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数学思想；
数学方法；
数学思想方法；
教学；
学习
Inthehighschoolmathematicscurriculumteachingresearchofmathematicalthinkingmethod
Abstract
Mathematicalproblemsolvingmethodsareusedintheembodiescertainmathematicalthought,certainmathematicalthoughtdependsonmathematicalmethodstoachieve,mathematicalthoughtandmethodarecollectivelyreferredtoasmathematicalthinkingmethod.Mathematicalthinkingmethodistheessenceofmathematicsknowledge,spirit,itistheunderstandingofmathematicsessenceandunderstanding,isthefundamentalpurposeofmathematicslearning.Underthenewcurriculumreform,weshouldchangeonthoughtunderstandingofmathematicalthinkingmethodsofteachingandlearning.Howtopermeatemathematicalthinkingmethodintheteaching,shouldpayattentiontohierarchyandprogressive,procedural,variantteachingstrategies.Intheteachingprocess,howtoapplyisveryimportant!
Mathematicsthoughtmethodteachingmethodsfromthreelargeaspects.Learningthemethodofmathematicalthinkingmethodsneedtogothroughthreestagesandfourwaystoachieve.
Keyword：
mathematicalthinking;
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目录
第一章前言1
1.1数学思想1
1.2数学方法1
1.3数学思想方法1
第二章《普通高中数学课程标准》的要求2
第三章新课程改革下数学教学存在问题3
第四章如何正视新课程3
4.1学习方式3
4.2教学方式4
4.3评价方式4
第五章如何在教学中渗透数学思想方法4
5.1在基础知识的教学中渗透数学思想方法5
5.2在解题教学中渗透数学思想方法6
5.3在复习教学中渗透数学思想方法6
第六章如何实现数学思想方法教学7
6.1层次性和渐进性8
6.2过程性8
6.3变式教学8
第七章学生学习数学思想方法的途径9
7.1在教材中充分挖掘数学思想方法9
7.2在概念形成的过程中渗透数学思想方法10
7.3在问题解决过程中揭示数学思想方法11
7.4在知识整理总结中概括和提炼数学思想方法11
主要参考文献13
致谢14
第一章前言
数学思想方法是数学的灵魂。
引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，使学生真正知晓数学的价值，建立正确的数学观念，提高学生思维水平，从而发展数学、运用数学。
正像一个人的存在必须有肉体和灵魂的统一相同，数学概念、原理是肉体而数学思想方法是灵魂，它们共同组成了数学的知识体系。
数学思想方法的本质地位，决定了其成为《数学课程标准》的核心。
数学思想方法具有层次性，第一层次是与某些特殊问题联系在一起的方法，通常称为“解题术”；
第二层次是解决一类问题时采用的共同方法，称为“解题方法”；
第三层次是数学思想，这是人们对数学知识以及数学方法的本质认识；
第四层次是数学观念，这是数学思想方法的最高境界，是一种认识客观世界的哲学思想。
1.1数学思想
数学思想是指人类对数学对象及其研究的本质及规律性的认识，它是在数学活动中解决问题的基本观点和根本想法，是建立数学和运用数学工具解决问题的指导思想。
数学思想从宏观角度看包括：
公理化思想、模型思想、转化思想、分类思想等。
从微观角度看包括：
如函数思想、方程思想、数形结合思想等等数学思想。
宏观数学思想对数学整体的认识，能够运用于其他科学和数学内部的各个分支。
微观数学思想则是对数学内部各分支及各种体系结构中特定内容和方法的认识。
1.2数学方法
数学方法是指从数学提出问题、解决问题的过程中概括性的策略，在高中数学中常用的数学方法可以分为三类。
第一，一般的逻辑推理方法和发现方法，如分析法、综合法、反证法、穷举法（分类讨论）和归纳法、类比法等，它们不仅适用于数学，而且适用于其他学科领域，而当它们运用于数学中时则具有明显的数学特色。
第二，数学中的一般方法，如极限方法、关系映射反演方法、数学模型方法、图像法（坐标法）、比较法、向量法、数学归纳法等。
这些方法的作用范围很广，有的甚至影响着一个数学分支和其他学科的发展方向。
第三，数学中的特殊方法，如换元法、待定系数法、配方法、公式法、平移法、翻折法等，它们往往和数学内容联系在一起，是解决某类具体的数学问题的方法。
1.3数学思想方法
数学思想是数学中处理问题的基本观点，是对数学基本知识与基本方法本质的概括，数学方法是处理、解决、探索问题，实现数学思想的技术手段和工具。
它们之间既有联系又有区别：
首先，两者都是以一定的数学知识为基础。
其次，两者具有抽象概括程度的不同，表现出互为表里的关系。
数学方法受到数学思想的指引，是数学思想在数学活动中的反映和体现，表现形式外显；
而数学思想是相应数学方法的结晶和升华，表现形式内隐。
数学中用到的解题方法都体现着一定的数学思想，一定的数学思想想要靠数学方法去实现。
当我们强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法。
所以人们在数学学习与研究活动中，把思想和方法常统称为数学思想方法。
在数学教学中注重思想方法渗透，重视数学思想方法的教学，是提高个体思维品质和数学素养、发展智力的关键所在，也是现代社会对人才培养的基本要求。
当人们遇到数学问题时，首先产生的是解决它的数学思想，然后将数学思想转化为具体操作的数学方法，在数学思想与方法的运作下产生出数学概念、发现数学的规律。
所以，数学思想方法是由数学内容来反映的、是以一定的数学概念、数学的规律表现出来的。
了解什么是数学思想方法，运用教学论的相关理论，结合《普通高中数学课程标准》的要求，以及新课改下存在的问题，揭示我国普通高中数学教学的现状，分析问题原因，从学生学习和老师教学角度讨论并分析各种解决对策。
第二章《普通高中数学课程标准》的要求
数学思想方法的本质地位，决定了其成为《数学课程标准》的核心。
在《数学课程标准》中，一方面在课程的理念、目标中，明确提出了对数学思想方法的要求。
另一方面，在课程内容标准中，对数学思想方法的要求几乎渗透到每一个模块和专题中，同时在实施建议部分也作了相应的要求。
《全日制义务教育数学课程标准》的总体目标第一条是
：
获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。
《普通高中数学课程标准》（实验）（以下简称《标准》（实验））在总的要求中提出
“必修课程的呈现力求展现出由具体到抽象的过程，努力体现数学知识中蕴含的基本数学方法和内在的联系，体现数学知识的发生、发展过程和实际应用”。
“算法”是《标准》（实验）新增加的内容，把算法思想作为构建高中数学课程的基本线索之一，不仅在很大程度上改变了传统课程内容的设计，而且更多的是希望通过有关知识的学习，使学生感受其中的思想和方法。
新课程标准要求教师激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事学习活动的机会，促进他们自主学习，迫使现代中学数学教师必须转变教育理念，改进教学思想方法，培养学生，自主探索，合作交流的学习品质。
创设问题情景，激发学生探索的热情。
我们的做法是：
端正渗透思想，更新教育观念，明确思想方法的内涵，强化渗透意识，制定渗透目标；
在数学思想上重渗透，数学方法上重掌握，渗透途径上重探索，数学训练上重效果。
第三章新课程改革下数学教学存在问题
当前我国中学数学教育的大致情况是，学校里爱好数学、成绩好、又觉得比较轻松的学生不太多，多数学生对学习数学缺乏兴趣。
花的力气不少，但成绩并不好，数学成了学习的负担，拦路虎。
大多数学生很难达到理想的数学水平和能力。
其中有课程标准要求过高的原因；
有教材内容过多过繁的原因；
有教师水平不整齐，教得不够活的原因；
更有现行评价体制的原因，因为数学是主科，总归是要考的，应试、要考高分的牵制力是很大的。
数学教学存在的最大弊端是讲风太盛，包办太多，以讲代学。
主要表现为三种形式：
1、机械重复，主次不分，惟恐有疏漏不周的地方，有时为一个无关紧要的细节问题纠缠不清。
2、照本宣科，死搬硬套课本教学用书和报刊杂志上的材料，教学内容成了参考资料的简单罗列和堆砌。
3、肆意拔高。
不了解学生实际，随意拔高教学难度，难度提高了，而学生却被带地了云山雾海，所学知识稀里糊涂，为了克服这个弊端，应该力求语言简练明白，切忌语无伦次，杂乱无章。
第四章如何正视新课程
“新课程标准”的试行推广，再一次把问题摆放在我们教师面前。
如何在数学教学中更好地拓展学生的发散思维能力，为他们的探索性学习插上想象的翅膀，培养他们自己扑捉“灵感”的方法？
我们教师应正视新课程，抓住有利契机，及时转变观念，大胆放开脚步。
我们该如何正视新课程呢？
我个人认为，应在理智分析的应试教育和准确预测教育趋势基础上，正确认识以下几方面：
4.1学习方式
有些老师一提到“新课程”，就认为必须“否定传统教学”，其实这样理解是极片面的。
新课程、新理念并非否认过去，而是对过去的继承、创新和丰富，要求我们根据学生、教材、环境和教师自己等因素，从实际出发进行有机的“整合”。
对数学课进行“整合”，就要做一名辛苦的“编剧”。
千万不能让学生机械地进行“旧知练习→听取新知→尝试练习→知识梳理→巩固练习→复习训练→测试评估”，陷入无穷无尽的一系列训练中。
根据学生不同的“个性”，设计出适合他们的不同角色，使之能投入地进行“演出”。
久而久之，你会发现他们不仅仅掌握了所学知识，还会用自己的语言加以表述，更重要的是他们也能用各种方法发现、获取新知识。
4.2教学方式
以“教师为中心”、“学生为中心”、“教师为主导、学生为主体”的教学方式，正在被“你说、我说、大家说（教师说、学生说）”的课堂气氛所代替。
新课程的本质定位为“交往”，要求我们在课堂上必须和学生成为好朋友，彻彻底底地放下教师的架子，学会多以商量的口吻和态度与学生平等地对话、沟通、合作，和学生共同探讨、研究，成功地完成学习任务。
以“共建”的方式来“以教促学”“以学长教”、“互教互学”。
新课改以后，有些教师反映课堂纪律变差了，又不得不板起脸孔整顿乱哄哄的场面。
本人认为，只要教师善于引导、调控，让学生“乱”得有“形”，“形”乱而“神”不乱，又何尝不可。
从某种意义上讲，“活”与“乱”是等价的。
教师如能正确地处理好“收乱”与“放活”，使学生在一定的自由探究的“放”与教师不露痕迹的“收”结合起来，必能收到较好的教学效果。
新课程的教学方式，让我们真正成为学生的知己，他们不再“憎恨”数学课，不再“讨厌”数学教师。
在和谐、民主、平等的氛围中，教师的用武之地也随之拓宽了。
在充满生命活力与和谐气氛的教学环境中，师生共同参与、相互作用，摩擦出智慧的火花，结出创造之果。
4.3评价方式
评价≠鉴别，评价≠筛选，新课程要求下的评价方式是面向未来的、发展的、动态的，它为评价体系作为一个统一的整体加以运用。
其中特别重视"
诊断性评价"
和"
形成性评价"
，注重学生个体过去和现在的比较，承认人与人之间的发展存在差异。
从差异中发掘适合个人发展的教学方法，从而激发学生的学习热情和求知欲望，促进学生快速全面地发展。
第五章如何在教学中渗透数学思想方法
新一轮的国家基础教育课程改革已经在合国各地展开，更新理念，执行新标准，如何更好的走进新课程，对新的学习方式进行研究和探讨，显得十分迫切和必要。
教师必须冲破传统的教学理念和策略，探索适应新教材的教学模式，帮助学生形成新的富有特色的学习方式。
数学课堂教学不能只停留在课本所提供的素材上，教师还应该依据学生已有的知识背景和活动经验，提供学生更多的操作、思考和交流的机会，如提出富有启发性的问题等，使学生通过探索和交流形成新的知识。
（一）数学思想方法教学的前提——不断强化教师的意识；
（二）数学思想方法教学的启动——深入钻研教材和教师教学用书；
（三）数学思想方法教学的关键——抓准抓好知识与思想方法的结合点；
（四）数学思想方法教学的实施——‘点线面’教学法，对我们进行数学思想方法教学很有启发。
由于数学思想方法教学是以数学知识教学为载体的，而它又不同于数学知识的教学，它除应遵循通常的数学教学原则外，还应遵循如下原则“目标性原则、渗透性原则、层次性原则、概括性原则、实践性原则”、“计划性原则、科学性原则、重复性原则”等。
关于数学思想方法教学的途径问题，近年来有多篇文章从各个不同的角度进行过阐述。
1、在知识的发生过程中渗透数学思想方法。
（1）不简单下定义，
（2）定理公式教学中不过早给结论；
2、在思维教学活动过程中，揭示数学思想方法；
3、在问题解决方法的探索过程中，激活数学思想方法；
在知识的总结归纳过程中，概括数学思想。
美国心理学家布鲁纳指出：
“教学过程是一种提出问题，解决问题的持续不断的活动
。
”
思维是从问题开始的，在教学中时，充分应用创设问题背景的教学方法，结合教学内容，巧妙的向学生提出“问题”，创设有利的思维空间，为发挥学生“自主学习，合作探究”的学习主动性，引发学生的学习兴趣，激发学生的求知欲望，使学生在愉快和谐的交流气氛中满怀激情的学习。
然而，我们的数学教学，对数学思想方法教学缺乏意识是一个普遍存在的问题。
主要表现为：
对具体知识技能训练的重难点的教学要求比较明确，忽视数学思想方法的教学要求；
注重知识的结论的传授，忽视知识形成过程中数学思想方法的训练；
偏重于就题论题，忽视数学思想方法的揭示与提炼；
注重知识体系、网络的整理，忽视数学思想方法的归纳与提高。
凡此种种，致使数学教学停留在较低的层次上。
针对这些问题，这里提出几点个人的想法。
5.1在基础知识的教学中渗透数学思想方法
在知识形成阶段，可渗透观察、试验、比较、分析、抽象、概括等抽象化、模型化的思想方法。
如字母代替数的思想方法、函数思想方法、方程思想方法、极限思想方法、统计思想方法等等。
基础知识的教学要充分发现知识形成发展过程，揭示其中蕴涵的丰富的数学思想方法。
如教师通过解不等式的教学可以培养学生的化归思想。
例如，学生在学习一元二次不等式的解法这一节时，对于解有理分式不等式，总是将它转化为有理整式不等式，其基本解法如下：
，
学生掌握了化复杂为简单的化归思想，在前面学习的基础上，对于复杂的不等式我们就可以迎刃而解。
5.2在解题教学中渗透数学思想方法
数学家哈尔莫斯认为，问题是数学的心脏。
在中学数学教学中，数学教师离不开指导学生怎样解决问题，学生更离不开解题。
正如波利亚强调的“中学数学的首要任务就是加强解题训练”，在其著作中，就明确指出了类比思想、归纳思想、随机思想等在解决数学问题中的作用。
数学思想不仅是数学的灵魂，而且是解数学题的锐利武器，强调和渗透数学思想方法对于解题数学是至关重要的。
在解题教学中，还应适时采用一题多解，多解一题的教学方法，将蕴含其中的数学思想方法明确化，使学生掌握其中规律，进而使学生的能力得到提高。
同样是在学习一元二次不等式的解法这一节时，对于解含参数的一元二次不等式，我们则需要运用到分类讨论的思想。
例：
解关于x的不等式
分析：
在解含参数的一元二次不等式时，引起分类讨论的主要原因是对不等式对应的方程根的大小的判定。
解：
将原不等式变形为
综上可知：
；
5.3在复习教学中渗透数学思想方法
在对章节复习或总复习时，要将统领知识的数学思想方法概括出来，增强学生对数学思想的应用意识，从而使学生更透彻地理解所学的知识，提高独立分析、解决问题的能力。
具体来说，要及时地对某种数学思想方法进行概括和强化，有意识地点拨，不仅使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在的规律，而且可使学生逐步体会数学思想方法的精神实质。
必须指出，人们认识事物是螺旋式递进的过程。
同样学生对数学思想方法的认识也是在反复接触、理解和运用中形成的
例如，分类讨论的思想，几乎每一章都会涉及到，因此，在平时的教学中要注意到这种反复性，用统筹的观点，有意识让学生在这种反复体验中不断加深对这种思想方法的认识和掌握。
对于同一问题，有时候我们也可以运用不同地数学思想方法来求解。
例如，在同学们复习三角函数的时候，我们就可以举下面的例题为学生进行讲解。
实数
解：
由
进行三角换元，设
此种解法后面求S最大值和最小值，还可以由
的有界性，即不等式：
这种方法是求函数值域时经常用到的“有界性”。
另解：
则
所以
注：
此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件
与三角公式
的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。
第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式
而按照均值换元的思路，设
减少了元的个数，问题且容易求解。
另外，还用到了求值域的几种方法：
有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设
这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。
本题设
代入原式整理得
我们得
第六章如何实现数学思想方法教学
数学思想方法的教学最终目的是提高个体的思维品质和能力，提高个体和整体素质。
数学思想方法教学应该渗透在知识的教学中，使之产生潜移默化的影响，教学中实现这一目的策略主要有：
6.1层次性和渐进性
数学的逻辑性和学生认识发展的规律决定了数学知识在中学数学课程中必须按照一定的顺序呈现，因而对数学思想方法的学习也必须遵循一定顺序，体现出层次性和渐进性。
对于一般与具体数学概念结合紧密的思想方法可以通过知识的传授达到掌握的目的，而对于那些概括程度高、统摄性强的数学思想方法的形成则需要通过不同知识的学习不断加以强化、巩固和提升。
这是就要掌握有序性，通过循序渐进有序的数学渗透，使学生真正理解数学知识中所蕴涵的数学思想方法。
在“有理数”教学中就孕育着化归思想，如利用绝对值可以将有理数大小比较问题转化为算术数大小的比较问题，有理数四则运算转化为算术数四则运算；
整式加减的实质是利用同类项概念转化为有理数的加减。
进一步地，在平面几何教学中，要使学生认识到，复杂图形由简单的基本图形组成的，因此，从复杂图形中分析出简单的基本图形，就是解决几何问题的基本的思想方法。
这样通过在各种新情境下对化归思想方法的应用，学生对精神实质的理解就不断得到巩固和深化。
6.2过程性
数学思想方法蕴涵于数学概念和原理的形成过程中，因此，数学概念和原理的形成过程是进行数学思想方法教学的最重要的载体。
这就要求教师精心设计概念和原理的教学方案，有意识地让学生在概念的形成过程中领悟数学思想方法。
数学思想方法重在“悟”。
悟，就需要过程，有一个循序渐进、逐步逼近思想本质的过程
6.3变式教学
数学思想方法是对数学概念、命题和数学理论概括和提炼的产物，以隐性的形式蕴涵在数学知识之中，这种高度集中的概括性和内隐性决定了对数学思想方法的领会和掌握比学习数学知识具有更大的难度。
学生虽然知道某一方面的数学知识，但却没能真正领会其中的数学思想方法。
所以变式教学对于数学思想方法的教学就具有十分重要的意义了。
数学思想方法的变式策略，就是通过具有适当变化性的问题情境，把那些在解题思想方法上具有相似或相关的内容，用变式的形式串起来，通过变化概念的非本质属性突出概念的本质属性，在变化过程中逐步凸现蕴涵其中重要的数学思想方法；
通过在不同的问题情境中对数学思想方法的运用，进一步强化学生对数学思想方法的理解
在变式中求不变，从变式中领悟数学思想方法的真谛，体会数学思想方法对于掌握数学知识和问题解决的指导意义。
数学思想方法是隐含在一般数学知识中的精髓，因此学生需要通过反复体验、实践，才能发现、领悟和运用，一般可以分为以下三个阶段。
第一，形成模仿阶段：
由于认识发展的水平限制，在数学学习中，学生往往会只注意知识的学习，发现不了隐含在这些知识背后的观点和方法策略，有时即使有所察觉，也是出于“朦朦胧胧”、似有所悟的状态。
例如：
学生用换元法解分式方程，对换元的理解是按教师要求：
设未知数、换元、解换元后方程，这几个步骤来完成的。
学生把换元法当作固定的解题步骤来记忆，而未能体会出换元思想。
如果题目上要求换元法，学生就可以真确做出，但如果没有要求则学生会感到很困难。
第二，初步形成和运用阶段：
在学生接触过较多的数学问题后，在头脑中初步形成了相关的数学思想方法，并逐渐能够进行初步应用。
即学生对数学方法的认识已经明朗，开始理解解题过程中所使用的探索方法和策略，也会概括。
第三，数学思想方法的自觉应用阶段：
随着学习的不断深入，学生对数学思想方法的理解水平与应用能力不断提高。
即学生能依据题意，恰当运用某种思想方法进行探索，以求得问题的解决。
这一阶段，既是进一步学习数学思想方法的阶段，也是实际运用数学思想方法的阶段。
第七章学生学习数学思想方法的途径
学生学习数学思想方法的三个阶段，不可逾越或替代、颠倒顺序。
因此
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