD=BC且AD//BC,所以四边形
ABCD是平行四边形；
再根
据B、D
点的坐标，利用待定系数法求出直线
BD的解析式。
（3）本问的关键是判定平行四边形
ABCD是菱形。
①推出AC//直线l，从而根据平行线间的比例线段关系，求出
BP、CQ的长度，计算出
11
1
BPBQ5
②判定△PADDCQ，得到AP?
CQ=25，利用这个关系式对11进行分式的化简求
111
值，结论为——+——=-不变。
练习题
1.如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和厶ECF，固定△ABD,并把△ABD与厶ECF叠放在一起.
（1）操作：
如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）.求证：
BH?
GD=BF2
（2）操作：
如图③，△ECF的顶点F在厶ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG//CE,交FE于点G,连接DG.
（3）
探究：
FD+DG=.请予证明.
_1
端点B、C不重含），过点D作直线yxb交折线OAB于点E。
（1）记厶ODE的面积为S.求S与b的函数关系式：
（2）当点E在线段OA上时，且tan/DEO=—。
若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形
O1A1B1G•试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不交，求出该重
叠部分妁面积；
若改变•请说明理由。
3.如图，将△ABC的顶点A放在OO上，现从AC与OO相切于点A（如图1）
的位置开始，将△ABC绕着点A顺时针旋转，设旋转角为a（0°
<
a<
120°
旋转后AC,AB分别与
OO交于点E,F,连接EF（如图2）.已知/BAC=60,/C=90,AC=8,OO的直径为8.
（1）在旋转过程中，有以下几个量：
①弦EF的长②EF的长③/AFE的度数④点O到EF的距离.
其中不变的量是（填序号）；
⑵当BC与OO相切时，请直接写出:
-的值，并求此时△AEF的面积.
圉1
图2
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